关于古塔变形的探讨

张又才

【摘 要】1、本文研究的是自然因素对古塔的变形问题。2、首先通读全文再依据文中所给数据表格与查找资料分析。 然后针对第一问古塔各层中心坐标求解的问题，本文通过建立以初等方法求多边形 重心几何模型（假设各塔层是规则的物体，把重心坐标看作于近似的中心坐标）。 在第二个散点模型中，本文对古塔的倾斜、弯曲、扭曲问题进行简化，利用Excel 知识建立了散点趋势模型。3、 针对模型的求解，本文使用把每层观测点近似看在同一个平面内，然后根据求 多边形重心的方法，计算出每层的中心坐标，并使用Excel图表法求解出古塔倾斜、 弯曲、扭曲问题，再根据问题二中建立的1982、1996、2009、2011的角度与层数的 散点图进行分析整合出古塔的变形趋势。

【关键词】古塔；中心；重心； 斜率； Excel

文章编号：ISSN1006—656X（2013）09 -0115-01

一、问题重述

（一） 问题背景

由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。

某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。

请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：

问题一：给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层 中心坐标。

问题二：分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。 问题三：分析该塔的变形趋势。 （详情见附件1）

二、问题分析

（一）问题一的分析

根据对问题一的条件和数据的分析，我们发现Z变量的数值波动性很小，而问题一

求的是各古塔的中心坐标，那么我们就把Z坐标的总和相加取它的平均数值，然后再根 据初等方法求多边形的中心坐标方法对问题一进行求解。

（二）问题二的分析

根据对问题二的研究与问题一得出的数据进行分析，我们确定了以第一层的重心坐 标为基准第二层的重心坐标与第一层重心相连再依据古塔与地面垂直的情况来求出此 三角形的斜率、第三层、与第四层……以此类推求出各层的斜率，再依据斜率的数 据作出斜率与层数的散点图形并添加了趋势线，再依据对图形的分析我们可以得出古塔 在自然因素下发生倾斜、弯曲、扭曲的大致情况。

（三）问题三的分析 根据问题二中散点趋势图对比，我们可以得出古塔在1986年至2011年发生变化的形式，再结合实际对古塔未来的变形趋势进行预测。

三、模型假设

（一）假设给定的测量数值是精确的。

（二）假设未来的自然因素对古塔的影响与之前相比不会出现太大的偏差。

（三）假设古塔的结构稳定。

（四）假设人类的活动对古塔的影响可以忽略。

四、符号说明及名词定义

五、模型建立与求解

（一）问题一

问题提出的是求古塔各层的重心坐标，通过查找各类参考文献确定了用初等方法求多边形重心坐标的方法，设有n边形，各顶点坐标分别为，，…，。（见图1）连接、、…、，共有个三角形，设各三角形重心分别为、、……、、……、。面积分别为、、……、，则多边形的重心坐标可用如下公式计算：

式中： ，

根据函数公式求解出 1986、1996、2009、2011 年中心位置的坐标如下表： （如下表）

（二）问题二

根据对问题二的研究与问题一得出的数据进行分析，确定了以第一层的中心坐 标为基准第二层的在心坐标与第一层中心相连再依据古塔与地面垂直的情况来求出此 三角形的斜率、第三层、与第四层…………以此类推求出各层的斜率。再通过中心的连 线与平面的斜率计算出角度值 详细计算过程见附表（2）

1986年角B值（度） 1996年角B值（度） 2009年角B值（度） 2011年角B值（度）

根据各个年份的斜率我们可以作出 1986、 1996、2009、 2011 年的 Excel 角度与层 数的散点趋势图，其中 y 轴值越接近于 90 则说明古塔的倾斜率越小，反之则说明古塔 的变化值越大。就有可能出现弯曲、扭曲等变形情况。

由上述的图示我们可以得出以下结论： 1、 在1986年时古塔的1—6层发生的变化很小6—11层发生了弯曲11—13层发生了扭曲。

2、 在1996年古塔的1—6层未发生什么大的变化6—10层古塔发生了偏移10—13发 生了扭曲。

3、 1—2层发生了倾斜2—10层发生了弯曲，10—13层发生了与2—10层相反的弯曲。

4、 1—2层未发生什么变化2—6层发生了扭曲现象6—10层发生了小的倾斜10—13 倾斜的方向与6—10层相反。

（三）问题三

根据问题三的问题再结合问题二中的斜率趋势图，我们可以得出以下结论： 1、 古塔的变形随着时间的推移越靠近顶层部分越容易发生扭曲而古塔的中间部 分就会发生一部分的弯曲，基层部分出现的变化不是很大； 2、 由2009年与2011年的图我们可以得出古塔在较短的时间内就发生了严重的扭曲、弯曲、倾斜等情况，如果不加以有效的措施进行保护的话，我们可以预见随着时间 往后推移古塔的变形、甚至有可能倒塌。

六、模型评价

（一）优点：比较清晰，一目了然，无论是对模型的表达还是之后对算法的框图描述 都比较清晰；通过对古塔的斜率计算作出的散点图很好的现出了1986年到2011年古塔的 变化情况。

（二）缺点：实际情况中受各种因素的限制和影响，在模型中没有考虑到，使得预测 结果和实际相比出现一定偏差。

七、模型推广

（一）本模型虽然曾在一些不足之处，但是计算出的结果还是较为合理的。尤其是问 题一中心的求法简便合理，而中心在实际生活中用处非常广泛，在工程中，物体中心的 位置具有重要意义。例如挡土墙、高速运转部件的中心如果不在轴线上，将引起机械的 剧烈震动。

参考文献：

[1]郭幼操，从四边形重心到多边形重心，浙江农村技术师专学报，1996.2

[2]梁海奎，古塔变形测量方法探讨，城市勘测，2011.3

[3]姜启源，数学模型，北京市东城区后街 55 号：高等教育出版，1993

[4]周凯、送军全、邬学军，数学建模竞赛入门与提高，浙江杭州市天马山路 148 号： 浙江大学出版社，2012