二次函数的最值问题教学研究

丁杰良

如何开展习题课教学呢？笔者以“二次函数的最值问题”教学为例谈点看法.

一、教学呈现

1.问题式导入

在教学中，笔者设置了一个问题导入：要求学生在草稿纸上尝试着画一组二次函数的图象，并要求学生对自己画的图象进行解释，分析其特点.

评析：通过这样的导入形式，改变了传统的习题课一上来就要求学生做题目的弊端，让学生自主回顾和复习二次函数的图象和性质，很自然地切入到习题课的主题，当然学生作图时有些还是存在困难的，在学生作图的过程中，笔者积极巡视，发现问题并及时予以指导.

2.巧妙选题

（1）小切口热身

在该节课教学时，笔者选择了较低难度的例题，让学生首先热身.

例1①函数f（x）=x2+2x+3的最小值为多少？（定义域为R）

②函数f（x）=x2+2x+3在区间[0，10]上的最小值和最大值分别为多少？

这两个小问题，学生较容易解决，能够很快热身并融入课堂研究.

（2）精选范例深化研究

教学需要一定的梯度，不能总在简单问题上徘徊，要循序渐进，精选范例推进认知深化.

例2求函数f（x）=x2-2x-3在区间[2，3]上的最小值.

学生完成该题后，再进行变式训练，推进思维向纵深发展.

变式：求f（x）=x2-ax-3在区间[2，3]上的最小值.

变式与例2相比有一个小小的变化，学生需要一定的思维力度.从学生的解题来看，学生容易得到f（x）=（x-a2）2-a24-3.这时，学生思维出现了断层.为了帮助学生实现思维的衔接，笔者追加一个问题.

追问：函数f（x）=（x-a2）2-a4-3的最小值是多少？是不是（-a24-3）？

通过追问，学生的思维有了落脚点.学生独立思考，函数图象自然得到.解决时，函数定义域为[2，3]，对称轴为x=a2，只需要讨论对称轴x=a2与[2，3]的位置关系.

变式训练完成后，要求学生反思，让学生在反思解题过程中实现知识、方法的内化，数学素养得到提升.这样做符合新课程理念，这一过程是学生的自主行为，是教师的讲授无法替代的.

3.学生自主编题

学生自主编题需要一定的引导.从上述例题出发，笔者做如下提示：上述例题中函数的对称轴和区间都是确定的，而变式的区间定、对称轴动，根据上述情境，自己尝试着改编成一道题目.从学生的自主编题情况来看，学生的思维具有发散性，然后要求学生进行交流汇报，促使学生有效地掌握知识和方法.学生自主编题的过程是应用知识和思考方法的过程，也是主动参与学习的重要特征.

二、几点反思

1.习题课的设计思想应遵循新课程理念

习题课是学生应用课堂所学知识进行问题解决的课型，当问题无法解决时，学生会有紧张的感觉，特别是高考模式下，升学的压力不容忽视，因此我们的选题，必须考虑到学生的具体实际，问题的设置要有利于调节学生的学习情感，同时又要客观地暴露出学生解题过程和方法上的问题或闪光点，教学过程中要增加师生互动，通过课堂巡视、相互交流等形式，有效地巩固数学知识和数学思想方法，促进三维教学目标的达成.

2.确保学生的主体地位和教师的主导作用

尽管教师必须讲解，但其目的主要是给学生作示范，带动学生思考，所以教师要做好导演，把学生的积极性充分调动起来，使学生进入角色，保证学生的主体地位，教师切忌喧宾夺主.同时，教师要面向全体学生组织教学，特别要更多地关心学困生的学习，及时给予帮助和指导.

3.注重例题资源的充分挖掘

习题课更要讲究课堂教学效率，同时兼顾学生的可接受性.要注意变式处理，同时留足学生思维的时间和空间，通过变式训练引导学生在互动中树立生成性意识，此外，对于一道习题有时又存在多种解决问题的方法，此时注重解法的挖掘也有利于学生思维能力的提升.

总之，我们的习题教学，要让学生感受到数学的严谨、抽象，切身体验到了高中数学的趣与美，借此提升学习数学的热情和固化学好数学的信心.

如何开展习题课教学呢？笔者以“二次函数的最值问题”教学为例谈点看法.

一、教学呈现

1.问题式导入

在教学中，笔者设置了一个问题导入：要求学生在草稿纸上尝试着画一组二次函数的图象，并要求学生对自己画的图象进行解释，分析其特点.

评析：通过这样的导入形式，改变了传统的习题课一上来就要求学生做题目的弊端，让学生自主回顾和复习二次函数的图象和性质，很自然地切入到习题课的主题，当然学生作图时有些还是存在困难的，在学生作图的过程中，笔者积极巡视，发现问题并及时予以指导.

2.巧妙选题

（1）小切口热身

在该节课教学时，笔者选择了较低难度的例题，让学生首先热身.

例1①函数f（x）=x2+2x+3的最小值为多少？（定义域为R）

②函数f（x）=x2+2x+3在区间[0，10]上的最小值和最大值分别为多少？

这两个小问题，学生较容易解决，能够很快热身并融入课堂研究.

（2）精选范例深化研究

教学需要一定的梯度，不能总在简单问题上徘徊，要循序渐进，精选范例推进认知深化.

例2求函数f（x）=x2-2x-3在区间[2，3]上的最小值.

学生完成该题后，再进行变式训练，推进思维向纵深发展.

变式：求f（x）=x2-ax-3在区间[2，3]上的最小值.

变式与例2相比有一个小小的变化，学生需要一定的思维力度.从学生的解题来看，学生容易得到f（x）=（x-a2）2-a24-3.这时，学生思维出现了断层.为了帮助学生实现思维的衔接，笔者追加一个问题.

追问：函数f（x）=（x-a2）2-a4-3的最小值是多少？是不是（-a24-3）？

通过追问，学生的思维有了落脚点.学生独立思考，函数图象自然得到.解决时，函数定义域为[2，3]，对称轴为x=a2，只需要讨论对称轴x=a2与[2，3]的位置关系.

变式训练完成后，要求学生反思，让学生在反思解题过程中实现知识、方法的内化，数学素养得到提升.这样做符合新课程理念，这一过程是学生的自主行为，是教师的讲授无法替代的.

3.学生自主编题

学生自主编题需要一定的引导.从上述例题出发，笔者做如下提示：上述例题中函数的对称轴和区间都是确定的，而变式的区间定、对称轴动，根据上述情境，自己尝试着改编成一道题目.从学生的自主编题情况来看，学生的思维具有发散性，然后要求学生进行交流汇报，促使学生有效地掌握知识和方法.学生自主编题的过程是应用知识和思考方法的过程，也是主动参与学习的重要特征.

二、几点反思

1.习题课的设计思想应遵循新课程理念

习题课是学生应用课堂所学知识进行问题解决的课型，当问题无法解决时，学生会有紧张的感觉，特别是高考模式下，升学的压力不容忽视，因此我们的选题，必须考虑到学生的具体实际，问题的设置要有利于调节学生的学习情感，同时又要客观地暴露出学生解题过程和方法上的问题或闪光点，教学过程中要增加师生互动，通过课堂巡视、相互交流等形式，有效地巩固数学知识和数学思想方法，促进三维教学目标的达成.

2.确保学生的主体地位和教师的主导作用

尽管教师必须讲解，但其目的主要是给学生作示范，带动学生思考，所以教师要做好导演，把学生的积极性充分调动起来，使学生进入角色，保证学生的主体地位，教师切忌喧宾夺主.同时，教师要面向全体学生组织教学，特别要更多地关心学困生的学习，及时给予帮助和指导.

3.注重例题资源的充分挖掘

习题课更要讲究课堂教学效率，同时兼顾学生的可接受性.要注意变式处理，同时留足学生思维的时间和空间，通过变式训练引导学生在互动中树立生成性意识，此外，对于一道习题有时又存在多种解决问题的方法，此时注重解法的挖掘也有利于学生思维能力的提升.

总之，我们的习题教学，要让学生感受到数学的严谨、抽象，切身体验到了高中数学的趣与美，借此提升学习数学的热情和固化学好数学的信心.

如何开展习题课教学呢？笔者以“二次函数的最值问题”教学为例谈点看法.

一、教学呈现

1.问题式导入

在教学中，笔者设置了一个问题导入：要求学生在草稿纸上尝试着画一组二次函数的图象，并要求学生对自己画的图象进行解释，分析其特点.

评析：通过这样的导入形式，改变了传统的习题课一上来就要求学生做题目的弊端，让学生自主回顾和复习二次函数的图象和性质，很自然地切入到习题课的主题，当然学生作图时有些还是存在困难的，在学生作图的过程中，笔者积极巡视，发现问题并及时予以指导.

2.巧妙选题

（1）小切口热身

在该节课教学时，笔者选择了较低难度的例题，让学生首先热身.

例1①函数f（x）=x2+2x+3的最小值为多少？（定义域为R）

②函数f（x）=x2+2x+3在区间[0，10]上的最小值和最大值分别为多少？

这两个小问题，学生较容易解决，能够很快热身并融入课堂研究.

（2）精选范例深化研究

教学需要一定的梯度，不能总在简单问题上徘徊，要循序渐进，精选范例推进认知深化.

例2求函数f（x）=x2-2x-3在区间[2，3]上的最小值.

学生完成该题后，再进行变式训练，推进思维向纵深发展.

变式：求f（x）=x2-ax-3在区间[2，3]上的最小值.

变式与例2相比有一个小小的变化，学生需要一定的思维力度.从学生的解题来看，学生容易得到f（x）=（x-a2）2-a24-3.这时，学生思维出现了断层.为了帮助学生实现思维的衔接，笔者追加一个问题.

追问：函数f（x）=（x-a2）2-a4-3的最小值是多少？是不是（-a24-3）？

通过追问，学生的思维有了落脚点.学生独立思考，函数图象自然得到.解决时，函数定义域为[2，3]，对称轴为x=a2，只需要讨论对称轴x=a2与[2，3]的位置关系.

变式训练完成后，要求学生反思，让学生在反思解题过程中实现知识、方法的内化，数学素养得到提升.这样做符合新课程理念，这一过程是学生的自主行为，是教师的讲授无法替代的.

3.学生自主编题

学生自主编题需要一定的引导.从上述例题出发，笔者做如下提示：上述例题中函数的对称轴和区间都是确定的，而变式的区间定、对称轴动，根据上述情境，自己尝试着改编成一道题目.从学生的自主编题情况来看，学生的思维具有发散性，然后要求学生进行交流汇报，促使学生有效地掌握知识和方法.学生自主编题的过程是应用知识和思考方法的过程，也是主动参与学习的重要特征.

二、几点反思

1.习题课的设计思想应遵循新课程理念

习题课是学生应用课堂所学知识进行问题解决的课型，当问题无法解决时，学生会有紧张的感觉，特别是高考模式下，升学的压力不容忽视，因此我们的选题，必须考虑到学生的具体实际，问题的设置要有利于调节学生的学习情感，同时又要客观地暴露出学生解题过程和方法上的问题或闪光点，教学过程中要增加师生互动，通过课堂巡视、相互交流等形式，有效地巩固数学知识和数学思想方法，促进三维教学目标的达成.

2.确保学生的主体地位和教师的主导作用

尽管教师必须讲解，但其目的主要是给学生作示范，带动学生思考，所以教师要做好导演，把学生的积极性充分调动起来，使学生进入角色，保证学生的主体地位，教师切忌喧宾夺主.同时，教师要面向全体学生组织教学，特别要更多地关心学困生的学习，及时给予帮助和指导.

3.注重例题资源的充分挖掘

习题课更要讲究课堂教学效率，同时兼顾学生的可接受性.要注意变式处理，同时留足学生思维的时间和空间，通过变式训练引导学生在互动中树立生成性意识，此外，对于一道习题有时又存在多种解决问题的方法，此时注重解法的挖掘也有利于学生思维能力的提升.

总之，我们的习题教学，要让学生感受到数学的严谨、抽象，切身体验到了高中数学的趣与美，借此提升学习数学的热情和固化学好数学的信心.