最小二乘Unscented卡尔曼滤波在伪卫星定位中的应用

赵 飞， 高社生 ， 吴佳鹏， 杨 一

（1.西北工业大学 自动化学院，陕西 西安 710072；2.航天恒星科技有限公司（503所）北京 100086）

卫星导航系统的精度和可靠性严重依靠于可见星的数量和几何分布状况，在机场、峡谷、室内和地下等观测环境较差的区域，因可视星的数量受限而无法满足用户导航定位的需要。伪卫星作为一种简便易行、效果显著的导航定位手段，可以克服卫星系统的缺陷[1-3]。基于临近空间飞艇平台的伪卫星不仅能够辅助卫星导航系统进行定位，而且可以在导航卫星全部不可用时，由多颗（至少四颗）伪卫星在目标区域上空独立组网，向用户提供导航定位服务。

在独立组网伪卫星系统中，以飞艇为运载平台的伪卫星由于受到临近空间各种干扰的影响使得其自身位置存在误差，从而影响到用户最终的定位精度。因此，需要对伪卫星飞艇平台的位置误差进行修正[5-6]。在伪卫星定位解算中，伪距方程是非线性的，传统的方法是利用一阶泰勒展开式将伪距方程在状态预测值处进行线性化，成为扩展卡尔曼滤波（EKF）。同时，由于伪卫星到用户的距离要比导航卫星到用户的距离近得多，因而伪卫星伪距观测方程的线性化误差要比导航卫星伪距观测方程的线性化误差大得多[6]，从而影响到用户的定位精度。因此，需要减小伪卫星伪距观测方程的线性化误差。

基于以上分析，本文在研究伪卫星星历误差传递规律和伪距观测方程线性化误差的基础上，提出了一种新的最小二乘Unscented卡尔曼滤波算法。该算法首先利用最小二乘法估计出伪卫星的位置误差，以减小伪卫星位置误差对导航解算精度的影响；然后利用无迹卡尔曼滤波算法（Unscented-Kalman filter，UKF）对用户进行定位解算。仿真结果表明，与传统的扩展卡尔曼滤波算法相比，提出的算法能够有效减小伪卫星位置误差对用户定位精度的影响，提高独立组网伪卫星系统的定位精度。

1 最小二乘Unscented卡尔曼滤波算法

假设系统的状态方程和观测方程为：

式 （1）中，Xk为n维系统状态向量，Zk为维系统量测向量，f和h为非线性向量函数，Wk和Vk为不相关的零均值白噪声序列，方差阵分别为Qk和Rk。

1.1 UKF算法

与EKF不同，UKF不需要对状态方程或观测方程进行线性化，它利用非线性模型来近似逼近状态的分布，避免了线性化误差。其主要思想是选择能够代表系统状态均值和方差的采样点，再将采样点经过非线性变换，变换后采样点的分布以二阶以上精度接近于真实均值和方差。

UKF算法是基于UT（unscented transformation）变换的最小方差估计。 假设随机变量 X∈Rn～N（X，PXX），Y=f（X），则 Y的均值和方差可通过UT变换求取，步骤如下

1）计算2n+1个样本点

根据随机变量X的均值X和方差阵PXX，构造Sigma点集

式（2）中，k=α2（n+λ）-n 为尺度参数，调整它可以提高逼近精度；α确定周围Sigma点的分布程度，通常设为一个较小的正数（1>α≥1e-4）；λ 通常设置为 0或 3-n；用这组采样点 χi可以近似表示状态X的高斯分布。

2）通过非线性函数计算变换点

3）计算Y的均值和方差

W（m）i和W（c）i分别为计算Y的均值和方差所用权值

β为状态分布参数，对于高斯分布β=2是最优的；如果状态变量是单变量，则β=0是最佳的选择。

1.2 最小二乘Unscented卡尔曼滤波算法

在伪卫星存在位置误差的情况下，其位置坐标如下

式（9）中，Si=（xi，yi，zi）表示由星历计算得到的第颗伪卫星的位置；（x0i，y0i，z0i）表示第颗伪卫星的真实位置；（εxi，εyi，εzi）分别为第伪卫星在 3个坐标方向上的位置误差，εxi，εyi和 εzi相互独立且分别服从高斯分布 N（0，σ2xi），N（0，σ2yi）和 N（0，σ2zi）。

最小二乘Unscented卡尔曼滤波的步骤如下：

① 预测：根据系统状态的均值Xk和误差协方差Pk，计算状态预测值的均值和预测误差的协方差

②伪卫星位置向量估计：利用最小二乘估计得到伪卫星位置的估计值S^i。

③把第二步得到的估计值S^i代入量测方程中，然后计算量测量预测值的均值和误差协方差以及状态量和观测量的互协方差

④更新：计算滤波增益、滤波值和滤波误差矩阵

上述步骤中，通过最小二乘法对伪卫星的位置误差进行实时估计，修正伪卫星位置；并且利用无迹卡尔曼滤波算法对用户进行定位解算，减小星历误差和线性化误差对导解的影响，提高伪卫星的定位精度。

2 伪卫星定位系统模型

根据文献[7]，建立接收机用户静态下的离散系统状态方程：

式（22）中，Xk（x，y，z，δtu，δfu）T，（x，y，z）表示接收机位置，δtu为接收机钟差，δf为接收机钟漂Wk为系统激励噪声序列，取为零均值高斯白噪声，Qk为系统噪声序列的方差阵，假设为非负定阵。

离散系统每一颗可见星的量测方程为：

其中，Vk为量测噪声，且为零均值高斯白噪声；Rk为量测噪声序列的方差阵，假设为正定阵；Wk与Vk不相关。

3 仿真实验及分析

独立组网伪卫星系统的几何布局方案为：一颗伪卫星位于基准或定位中心位置的正上方，高度为30 km，另外3颗伪卫星均匀的分布于服务区的周边上空，高度角取15°，彼此间的方位角之差为120°，高度为20 km；第五颗伪卫星位于中心伪卫星的正下方，高度为20 km。假定接收机测量得到的各伪距误差相互独立且服从高斯分布；各伪卫星的位置误差相互独立且服从高斯分布；接收机时钟偏差Δt=200 ns；σρ=10 m；σs从1 m增加到100 m，仿真结果如图1和图2所示。

图1 GDOP值较小时定位性能比较Fig.1 Positioning performance comparison of small GDOP value

图2 GDOP值较大时定位性能比较Fig.2 Positioning performance comparison of big GDOP value

图 1和图 2分别对应接收机位于 u=（400 m，800 m）和u=（2 km，2.5 km）的情况，实际上也反映了伪卫星的几何布局（）对定位精度的影响。图1和图2中的上图对应于伪卫星数量为4的情况，下图对应于伪卫星数量为5的情况。通过对图1和图2中的上下图进行分析比较可以看出，随着伪卫星数量的增多，两种算法的定位精度都得到了提高。

图1和图2中方形表示采用最小二乘Unscented卡尔曼滤波算法计算得到的位置误差曲线，菱形表示采用扩展卡尔曼滤波算法计算得到的位置误差曲线。通过对图1和图2中误差曲线的分析和比较可以看出，在伪卫星存在位置误差的情况下，新算法的定位精度明显优于扩展卡尔曼滤波的定位精度，而且随着伪卫星位置误差的增大，该优势越明显。

4 结 论

为了提高独立组网伪卫星系统的定位精度，在研究伪卫星星历误差传递规律和伪距观测方程线性化误差的基础上，提出了一种新的伪卫星定位算法。将该算法应用到独立组网伪卫星系统中进行仿真验证，并与扩展卡尔曼滤波进行比较。结果表明，提出的最小二乘Unscented卡尔曼滤波算法，滤波性能优于扩展卡尔曼滤波[8]，能够显著提高伪卫星独立组网系统的定位精度。

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