复合射孔爆燃气体压裂裂缝起裂扩展研究*

李海涛,罗 伟,姜雨省,张俊松

(1.西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室，四川 成都 610500； 2.中海油能源发展股份有限公司工程技术分公司，天津 300452； 3.中石化石油工程西南有限公司井下作业分公司，四川 德阳 618000)

复合射孔技术的基本原理是通过先引爆射孔弹成孔，推进剂随后燃烧产生大量的高温高压气体，这样在射孔的同时对地层进行高能气体压裂，使其在地层中形成一种孔缝结合的径向多裂缝体系，有效解除地层污染，从而达到增产增注的目的[1-2]。复合射孔优化设计和增产增注效果评价的前提条件是裂缝起裂扩展的准确预测，由于射孔弹炮轰产生的初始裂缝的存在，使复合射孔的裂缝起裂扩展研究不能采用传统的水力压裂裂缝起裂判据[3-4]。目前学者们对爆燃气体压裂裂缝起裂扩展进行了一些研究：R.H.Nilson等[5-8]、L.Petitjean等[9]、W.Y.David等[10]基于准静态理论建立了爆燃气体驱动裂缝扩展模型及其数值求解方法，但并没有对裂缝起裂与止裂过程进行模拟分析；王家来等[11]、杨小林等[12]将损伤力学和断裂力学相结合，建立了裂缝尖端断裂的损伤局部化模型；陈莉静等[13-14]推导了高地应力约束条件下裂缝尖端应力强度因子，得到了裂缝起裂扩展条件，并分析了裂尖动态效应对裂缝起裂扩展的影响；李宁等[15]基于动态接触界面模型用有限元的方法模拟了爆燃气体驱动裂缝起裂扩展过程。国内这些学者的研究都是在假设缝内气体压力分布解析表达式即缝内气体压力分布已知的基础上对裂缝的起裂扩展过程进行分析，但实际上缝内气体压力分布涉及到爆燃气体在缝内的紊流流动、岩石的动态响应及爆燃气体压力的动态变化等多层次耦合求解问题，因而简单地假设缝内气体压力分布得出的模拟结果不能真实地反映实际情况。

本文中，作者在前人研究的基础上，首先运用线弹性断裂力学理论建立裂缝起裂扩展的裂缝尖端应力强度因子判据，然后运用流体力学和弹性力学理论分别建立爆燃气体在裂缝内流动的基本运动微分方程和裂缝宽度控制方程，通过建立与多个变量相关的缝内气体压力分布函数，利用迭代法实现该耦合模型的数值求解，模拟爆燃气体压裂裂缝的起裂扩展与止裂过程，并分析不同特征参数对它的影响，以期为复合射孔优化设计提供参考与理论指导。

1 裂缝尖端应力强度因子判据

由断裂力学理论可知，对于一对双翼裂缝，裂缝尖端应力强度因子[16]为

(1)

式中：L为裂缝长度，θ为裂缝内任意给定处的相对位置，p(θ)为裂缝内θ处的气体压力，σ为地应力，rw为井筒半径。

其中权函数f(θ,L/rw)与裂缝几何形状和井筒半径相关：

(2)

从式(1)可以看出，裂缝尖端应力强度因子与缝内气体压力分布、地应力及裂缝长度有关。

与直井水力压裂产生双翼裂缝不同的是，复合射孔在近井地带通常要产生3～6条裂缝，多裂缝对裂缝尖端应力强度因子的影响可以在权函数f(θ,L/rw)上再引入一个与裂缝条数相关的乘子fN，其中fN的表达式为

(3)

(4)

式中：N为裂缝条数。

根据线弹性断裂力学理论，对于带有裂隙的岩石，判断其是否断裂应该采用K判据，即裂缝起裂扩展条件为

KI≥KIC

(5)

式中：KIC为岩石断裂韧性，它表征了岩石阻止裂缝起裂扩展的能力，是岩石抵抗脆性破坏能力的一个韧性指标。对于同一种岩石，在一定的条件下，KIC为一个常数。

2 裂缝内气体流动方程与缝宽控制方程

模型建立时作如下假设：

(1)在裂缝扩展过程中地层应力场是稳定的，且地层各向均质同性；

(2)非弹性响应仅限于在裂缝尖端很小的区域内；

(3)裂缝内气体的流动是等温流动，不考虑气体与地层的热交换；

(4)形成的裂缝为高度恒定的楔形径向裂缝。

2.1 裂缝内气体流动方程

爆燃气体在裂缝内流动的连续性方程为

(6)

爆燃气体在裂缝内流动的动量守恒方程为

(7)

式中：ρ为裂缝内气体密度，w为裂缝宽度，u为裂缝内气体的流动速度，v为裂缝内气体的侧向渗滤速度，p为裂缝内气体压力，λ为裂缝壁对气体的摩阻系数。

式(7)左边部分代表了爆燃气体在裂缝内流动的惯性作用，因爆燃气体驱动裂缝扩展被视为一个准静态过程，因此在实际分析过程中惯性作用可以忽略，这样式(7)就变成了爆燃气体沿裂缝的压力梯度与摩擦力之间的一个平衡方程。

爆燃气体在裂缝内的流动为紊流流动，其摩阻系数

(8)

式中：ε为裂缝表面粗糙度，a=0.1，b=0.5。

裂缝内爆燃气体的侧向渗滤速度

(9)

式中：pr为地层压力,k为地层渗透率,φ为地层孔隙度,μ为裂缝内气体黏度,β为气体压缩系数,t为裂缝扩展时间,τ为爆燃气体到达裂缝任意位置处的时间。

可压缩气体的状态方程为

(10)

式中：R为摩尔气体常数,T为气体温度,Mg为气体相对分子质量,Z为气体偏差系数。

2.2 缝宽控制方程

根据弹性力学理论，裂缝内任意给定处的缝宽为

(11)

式中：ν为泊松比,G为岩石剪切模量,θ1和θ2为裂缝内不同处的相对位置。

同样多裂缝对缝宽的影响也在权函数f(θ,L/rw)上再引入乘子fN，其中fN的表达式不变，f∞变为

f

(12)

3 裂缝起裂扩展数值求解

3.1 缝内气体压力分布函数

根据爆燃气体在裂缝不同位置处的衰减特点[8]，将缝内气体压力分布函数p(θ,t)表示为：

(13)

图1 缝内气体压力分布的2种情况Fig.1 Gas pressure distribution in fracture of two different types

式中：p(θ,t)为t时刻裂缝内θ处的气体压力,θ″(t)为t时刻爆燃气体流动尖端的相对位置,p(θ″,t)为t时刻爆燃气体流动尖端θ″处的气体压力,p(0,t)为t时刻裂缝入口处的气体压力,m为缝内气体压力分布指数。

在实际裂缝扩展过程中缝内气体压力分布会出现2种不同的情况(见图1)：(1)爆燃气体流动尖端和裂缝尖端重合(全部穿入)，即θ″(t)=1，0≤p″(1,t)<1；(2)爆燃气体流动尖端和裂缝尖端不重合(部分穿入)，即0<θ″(t)<1，p″(θ″,t)=0。

3.2 求解方法

由式(13)可知，缝内气体压力分布函数与多个变量相关，该裂缝起裂扩展模型无法直接求解，本文中采用迭代法并结合实际的边界条件和初始条件在离散的时间域内(从推进剂燃烧开始)对其进行求解。具体方法如下：

(1)根据建立的缝内气体压力分布函数，假设p″(1,t)或θ″(t)的初值；

(2)通过裂缝尖端应力强度因子判据计算得到缝内气体压力分布指数m；

(3)由式(11)、(10)、(7)、(9)和(6)在裂缝尖端的积分可以计算得到裂缝宽度、缝内气体密度、缝内任意位置处的气体流速、气体侧向滤失速度和裂缝延伸速度；

(4)运用式(6)判断该时刻爆燃气体在整个裂缝内的流动是否满足质量守恒，如果满足，则说明该时刻裂缝开始起裂扩展，如果不满足，改变p″(1,t)或θ″(t)，重复方法(2)～(3)，当p″(1,t)≥1或θ″(t)≤0时还不满足，说明该时刻裂缝还没有起裂扩展，则进行下一时刻裂缝起裂扩展判断。运用相同的方法可以对裂缝扩展后期的止裂进行判断。

4 实例计算分析

基于所建裂缝起裂扩展模型的数值求解方法，编制相应程序，进行实例计算，并分析不同特征参数对裂缝起裂扩展与止裂过程的影响，有关计算参数为：岩石的杨氏模量为21.4 GPa，泊松比为0.23，岩石断裂韧性为0.5 MPa·m0.5，裂缝表面粗糙度为0.1 mm，地应力为25 MPa，地层压力为28 MPa，地层孔隙度为0.14，地层渗透率为50 md(0.05 μm2)，裂缝条数为4，井筒半径为0.108 m，气体黏度为22 μPa·s，裂缝初始长度L0=0.45 m。图2是缝口气体压力和爆燃气体温度随时间的变化曲线，其也是作为实例计算的输入参数。

图3显示了缝内气体压力分布随时间的变化情况，从图中可以看出，随着裂缝扩展的进行，爆燃气体流动尖端与裂缝尖端经历了由重合到不重合再到重合的过程。这主要是因为在裂缝扩展前期，由于气体压力不高，裂缝扩展速度不大，爆燃气体流动尖端与裂缝尖端重合，即爆燃气体进入裂尖区域；到裂缝扩展中期，随着气体压力的升高，裂缝扩展速度逐渐变大，爆燃气体的流动速度小于裂缝扩展速度，爆燃气体流动尖端与裂缝尖端不重合，即爆燃气体未进入裂尖区域；再到裂缝扩展后期，气体压力逐渐降低，裂缝扩展速度变缓，爆燃气体流动尖端又与裂缝尖端重合，即爆燃气体又进入裂尖区域。

图2 缝口气体压力与爆燃气体温度随时间的变化Fig.2 Gas pressure at the inlet and gas temperature varied with time

图3 缝内气体压力分布随时间的变化Fig.3 Gas pressure distribution in fracture versus time

4.1 地应力对裂缝起裂扩展和止裂的影响

表1和图4分别是不同地应力下的裂缝扩展情况和裂缝长度随时间的变化，从表1和图4可以看出，裂缝起裂压力pi与止裂压力pa随地应力增大而增大。这是因为地应力是裂缝扩展的主要阻力，地应力增大将使裂缝内净压力p(θ)-σ减小，裂缝起裂扩展更困难；在缝口气体压力随时间变化曲线相同的条件下，地应力增大，裂缝起裂(起裂时间ti)滞后，裂缝止裂(止裂时间ta)提前，爆燃气体有效致裂作用时间缩短，即爆燃气体能量利用率降低，最终得到的裂缝扩展长度也减小。所以，有效克服地应力是复合射孔取得良好施工效果的关键。

图4 不同地应力下裂缝长度随时间的变化Fig.4 Fracture length versus time for various in-situ stresses

σ/MPati/mspi/MPata/mspa/MPaL/m2222.324.17157.223.614.932523.827.22131.826.783.852825.430.47112.030.222.93

4.2 初始裂缝长度对裂缝起裂扩展和止裂的影响

表2和图5显示了初始裂缝长度对裂缝扩展的影响，从表2和图5可以看出，裂缝起裂压力与止裂压力随初始裂缝增长而减小。由式(1)可知裂缝尖端应力强度因子与初始裂缝长度成正比，初始裂缝增长会使裂缝尖端应力强度因子增大，裂缝更容易起裂扩展；初始裂缝越长，裂缝起裂提前，裂缝止裂滞后，爆燃气体有效致裂作用时间越长，即爆燃气体能量利用率越高，裂缝扩展更长。因此，提高射孔弹性能使初始裂缝更长，对提高复合射孔施工效果具有重要的意义。

图5 不同初始裂缝长度下裂缝长度随时间的变化Fig.5 Fracture length varied with time for various initial crack lengths

L0/mti/mspi/MPata/mspa/MPaL/m0.1024.328.23130.326.983.530.4523.827.22131.826.783.851.0023.727.02133.526.554.31

4.3 岩石断裂韧性对裂缝起裂扩展和止裂的影响

图6 不同岩石断裂韧性下裂缝长度随时间的变化Fig.6 Fracture length with time for various fracture toughnesses

表3和图6分别是不同岩石断裂韧性下的裂缝扩展情况和裂缝长度随时间的变化，从表3和图6可以看出，岩石断裂韧性的改变对裂缝起裂，止裂和裂缝扩展长度的影响很小。这主要是因为岩石断裂韧性对裂缝扩展的阻力作用相比于较大的地应力是非常小的，一般可以忽略不计。因此，在进行爆燃气体压裂裂缝起裂扩展模拟时，为简化计算，可以将岩石断裂韧性设定为零。

表3 不同岩石断裂韧性下的裂缝扩展情况Table 3 Fracture extension under different fracture toughnesses

4.4 升压速率对裂缝起裂扩展和止裂的影响

为了得到升压速率vp对裂缝扩展的影响，首先绘制了不同升压速率下(1.70、1.22、0.92 MPa/ms)缝口气体压力随时间的变化曲线(见图7)，然后将不同升压速率下的裂缝起裂、止裂和裂缝扩展情况进行了比较，具体结果见表4和图8。

表4 不同升压速率下的裂缝扩展情况Table 4 Fracture extension at different rates of pressure rise

图7 不同升压速率下缝口气体压力随时间的变化Fig.7 Gas pressure at the inlet with varied time at various rates of pressure rise

图8 不同升压速率下裂缝长度随时间的变化Fig.8 Fracture lengths varied with time at various rates of pressure rise

在实际爆燃气体压裂裂缝起裂扩展过程中，升压速率越大，产生的裂缝越多，但为了分析升压速率单因素对裂缝扩展的影响，本文中忽略升压速率对裂缝条数的影响，将裂缝条数设为定值。从表4和图8可以看出，升压速率的改变对裂缝起裂压力没有影响，对裂缝止裂压力的影响也很小，这是因为裂缝起裂扩展的难易程度是岩石的一种固有属性，不会随升压速率的改变而改变；同时也可以看出，升压速率越小，在裂缝扩展前期的裂缝长度也越小，但是到了裂缝扩展中后期，小升压速率对应的裂缝扩展长度逐渐接近并超过大升压速率对应的裂缝扩展长度，这主要是由于升压速率的减小会使裂缝起裂滞后，同时使止裂也滞后，但是止裂滞后的时间远大于起裂滞后的时间，所以升压速率越小爆燃气体有效致裂作用时间越长，最终得到的裂缝扩展长度也越大。因此，控制升压速率，延长爆燃气体有效致裂作用时间是提高复合射孔施工效果的有效途径。

5 结 论

建立了复合射孔爆燃气体压裂裂缝起裂扩展模型，实现了模型的数值求解，并探讨了影响裂缝起裂扩展与止裂过程的因素，得到了以下结论与认识：

(1)裂缝扩展前期爆燃气体流动尖端与裂缝尖端重合，爆燃气体进入裂尖区域，到裂缝扩展中期裂缝扩展速度变大，爆燃气体未进入裂尖区域，再到裂缝扩展后期爆燃气体流动尖端又与裂缝尖端重合，即爆燃气体又进入裂尖区域。

(2)地应力越大，裂缝起裂压力与止裂压力越大，裂缝起裂扩展越困难，同时起裂滞后，止裂提前，即爆燃气体有效致裂作用时间越短，最终得到的裂缝扩展长度也越小。

(3)初始裂缝越长，裂缝起裂压力与止裂压力越小，裂缝更容易起裂扩展，同时起裂提前，止裂滞后，即爆燃气体能量利用率越高，裂缝扩展更长。

(4)岩石断裂韧性的改变对裂缝起裂、止裂和裂缝扩展长度的影响很小，在实际模拟计算过程中，可以将其设定为零。

(5)升压速率越小，爆燃气体有效致裂作用时间越长，最终裂缝扩展也更长，但升压速率的改变对裂缝起裂压力与止裂压力几乎没有影响。

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