时-空分数阶扩散方程的同伦近似解

谭璐芸

（铁岭师范高等专科学校师范学院，辽宁铁岭112000）

DOI：10.3969／J.ISSN.1004－602X.2014.02.006

时-空分数阶扩散方程的同伦近似解

谭璐芸

（铁岭师范高等专科学校师范学院，辽宁铁岭112000）

利用同伦分析方法，研究了具有初值条件的空间二维时空分数阶扩散方程。从问题本身考虑，通过构造同伦方程，合理选择辅助参数，获得了在较大范围内收敛的级数解析解。数值实验结果证明，该法在求解分数阶偏微分方程的近似解析解方面的有效性和优越性。

分数阶偏微分方程；同伦分析方法；近似解

近年来，分数阶微分方程在模拟物理、生物、医药、工程、金融等领域中的非线性现象得到广泛的应用。因此，发展分数阶微分方程的理论并给出相应的解法是非常必要的。尤其是分数阶偏微分方程的数值方法。目前，分数阶微积分方程的近似算法主要有：Adomian分解法［1］、变分迭代法［2］、有限元方法［3］、同伦摄动法［4］、谱方法［5］、有限差分方法［6］等等。廖世俊在1992年又提出来一种寻求非线性问题解析近似解的方法，即同伦分析方法［7－9］，该方法的基本思想是通过构造零阶形变方程和高阶形变方程将一个非线性问题转化为一系列线性问题来求解的。同伦分析法有别于传统摄动法，可以克服摄动方法依赖于小参数的局限性，并且该方法提供了有效途径来控制和调节近似级数解的收敛性，应用起来简单而有效。因此不仅适用于弱非线性问题，同样适用于强非线性问题。许多研究者已经成功地运用此方法解决了很多非线性问题。本文在此基础上，使用同论分析法求解时－空分数阶扩散方程。

1 同伦分析方法的基本思想

给定下面一般形式的方程：

其中，T是一个线性／非线性算子，u（x，y，t）是一个关于x，y和t的未知函数，x，y和t分别表示空间和时间上的独立变量。由同伦方法的思想，首先构造如下零阶形变方程：

其中，L是辅助线性算子，该算子具有性质：L［u（x，y，t）］＝0当且仅当u（x，y，t）＝0。

u0（x，y，t）是精确解u（x，y，t）的初始猜测解，h≠0是一个辅助参数。p∈［0，1］是嵌入参数。当p＝0及p＝1时，可得：φ（x，y，t；0）＝u0（x，y，0）＝u

因此，当p由0渐变到1时，φ（x，y，t；p）就从给定的初始解u0（x，y，t）渐变到原方程的解u（x，y，t）。将φ（x，y，t；p）关于嵌入变量p进行泰勒展开，有

如果辅助线性算子L，初始猜测解u0（x，y，t）和辅助参数h选取合适，当p＝1时，

级数（4）收敛。因此，

一定是原方程的解。为了计算（6）式中的未知项um（x，y，t）。定义向量

如果把方程（2）两边对P求m阶偏导，并除以m！，最后再令p＝0，则得到如下的形变方程：

只要将L的逆算子L－1作用到方程（8）的两端，我们可以利用maple或mathematica符号计算软件计算出um（x，y，t）。

2 同伦分析方法求解时－空分数阶扩散方程

具有初值条件的空间二维时空分数阶扩散方程：

当β＝0，1，2时Weyl分数阶导数简化成如下形式：

3 数值实验

例1 考虑如下初值分数阶方程：

其中，－∞＜x，y＜∞，t＞0，f（x，y）∈L1（－∞，∞）

我们选取线性算子L如下：

另一个算子T定义如下：

首先构造零阶形变方程：（1－p）L［φ（x，y，t；p）－u0（x，y，t）］＝phT［φ（x，y，t；p）］，（19）

当p＝0和p＝1时，可得φ（x，y，t；0）＝f（x，y）及φ（x，y，t；1）＝u（x，y，t）。

针对实际工业过程中普遍存在的非线性对象。本文介绍了基于多模型的DMC策略，仿真结果表明采用基于递推贝叶斯概率加权算法的多模型DMC算法能够较好的适应非线性系统参数的时变特性，动态品质明显优于传统的控制方式。同时将搭载算法的PLC成功地应用到物理实验平台，算法的实际可行性也为进一步应用工业到现场提供了借鉴。

其中，Rm［u→m－1（x，y，t）］＝［um－1（x，y，t）］－［um－1（x，y，t）］－［um－1（x，y，t）］。

用线性算子L的逆算子作用到（20），可得

因f（x，y）∈L1（－∞，∞）所以其二维的Fourier表示，如下：

进一步由（21）可得以下结果：

当h＝－1时，有

上式就是方程（16）的解析解。

例2 考虑如下方程：

如例1的分析，可构造如下高阶形变方程：

进一步可得如下结果：u0（x，y，t）＝sin（πx）cos（πy），

于是方程的解可表示为：

例2的结果如下：当α和β取不同数值，在x＝0.25，y＝0.25，t＝0.2时，u（x，y，t）对应的5－阶近似h曲线（如图1）。辅助参数h的区域可以通过h曲线来确定，图1中h在－1到0的水平区域可以保证解的收敛。通过合理选择辅助参数h值来调节得到的级数解的收敛速度。图2给出了当α＝0.99，β＝1.99，不同h时，方程（26）所对应的5－阶近似解以及极限情况下得到的整数阶问题的精确解u1，2。由图2可以看出，在h＝－0.8时，解的近似程度最好。当t＝0.2，－2≤x≤2及－2≤y≤2时，图3给出了α＝0.99，β＝1.99及h＝－0.8时例2的5－阶近似解。

图1 给定α和β时，u（0.25，0.25，0.2）的5－阶近似h曲线

图2 α＝0.99，β＝1.99，不同h所对应的u（0.25，0.25，t）的5－阶近似解

图3 α＝0.99，β＝1.99及h＝－0.8时，例2在t＝0.2处的5－阶近似解

4 结束语

本文运用同伦分析法研究了时－空分数阶非线性扩散方程。首先根据初始条件合理确定基函数，再依据廖世俊教授提出的同伦分析方法的三条原则，选择理想的辅助算子以及辅助函数等，然后构造零阶形变方程和高阶形变方程，最后通过计算，得到方程的近似解析解。数值实验证明了同伦分析方法在求解分数阶偏微分方程收敛解析解方面的优越性，进一步拓展了同伦分析法的应用范围。

［1］Adomian G，Rach R.Modified decomposition solution of linear and nonlinear boundary－value problems［J］.Nonlinear Anal，1994，34：615－619.

［2］Darvishi M T，Khani F.Numerical and explicit solutions of the fifth－order Korteweg de Vries eyuations［J］.Chaos，Solitons＆Fractals，2009，39：2484一2490.

［3］Choi Y J，Chung SK.Finite Elonieiit Solutions for the Space Fractional D－iffusion Equation with a Nonlinear Source Term［J］.Abstr.Appl.Anal.，2012.doi：10.1155／2012／596184.

［4］He Jihuan.Homotopy perturbation method：a new nonlinear analytical techniyue［J］.Applied Mathematics and Computation，2003，135：73－79.

［5］Lin Y M，Xu C J.Finite difference／spectral approximations for the time－fractional diffusion equation［J］.J.Comput. PhysM 2007，225：1533－1552.

［6］MeerschaertM，Tadjeran C.Finite difference approximations for fractional advection－dispersion flow equations［J］.J. coinpiit.Appl.Math.2004，172：65－77.

［7］Wu Y Y，Cheung K F.Homotopy solution for nonlinear differential equations in wave propagation problems［J］.Wave Motion，2009，46：1－14.

［8］Abbasbandy S.Homotopy analysismethod for the Kawahara equation［J］.Nonlinear Anal.Real World AppL，2010（11）；307－312.

［9］Wang Q.The optimal homotopy－analysismethod for Kawahara equation［J］.Nonlinear Anal.RealWorld Appl.，2011（12）：1555－1561.

［10］Elsaid A.The variational iteration inotliod for solving Ricsz fractional partial differential eqiiatioiis［J］.Comput.Math. Appl2010，60：1910－1947.

［责任编辑 贺小林］

Approximate Solutions of Time－Space Fractional Diffusion Equation By Homotopy Analysis M ethod

TAN Lu-yun
（Teachers College，Tieling Normal College，Tieling 112000，China）

The homotopy analysismethod is applied to study the two－dimensional time－space fractional diffusion equation with initial conditions.By constructing homotopy equation and by a reasonable choice of auxiliary parameters，the analytical solutions of a wide range of convergent series are obtained.Numerical results show that this method is effective and superior in solving partial differential equations of fractional.

time－space fractional diffusion equation；Homotopy perturbation method；approximate solutions solution

O175.29

A

1004－602X（2014）02－0006－04

2014 01 15

谭璐芸（1966—）女，辽宁铁岭人，铁岭师范高等专科学校副教授。