基于ICM准则法的结构动力学边界拓扑优化设计

姜波澜，闫云聚，徐 斌

（西北工业大学力学与土木建筑学院，陕西 西安710072）

引 言

对于处于恶劣振动环境中的工程结构，为了控制结构振动水平，需要准确分析和预测结构的动力学特性并对结构进行动态设计。进行环境振动试验，需要试验夹具能够反映或模拟实际结构的动力学边界条件，是一个结构动力学边界设计问题。但是，对于复杂结构的系统整体进行动力学分析或动力学特性试验，工作量和试验费用巨大。而控制结构动力学特性及响应的一个主要手段是对结构进行动态设计，即根据结构所处的动力学环境按照功能、强度、动态特性等要求进行设计，使其不但满足结构的静力学要求，而且具有良好的动力学特性，达到控制结构振动水平的目的。结构动态设计与传统的基于静力准则的结构设计方法不同，通常需要用动力学优化的方法来设计，使结构的特性达到“最优”，减小结构振动问题对产品的影响，提高其安全可靠性。Zarghamee和Tayor提出了频率优化的概念［1］。Hemez研究了固有频率和振型约束条件下结构重量最小化的问题［2］。陈集丰对具有基频、一阶振型节点位置约束的结构优化问题进行了研究［3］，并对特征向量和振型节点位置的灵敏度进行了分析，并进行了实验验证。顾松年等对结构动力学边界模拟时振型的优化进行了研究［4］，给出了一种振型修正的方法。徐斌等对在随机载荷激励下桁架结构的拓扑优化进行了研究［5］。总的看来，结构动力学特性设计多集中于结构的频率优化设计，同时以固有频率和振型为目标或约束条件的优化设计，是结构动力学特性优化设计中较难的部分，有关的研究工作或成果较少。

通常结构的边界条件对结构系统的动力学特性影响明显，且结构边界条件的参数对结构动力学特性的影响也比结构内部参数更为敏感，因此在一定程度上对结构系统动力学特性的要求可通过边界条件的设计来达到。由于边界条件的设计变量数一般要比结构内部的参数少，并且有的结构因设计功能和特定的性能约束内部结构不易改变时，利用边界条件的动力学设计来满足结构的动力学特性是一个有效的设计方法。结构动力学特性设计，是一个逆特征值问题，由于其求解的复杂性，目前只能解决简单结构模型的逆特征值解问题，还难以应用到复杂结构动力学特性设计的问题。进行结构动力学特性设计的另一类可行的方法是采用“正问题”的处理方法，即根据实际结构在设计的约束条件范围内可能变更的方案，不断修改设计参数，通过优化设计的方法确定满足结构动力学特性要求的方案。

本文采用“正问题”的处理思想，提出了将结构的固有频率和振型作为动力学特性设计的约束准则，并且将结构动力学优化的思想应用于结构边界动力学优化设计，应用基于ICM的准则法对刚架机翼骨架模型的边界进行了拓扑优化。

1 基本理论

以结构固有频率为约束条件，用范数表示的振型差最小为优化准则，将优化问题表示为

对于结构动力学设计问题，其动力学方程

式中K和M为结构的质量和刚度矩阵，λj＝，fj和φoj是设计结构的第j阶固有频率和振型。

引入设计变量ti，可分别求得结构的第j阶固有频率和振型对第i个设计变量ti的偏导数为

特征向量对设计变量ti的偏导数表达式很复杂，通常将它用结构系统的各阶特征向量展开，可表示为

计算系数

2 基于ICM方法单元灵敏度分析

隋允康等人提出的ICM（independent，continuous，mapping）方法意为独立连续映射。“独立”及“连续”是指拓扑变量独立于低层次变量且为区间［0，1］上的连续值，即在ICM方法中定义了独立连续的拓扑变量；“映射”是指通过映射及反演的过程，使独立连续的拓扑变量逼近离散拓扑变量，完成拓扑变量“离散－连续－离散”的转化。ICM方法能将拓扑优化设计变量从依附于截面、厚度等低层次变量中抽象出来，使之成为独立的层次，能体现出拓扑优化的特征，而且可以较好的求得频率。

本文采用过滤出少数识别单元刚度和单元质量，单元性质识别参数采用如下公式

式中

对结构边界动力学设计问题有

式中MB和KB分别为设计结构边界的质量和刚度矩阵；MA和KA为除边界外的结构内部的质量和刚度矩阵；λi＝4π2f2，φ为设计结构的固有频率和

jj

振型矩阵。由式（3）和（4）可分别求出结构固有频率和振型对设计变量的导数，并且有

3 基于ICM准则法动力学优化

在式（1）中提出的优化模型是一个有约束的单目标优化问题，构造其拉格朗日函数

对上式两边同时对设计变量t求导可得

由式（11）第1式可得

其中，目标函数和约束函数的偏导数为：

式中 ∂f／∂ti由式（3）可得到，而∂φoj／∂ti则可由式（4）与（5）得到，于是

在实际的结构设计中，一般是以前几阶频率作为约束，在计算拉格朗日乘子时，最大的困难是对多约束条件的集合，在迭代过程中如果单独考虑每阶频率的约束，迭代过程花费时间较长，因此，通过一个加权因子处理多阶频率约束即按每阶频率约束的贡献将αij加权处理，即

式中ηi表示多约束条件下的综合指数，λj为加权系数，它取决于单频率约束的满足程度，值越大，表示该阶频率约束对综合指数ηi的贡献越大，其表达式如下

在优化过程中，每次迭代所需要改变的拓扑变量集合为

拓扑变量每次迭代的变化值Δti是一个很重要的参量，拓扑变量的变化值过小，优化结果越精确，但是计算成本会随之加大；相反，变化值过大，收敛过程会出现震荡和收敛困难问题，本文中拓扑变量的改变值按以下公式计算：

其中，要使目标函数J（t）取得最小值，Δti的符号与∂J（t）／∂ti符号关系如式（21）所示；ξ一般取为0.2～0.5。为了进一步有效地消除拓扑优化过程中出现的棋盘格现象，在每次迭代之后采用再分配的方法对拓扑变量进行过滤处理。

（1）计算与每个节点相连的单元设计变量的平均值，作为该节点的设计变量

式中tnode为节点的拓扑设计变量，只是作为中间过渡值，ti是与该节点相连单元i的的拓扑设计变量，Vi是单元i体积，M为与该节点相连的单元数。

（2）计算单元各节点的平均拓扑变量，作为该单元新的拓扑设计变量

式中N表示单元的节点数。当一次拓扑变量再分配不能很好地解决棋盘格问题时，可以使用多次拓扑变量再分配。

收敛终止条件采用两次邻近设计拓扑变量和设计目标函数的绝对差值式作为评判标准

式中tk和tk＋1为前轮与本轮迭代的设计变量，Jk和Jk＋1为前轮与本轮迭代的目标函数，ε为收敛精度，取0.01。迭代流程如图1所示。

图1 ICM准则法拓扑优化流程Fig.1 Topology optimization procedure by ICM criterion method

4 数值算例

图2为一简化的飞机机翼模型，用空间刚架单元模拟的该结构有限元模型。该模型共有54个结点，70个梁单元，6个边界支撑。其中，49～54为边界上的固定结点，65～70为边界单元。机翼内部梁截面尺寸：宽度14 mm，沿z向厚度4 mm；边界支撑梁的截面尺寸：宽度14.8 mm，沿z向厚度4 mm。梁材料的参数为：合金钢材料，弹性模量E＝2.1×1011N／m2，泊松比v＝0.26，质量密度ρ＝7.8×103kg／m3。用 MATLAB编程按图示的模型进行有限元计算，得到结构的前4阶固有频率和振型，表1给出其固有频率。

图2 机翼刚架模型Fig.2 Frame model of plane wing

表1 机翼模型固有频率Tab.1 Natural frequencies of plane wing model

将这个6个刚架杆支撑的结构作为目标结构，计算出的固有频率和振型即为目标频率和目标振型。将边界换成空间刚架的机翼骨架模型则得到设计结构如图3所示，对其进行拓扑优化设计，结构共有106个刚架单元，截面尺寸均为14 mm×4 mm。采用空间刚架单元建立有限元模型。材料参数为：合金钢材料，弹性模量为E＝2.1×1011N／m2，泊松比为ν＝0.26，质量密度为ρ＝7.8×103kg／m3。

以前3阶频率接近原结构频率为约束条件，以相应阶振型差的范数为目标函数，对每根边界杆的拓扑量t进行优化设计，利用Matlab7.6编制程序计算。优化得出收敛的结果，图4为优化出的结构拓扑形状，表2给出优化边界后结构的固有频率及其与目标的误差，图5为优化结构振型与目标振型对比。图6还给出了目标函数优化迭代曲线。

在上述算例中，将六杆刚架支撑的飞机机翼骨架模型作为原结构，建立有限元模型，计算其低阶固有频率和振型作为目标频率和振型。然后搭建刚架边界的结构模型，采用本文提出的ICM准则法建立

图3 刚架边界机翼骨架有限元模型Fig.3 FEM model of plane wing with frame boundaries

图4 边界拓扑优化结果Fig.4 Result of boundary topology optimization

图5 前4阶优化振型结果与目标对比Fig.5 Comparison of first four modal shapes between optimization result and object

表2 拓扑优化频率结果Tab.2 Frequency result of topology optimization

动力学优化模型，并根据优化策略用Matlab7.6编程实现优化的迭代计算。根据计算结果，目标函数的初始值，即设计结构与原结构振型初始差为23.9104，经过拓扑优化，最终振型差减小至10.205，同时其低阶固有频率与目标频率相差较小，满足约束条件。设计结构的频率和振型与目标符合较好，迭代结果收敛，且优化出的拓扑形状符合传力路径。

因此，可用优化的边界作为原结构动力学边界的工程实现，来模拟原结构提供给机翼骨架试件的动力学边界，使之能在试验中得到尽可能相似的动力学边界条件，从而有利于实现实际结构系统的动力学设计和振动控制。

图6 目标函数迭代曲线Fig.6 Iterative curve of object

5 结 论

工程结构的环境振动试验中，需要试验夹具能够反映实际结构的动力学边界条件，但工程动力学边界条件多种多样，十分复杂，完全再现既不现实也不经济，按动力学特性来设计结构边界，控制结构各点的动力响应，研究模拟结构振动时实际结构边界条件是振动工程应用中需要解决的问题。

本文依据动力学优化准则法的思想——设计结构与要求动力学特性的目标结构或设计结构在有限元模型相近的条件下得到相同的位移幅值，要求两者各阶固有频率及相应振型相同，研究了准则法在结构边界设计中的应用，提出了基于ICM准则法用于结构边界的拓扑优化设计，通过修改刚架机翼模型的边界去实现固频和振型与目标频率和振型接近。数值计算结果表明，本文所提出的方法的边界优化结果较好，具有一定的工程意义。

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