强混合删失样本密度函数估计的r阶相合速度

曾翔

(1.桂林理工大学广西矿治与环境科学实验中心，广西 桂林 541004；2.桂林理工大学理学院,广西 桂林 541004)

0 引言及定义

α(n),

若当n→∞时,α(n)→0,则称随机变量序列{Xn,n≥1}是α-混合或强混合,α(n)称为混合系数[1].

设生存时间{Xn;n≥1}是一列非负同分布的α-混合序列,分布函数为F(x),且F(0)=0,密度为f(x),删失时间{Yn;n≥1}是非负独立同分布的随机变量,其分布函数为G(y),且G(0)=0.假设随机变量Xi是独立于Yi的,我们不能完全观察到Xi,而只能观察到

Zi=min(Xi,Yi),δi=I(Xi≤Yi),

其中,I(·)表示事件的示性函数,称Zi是Xi被Yi随机删失的,Zi的分布函数为H=1-(1-F)(1-G).

在生存分析中,基于{(Zn,δn);n≥1}给出分布函数F(·)和G(·)的Kaplan-Meier估计[2]:

其中{Z(n);n≥1}是{Zn;n≥1}的次序统计量,δ(i)与Z(i)对应.

H的支撑为τH=inf{x:H(x)=1}≤∞,密度函数f(x)定义在(0,τH)上,其估计量fn(x)定义为:

(1)

对混合序列的研究已经有许多:文献[3]中给出了α-混合序列下的核密度估计量的强相合性与一致强相合性;Ye Daxiang等[4]讨论了α-混合随机变量几乎处处中心极限定理;刘君[5]研究了α-弱相依序列加权和的几乎处处中心极限定理;许冰[6]研究了α-混合序列的完全收敛性等.对删失数据的研究近些年也得到了广泛的关注,如徐芹[7]在{Xi}和{Yi}分别是独立随机变量时,研究了删失数据下线性回归模型的参数估计;薛留根[8]研究了删失数据下核密度估计的误差分布的强逼近等.但少见有文献对(1)式的相合性进行讨论,本文中研究了{Xi}为同分布α-混合序列,{Yi}为独立同分布序列时,fn(x)和λn(x)的r阶相合性,并给出r阶相合速度.

1 引理及定理

为了证明结论,假设以下基本条件成立:

(a)f(·)在[0,1]上满足α(α>0)阶Lipschitz条件;

(e)对∀正整数j≥1,当随机变量X1取给定的值x1时,其条件概率密度记为fj(·|x1),对∀x∈R,x1x2∈U(x)(U(x)表示x的邻域),∃M0>0,fj(x2|x1)≤M0;

(f)设p=pn和q=qn是正整数,当n足够大时,有p+q≤n,qp-1≤c,phn→0.

本文中C是与n无关的正常数,即便在同一个式子中也可以表示不同的值.

E|fn(x)-f(x)|r→0,n→∞.

引理1[9]设{Xn,n≥1}是一列α-混合随机变量,混合系数是α(n),{Yn,n≥1}是一列独立同分布随机变量,{Xn,n≥1}与{Yn,n≥1}之间是独立的,则序列{(Xn,Yn),n≥1}是α-混合的,且混合系数是4α(n),特别地,Zn=min{Xn,Yn},n≥1也是α-混合的.

引理2[10]设随机变量X和Y满足E|X|p<∞,E|Y|q<∞,若p,q>1,p-1+q-1<1则有

引理3满足条件(a)～(c),Z1,Z2,…,Zn…为同分布α-混合序列,G(x)在(0,τH)上连续,则

|Efn(x)-f(x)|r≤C|hn|αr.

引理3的证明由条件(a),∃M>0有

|f(x-hnu)-f(x)|≤M|hnu|α

(2)

由条件(b)～(c)和(2)式,可得

引理4假设条件(a)～(f)成立,Z1,Z2,…Zn…为同分布α-混合序列,则

引理4的证明注意到,

km=(m-1)(p+q),lm=(m-1)(p+q)+p+1,m=1,2,…,k.

则有

(3)

(4)

因为f与G在x的邻域是连续的,由条件(d)和引理2,有

(5)

由条件(b),(e)～(f)以及f(·)在x的邻域是有界的,可得

(6)

注意到

(7)

由(7)式,我们可以得到

(8)

因此,由(4)～(6)式、(8)式,有

(9)

(10)

(11)

由(3)式、(9)～(11)式,得到

定理1的证明由于0

(12)

由引理3知

I2=C|Efn(x)-f(x)|r≤C(hn)αr→0,n→∞

(13)

由引理4知

(14)

综合(12)～(14)式即

E|fn(x)-f(x)|r→0,n→∞.

定理1证毕.

(15)

2 应用举例

(16)

定理2在定理1条件下,设H(x)是定义在(0,τH)上的连续函数,则有

定理2的证明由(16)式,类似(12)式,有

(17)

由H(x)是定义在(0,τH)上的连续函数,类似(13)式证明过程,同理有:

(18)

类比定理1中相应的证明,且由1-H(x)=(1-F(x))(1-G(x))可知:

(19)

综合(17)～(19)式,类似(15)的证明过程,定理2得证.

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