椭圆余弦内波及其对墩柱作用数值模拟

程友良，薛伟朋，郭 飞，党 岳

(华北电力大学能源动力与机械工程学院，河北保定 071003)

波浪是海上建筑物所经受的最主要动力载荷，是设计海上工程时所需考虑的关键因素［1-2］。众所周知，海洋内波在传播过程中通常会携带巨大的能量，对海洋结构物的安全造成严重的威胁［3-5］。因此，随着海洋工程的不断发展壮大，相关技术标准和要求的不断深入和提高，对海洋内波载荷的考虑也越来越受到重视。海洋表面波浪向岸滩传播时，波浪的质点振动是会变形的。在深水中，水质点的运动轨迹接近于圆形，而当波浪推进到浅水区域时，由于受到海底的影响，波浪的特性便会有所改变。当水深小于半个波长时，海底开始对波浪产生影响，水质点的运动轨迹趋于扁平，接近于椭圆，近底水质点则只做前后摆动。这种波浪称为浅水推进波，而椭圆余弦波(cnoidal wave)理论是浅水非线性波理论之一，实验和理论研究表明，椭圆余弦波能较好描述浅水区域的波浪形态与运动特性。所以，椭圆余弦内波能够较好地反映近海内波运动，是近海波浪研究的一个重要方面。到目前为止广泛采用的线性内波和内孤立波实际上是椭圆余弦内波的近似［6-7］。在沿海工程建设中，研究椭圆余弦内波对近海结构物的作用具有重要的实际意义。

海洋表面波对结构物的作用研究已有众多的研究成果。在海洋内波理论及其应用方面，线性内波、Stokes内波和内孤立波理论及其应用的研究成果也已不断涌现［8-12］。然而，椭圆余弦内波及其应用的研究，尤其是椭圆余弦内波及其应用的数值模拟研究仍显不够。赵子丹曾采用Friedrichs展开法导出过椭圆余弦波在分层流体中传播问题的解［13］。随着计算机及其技术的快速发展，通过建立数值波浪水槽来进行数值仿真实验已经成为水波动力学领域的研究热点。与传统的物模试验相比，数值水槽具有成本低、不受尺寸限制、易于改造、测量精确等诸多优点［14-15］。因此，用数值模拟的方法研究椭圆余弦内波及其对海上结构物的作用，具有重要的现实意义。

以FLUENT软件为平台，基于不可压缩粘性流体的N-S方程和VOF方法，建立数值波浪水槽，对椭圆余弦内波的生成和发展及其对墩柱的作用进行了全面研究。对在三维情况下具有特定周期和波高的椭圆余弦内波对不同形状的单个墩柱及不同排列方式下的多墩柱的作用进行了模拟，并分析对比了墩柱上受到的惯性力、粘性力。

1 二维物理模型及椭圆余弦内波的数值模拟

采用的二维物理模型如图1所示，长为50 m，高为4 m，划分为三层。即，设最下层流体为水，其密度为1 000 kg/m3，且深度为h2=1.6 m;中间层流体为油，密度为997 kg/m3，深度为h1=0.4 m;最上层流体为空气，密度为1.225 kg/m3，且中间层上表面到压强边界设为2 m。这里仍采用文献［14-15］中介绍的推板造波方法生成椭圆余弦内波，其原理是强迫水质点的水平速度达到模拟相应波的目的。

边界条件设置如下:除上边界为压力入口条件外，其余边界都为壁面，其中左边界为动壁面。流场采用两相流中的VOF模块以及N-S方程来求解，压力速度项采用PISO算法进行迭代，动量方程采用一阶隐格式，对流和扩散项采用一阶迎风格式。动网格模块采用铺层(layering)功能进行网格划分。

图1 数值波浪水槽物理模型示意Fig.1 Sketch of 2D physical model of numerical wave tank

模拟了波高分别为0.5 m和0.4 m情况下椭圆余弦内波在不同周期下的波浪生成及演化，得出的波浪形态如图2所示。

图2 不同波高不同周期下椭圆余弦内波的对比Fig.2 Comparison of internal cnoidal waves with different periods and different wave heights

由图2可以看出，在周期为3.35 s时，波浪界面不够平滑，而波浪周期到达4.1 s及以后时刻，波浪表面变得较为平滑，这主要是因为在小周期情况下，虽然推板的振幅也跟着相对变小，但推板的运动速度却增大了。这样由于推板运动速度的增大而造成大量的两相流体相互混合，即使得VOF相增多，致使造成的波形不够稳定。在这种情况下如果再减小椭圆余弦内波的周期，就有可能出现计算错误，即会提示出现太多的VOF相，计算则会被终止。同时，液体深度的设置也会对计算过程中产生的VOF相产生较大的影响。数值模拟结果表明，在用推板造波方法模拟两相流的内波时，应该特别注意调整推板运动的速度和分层流体的深度。由图2(b)可以看出，当降低波高时，在周期为3.35 s的情况下，波谷趋于平滑，这是因为波高降低的同时推板的运动速度也随之减慢，使扰动减弱。从而降低了两种流体混合的几率，减少了VOF相的出现，使计算可以顺利进行。

在图3和图4中分别给出周期T=3.75 s时椭圆余弦内波附近的压力图与速度矢量图，可以清晰地看出椭圆余弦内波引起的压力变化和速度大小和方向的变化。

图3 压力图T=3.75 sFig.3 Counters of pressure T=3.75 s

图4 速度矢量图T=3.75 sFig.4 Relative-velocity colored by volume fraction T=3.75 s

2 三维物理模型及椭圆余弦内波对敦柱作用的数值模拟

墩柱的排列可以有不同的形式，其三维物理模型在图5中给出，其中的三层划分与图1一样，图中单圆柱直径D=1 m和单方柱(略去)边长L=1。水槽尺寸为100 m×8 m×4 m(长×宽×高)。图5(b)中的两排四墩柱呈矩形排列，1号墩柱和2号墩柱的间距为3 m，1号墩柱和3号墩柱的间距为10 m，1号墩柱距左边界为10 m;图5(c)中前后相邻两个墩柱的间距为5 m，1号墩柱距左边界为10 m。

图5 三维波浪水槽物理模型示意Fig.5 3D physical model of numerical wave tank

选取周期T=4.1 s，波高H=0.4 m的椭圆余弦内波进行数值模拟，数值模拟方法和上一节描述的相同，其网格划分如图6所示。

图6 三维网格示意Fig.6 Sketch of 3D mesh

3 墩柱受力的模拟结果分析

墩柱受到的波浪力为墩柱表面总力，利用FLUENT后处理功能REPORT可以得到惯性力和粘性力。图7中(a)、(b)两图分别给出了数值模拟单个圆柱绕流中的惯性力和粘性力的大小变化情况。由图中可知，墩柱上受到的力明显呈现出非线性形状。波浪力由波峰到波谷所用的时间很短，由波谷到波峰的增长很慢，只是总的波浪力在越过零点时会突然迅速增加。这种现象可以对比图2中T=4.1 s模拟出来的波形图加以说明。波形呈现出一种椭圆形状，由于波谷比较平坦，因此波谷经过墩柱时，墩柱上受到的力会比较稳定，变化趋势比较平缓。椭圆余弦波的波峰比较陡，所以说当波峰经过墩柱时，墩柱受到的波浪力会突然增大，而后再突然减小。

图7 不同截面形状单个墩柱上受到的波浪力Fig.7 Wave force on a single pier with different section shapes

图8给出单圆柱(R=1 m)和单方柱(L=1 m)的情况下墩柱分别受到的总波浪力。由图可以看到，圆柱上受到的最大波浪力约为6 kN，方柱上受到的最大波浪力约为9 kN，在同样的波浪经过他们时，方柱上受到的波浪力约为圆柱上的1.3～1.5倍。此外由波浪力的图形还可以看出，正向的最大波浪力远大于反向时受到的最大波浪力。这是因为波浪冲击墩柱时的压力由动压和静压两部分组成，沿着波浪的来流方向的动压比背向来流方向上受到的波浪力大很多。

图8 不同截面形状墩柱上受到的波浪力对比Fig.8 Comparison of wave force on the piers with different section shapes

两排四墩柱情况下各墩柱上波浪力的变化情况如图9所示。由于墩柱可以是圆柱或方柱，为了比较不同形状墩柱的受力情况，图中给出了圆柱和方柱两种情况下的受力。其中图9(a)和(c)为圆柱上的惯性力图，图9(b)和(d)为圆柱上粘性力图;图9(e)和(g)为方柱上的惯性力图，图9(f)和(h)为方柱上粘性力图。从图中可知，1号墩柱和2号墩柱受力情况相同，3号墩柱和4号墩柱受力情况相同。其中第1排墩柱(1号墩柱和2号墩柱)受到的惯性力较大，第2排墩柱(3号墩柱和4号墩柱)受到的惯性力较小，这主要是波浪行进过程中由于能量耗损而存在衰减现象的原因，同时也造成粘性力的减小。从图中看到，1号圆柱和2号圆柱上受到的最大惯性力为6 015 N，最大粘性力为28.7 N，3号圆柱和4号圆柱上受到的最大惯性力为4 605 N，最大粘性力为22.3 N。通过计算，圆柱情况下，最大惯性力减小了30.6%，最大粘性力减小了28.7%;方柱情况下，最大惯性力减小了22.88%，最大粘性力减小了约37.57%。

图10给出两种不同排列方式下，3号墩柱(以方形截面为例)上受到的波浪力的对比。由曲线看出，两种情况下3号墩柱上的波浪力的变化趋势基本上保持不变，这符合Morison方程中的基本假定:柱体的存在对波浪的运动无显著影响。按单排方法排列时3号墩柱上受到的最大波浪力略小于双排方法排列的3号墩柱上受到的力。这主要是由于单排时2号墩柱的作用减轻了波浪对3号墩柱的影响，这种影响应该是随着墩柱间距的减小而加大。

图9 两排四个(圆形和方形)墩柱受到的波浪力Fig.9 Wave force on two rows of four piles with round and square section shape respectively

图11是单排方式下不同截面形状墩柱上的受力对比。横坐标为距造波板的距离，所以在离造波板的10 m、15 m、20 m、25 m处分别为1号墩柱、2号墩柱、3号墩柱、4号墩柱。由图看出，方形墩柱受到的波浪力明显高于圆形墩柱。同种形状的墩柱上受到的波浪力随距造波板的距离增大而逐渐减小，从1号墩柱到2号墩柱波浪力衰减的趋势比较明显;2号墩柱到3号墩柱上，受到的波浪力虽有小幅减小，但衰减趋势比较缓慢;3号墩柱到4号墩柱上波浪力仍然衰减，尽管衰减趋势小于1号墩柱到2号墩柱，但稍大于2号墩柱到3号墩柱，但总的趋势是减小的。

图10 不同排列方式3号墩柱上的受力对比Fig.10 Comparison of wave force on pier 3 under different arrangements

图11 不同形状截面墩柱上的波浪力比较Fig.11 Comparison of wave force on piers with different section shapes

4 结语

基于FLUENT软件，采用N-S方程和VOF方法，对椭圆余弦内波的生成、演化及其与不同形状墩柱在不同排列方式下的作用进行了数值模拟研究和分析，得到了如下有价值的结论:

1)在数值水槽中用推板造波的方法可以很好地实现椭圆余弦内波生成及其演化。但实践表明，应该特别注意调整推板运动的速度和分层流体的深度。

2)可以数值模拟出椭圆余弦内波对墩柱作用的受力大小。对受力大小进行比较全面地分析后发现，由于椭圆余弦内波呈周期性变化，墩柱上的受力仍呈周期性变化，并且波谷比较低平、维持的时间比较长，波峰则比较尖凸，并且波峰易塌陷。

3)同样的波浪经过方柱和圆柱时，方形墩柱受力明显高于圆形墩柱。此外从波浪力的图形还可以看出，正向最大波浪力远大于反向时受到的最大波浪力。

4)沿椭圆余弦内波的前进方向，在内波冲击两排四个墩柱时，第2排墩柱受到的惯性力和粘性力都在一定程度上小于第1排的受力，但变化趋势基本相同。

5)在内波冲击单排四个墩柱时，后面墩柱受力逐渐小于前面墩柱，由于中间墩柱的影响，椭圆余弦内波对后面墩柱的作用逐渐减小。

用数值模拟的方法研究椭圆余弦内波对墩柱的作用，不仅得到了如上与实际情况定性上基本一致的结论，而且还能给出定量的结果。因此，本项研究应该能对沿海工程建设有所助益。

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