封闭边界水平井压后产量预测模型

郭大立，郭玉龙 （西南石油大学理学院，四川 成都 610500）

陈祥 （中石油新疆油田分公司采油二厂，新疆 克拉玛依 834008）

柯西军，陶礡 （西南石油大学理学院，四川 成都 610500）

水平井具有泄油面积大、单井产量高、穿透度大、储量动用程度高等优点，因此，水平井开发方式在国内众多油田推广使用。水平井技术和水力压裂技术均是开发低渗透油气田的有效手段，它们结合的压裂水平井技术能更有效地开发低渗透油藏。水平井压裂后形成多条在长度、宽度、导流能力等方面各不相同的裂缝，而在生产过程中，裂缝彼此之间的互相干扰，又进一步增加了压裂后水平井产量计算的复杂性。而水平井压后产量计算的精确程度不仅影响水平井水力压裂优化设计结果，而且影响压裂经济评价结果。因此，对水平井压后产量进行预测具有重要意义。国内外诸多学者对此进行了不同方面的研究［1～10］。笔者在过去研究认识成果的基础上，考虑全封闭有界地层的实际情况，并鉴于地应力在水平井井筒方向上的差异以及压裂工艺的限制，考虑裂缝长度不同，与井筒夹角不同等，建立了多条裂缝相互干扰的水平井产量预测模型。

1 水平井压后产量预测模型

1.1 基本假设

1）储层封闭且均质，矩形边界，等温不稳定渗流，无能量补充且不考虑重力影响。

2）油藏和裂缝内流体为单相流，多孔介质和液体均可压缩。

3）裂缝完全穿透储层，彼此间距离不等，尖端不重合，并且与井筒可成任意角度。

4）流体先沿裂缝壁面均匀流入，再由裂缝流入井筒，不考虑基质直接流入井筒的渗流过程［11］。

1.2 数学模型

根据以上假设，建立如下渗流数学模型：

对数学模型进行无量纲化处理，具体形式如下：

式中：φ0为某一压力下的孔隙度，%；ct为综合压缩系数，Pa－1；p为压力，MPa；t为渗流时间，s；K为地层的渗透率，m2；μ为地下原油黏度，mPa·s；Q（t，x0，y0）为在直角坐标平面上的点汇 （x0，y0）处的流量，m3/s；δ（x－x0，y－y0）为δ函数，（x，y） 是直角坐标系平面上的任意一点；pi为原始地层压力，MPa；h为储层厚度，m；（xD，yD）为无量纲坐标，（1，1）；tD为无量纲时间，1；pD为无量纲压力，1；Q0为参考流量，m3/s；ND（tD）为无量纲时间tD时的无量纲产量，1。

无量纲化后数学模型实际上是一个区域内的格林函数，因此求解化简为二维特征值问题，分离变量后得到2个一维特征值问题，再利用特征函数性质，最后求解得：

1.3 模型分析

水平井井筒方向不一定平行于边界的某一面，而且与最小主应力的方向也不一定相同。因此，井筒和X轴成一定角度ω，裂缝与井筒也存在角度α，如图1。将裂缝左右两翼 （井筒以下裂缝为左翼，以上为右翼，可以不对称）分别分成M等份，每一份都作为一个点汇来研究。设第i条裂缝的起裂点坐标为（xfi，yfi），裂缝的左翼长度为Lfli，右翼长度为Lfri，该裂缝左翼和右翼上第j个点汇的坐标 （等份中点的坐标）分别为 （xlij，ylij）和 （xrij，yrij）。第i条裂缝产量为qfi，左翼和右翼上第j个点汇的产量分别为qflij和qfrij。其中：

图1 井筒－裂缝模型示意图

图2 微型油藏模型示意图

1.4 微型油藏

人工裂缝可能关于井筒不对称，若第i条人工裂缝左翼尖端处的压力为pfli，右翼尖端处的压力为pfri，所以取两翼裂缝尖端处压力的平均值作为裂缝尖端压力。虽然裂缝与井筒成一定角度，但根据面积相等原则，第i条裂缝可看作是一个微型油藏，如图2。其具体参数为：流动半径Ri为［（Lfli＋Lfri）h/π］1/2，裂缝宽度为wi，边界压力为裂缝尖端压力pi（）t，井底流压为井筒内压力pwfi。微型油藏内部流动方式可处理为平面径向流。则裂缝向井筒的渗流过程可写为：

式中：μ为地下原油黏度，Pa·s；B为地下原油体积因数，1；Kfi为第i条人工裂缝的渗透率，m2；rw为井筒半径，m；S为表皮因数，1。

流体在水平井段中流动所产生的流动阻力远远小于流体在储层中流动时产生的阻力，可忽略水平井段流体流动的压力降落损失，则裂缝底部的压力可近似为井底流压。将模型分析所得各参数无量纲化后代入式 （1），并应用复位势理论和势能叠加原理，同时考虑裂缝流动，最终求得无量纲化井底流压计算公式：

式中：下标f为裂缝；i，k为裂缝编号；j为点汇编号；l为裂缝左翼；r为裂缝右翼；D为无量纲化后；（xfilD，yfilD）为第i条裂缝左翼尖端无量纲坐标；（xfirD，yfirD）为第i条裂缝右翼尖端无量纲坐标。

1.5 产量预测

假设井筒可近似封闭，则水平井总产量：

储层的累计产量Qc为：

式中：F为水平井裂缝条数；ti＋1－ti为时间间隔，即后一时间减前一时间之差。

2 模型求解

上述水平井压后产量预测模型主要包含流体在油藏中的流动和在人工裂缝中的流动两方面内容，因此求解时需要运用解析法和网格划分法。根据式（3），可得系数矩阵，再利用高斯全选主消去法求解方程组，得到每条裂缝产量，加和即可得到总产量。计算卷积时化为积分形式，应用复化辛普森公式求取。运用编程工具，通过控制步长还可得到任一时间内每条裂缝和水平井的平均产量以及累计产量。

3 实例运用

基于上述模型和方法，研制了相应软件，并应用于多口压裂水平井。经多次实例预测分析，预测产量与实际产量误差均在20%以下。以某一口压裂水平井为例，具体分析如下。该井主要地层参数：储层厚度15m，储层渗透率0.13mD，储层孔隙度9.03%，表皮因数4，水平井井筒半径0.12m，原始地层压力27MPa，井底流压22MPa。8条垂直裂缝参数见表1。8条裂缝之间的间距：第1条和第2条为91m，第2条和第3条为98m，第3条和第4条为97m，第4条和第5条为94m，第5条和第6条为60m，第6条和第7条为89m，第7条和第8条为90m。

生产时间为720d，该水平井压后日产量如图3所示。根据所给出的该井的基本参数，运用水平井压后产量预测软件进行预测，预测平均 产 量 结 果 为 18.07m3/d，实 际 结 果 为16.87m3/d。计算所得产量比实际产量只高了7.11%。可见，模拟计算的产量与实际产量较为接近，该水平井压后产量预测模型所求结果准确性高且比较稳定。

表1 裂缝参数统计表

图3 水平井压后产量曲线图

4 结论

1）封闭边界水平井压后产量预测模型考虑了各条裂缝导流能力、几何尺寸及其与水平井筒夹角等，能够较真实地模拟封闭边界多条裂缝相互干扰的复杂地下储层情况。

2）实例运用表明，该模型能够快速、准确地预测水平井压裂后的产量。

3）模型预测精度较高，稳定可靠，能够满足现场需要，具有很好的推广应用价值。

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［编辑］ 黄鹂