对傍轴标量衍射理论的修正分析

安 博

(渭南师范学院物理与电气工程学院，陕西渭南714000)

基尔霍夫衍射理论［1］借助数学中的格林定理求解亥姆霍兹方程得出.

格林定理［2］G，u为坐标系内的两个任意复函数，S为包围空间某体积V的封闭曲面.若u，G以及它们的一阶导数、二阶导数在S面内和面上都是单值连续的，则有:

设光场的光振动为u(p，t)，p点为观察点，亥姆霍兹方程为:

只要选取合适的格林函数G，就可由格林定理和亥姆霍兹方程求出u(p).

1 基尔霍夫衍射理论的不自洽性

基尔霍夫选格林函数G(P0)为由P点向外发散的单位振幅的球面波，S面为包围观察点P的任意封闭曲面，在任意点P0上G的表示为:

r为观察点P到P0的距离，为了排除P点的不连续性，必须把P点从讨论的V内“挖出”，这样G才能满足格林定理的要求.为此我们作一以P点为中心，半径为ε的小球面Sε，由格林定理和亥姆霍兹方程得到

(3)式称为基尔霍夫积分公式.但由于边界条件的不可知性，其实用性也受到了限制［3］.

研究无限大不透明平面上的小孔Σ所引起的衍射问题时，(3)式可以化简为:

S1表示紧靠屏幕后的平面.要从(4)式中求出u(p)需要对边界条件作如下假设:

(1)在Σ上各点，u和∂u/∂n的分布与屏不存在同时相同，即完全由入射光波在这里的光场决定;

(2)在不透明的屏表面上各点，u和∂u/∂n都等于0.

这时(4)式可以进一步简化为:

(5)式表明，光波穿过具有透光孔Σ的无限大屏后，屏后空间任意点p的光波复振幅u(p)可以由孔上Σ的光场复振幅u(p0)及其法线方向的偏导数来表示.

虽然基尔霍夫衍射积分公式对于一般的衍射问题可以给出与实际符合得非常好的结果，但是，基尔霍夫理论本身存在明显的不自洽性［4］.基尔霍夫边界条件明确指出［1］，在屏后光场的复振幅及其法向导数均为0，但由电动力学中场论的基本原理可以证明，如果波动方程的一个解在任意非无限小的面元上光场的复振幅和它的法向导数都为0，则这个解在整个空间都为0，这个结论与实际情况相矛盾.

2 对基尔霍夫衍射理论不自洽性的修正

基尔霍夫衍射理论能够给出与实验符合较好的结果，但理论本身存在严重的不自洽性.而基尔霍夫衍射理论的不自洽性主要来自于同时对边界上光场的复振幅及其法向导数施加边界条件.为了克服基尔霍夫理论的不自洽性，可以通过提出格林函数的另一种选择的方法，使得不必同时对边界上光场的复振幅及其法向导数施加边界条件，从而克服了基尔霍夫理论本身的不自洽性［5］.

选择一种新的格林函数

对于无限大不透明屏上一个小孔的衍射问题，格林函数由p点和p'点的函数共同产生.

代入格林定理和亥姆霍兹方程，得到:

因此只需在积分面上对u(p0)施加边界条件:

(1)屏后表面的u处处为0;

(2)孔Σ上的u与没有衍射屏时相同.

于是(9)式简化为:

G也可以有另一种选择方式:

此式由两个振动同向的格林函数线性组合而成，除此以外与G无异.对于无限大不透光屏上的小孔衍射，由格林定理和亥姆霍兹方程得到:

施加边界条件:

与无屏相同.

此时仅u的导数消除了不自洽性:

3 修正后的基尔霍夫衍射理论对双缝衍射的应用

假如衍射孔径位于x0y0平面，观察点位于xy平面，观察平面与孔径平面的距离为z远大于孔径线度，单位振幅的平行光垂直入射衍射孔径，孔径上光场分布为

在傍轴近似下

把(13)(14)式代入(10)式得:

在傍轴近似下(10)式分母中r≈z.观察面上光强分布为

这也正是基尔霍夫衍射理论应用于双缝衍射的结果.

4 结语

［1］Born M，Wolf E.Principles of Optics［M］.London:Cambridge University Press，1999.430.

［2］郭硕鸿.电动力学［M］.北京:高等教育出版社，1997.101.

［3］邓小玖，高峰，刘彩霞，等.标量衍射理论的非傍轴近似及其有效性［J］.光子学报，2006，35(6):898.

［4］梅妍.衍射理论中的佯谬［J］.辽宁师范大学学报(自然科学版)，1996，19(1):36－39.

［5］刘春香，程传福，任晓荣，等.随机表面散射光场的格林函数法与基尔霍夫近似的比较［J］.物理学报，2004，53(2):427－435.