一元二次方程的应用教学思考

苏文旭

【摘 要】一元二次方程应用归纳 解法 举例 总结

【关键词】一元二次方程应用 题型归类

在初中数学的教学中，应用题的教学是一个难点，一元二次方程的应用也不例外是一个，在近几年的中考中时时刻刻困扰着学生，下面我就一元二次方程的应用做一个归纳。仅供参考：

应用一元二次解决实际问题有下面常见的几种类型：

增长率或降低率问题：

关于一元二次方程应用题中的增长（降低）率问题，根据相等关系，多渠道筹措会得出基本关系式为： a（1±x）2=b，

套用公式a（1±x）2=b，注：（1）a是初始量，b是连续增长两次或连续降低两次的量，x为百分率，“+”为增长，“-”为降低；（2）解的过程用直接开平方法，无论是增长的百分率还是降低的百分率都是正值，把负值舍去。

青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8712kg，求水稻每公顷产量的平均增长率。

解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x，于是有

7200（1+x）2=8712

解方程，得

x1=0.1=10%， x2=-2.1（舍去）

根据问题的实际意义，水稻每公顷产量的平均增长率为10%。

这类问题在现实世界中有许多原形，它可以用一元二次方程作为数学模型，设平均变化率为x，则有下列关系

变化前数量×（1+x）2=变化后数量

营销问题：

问题背景是商品买卖中的定价、销量、利润的关系，其中定价的高低直接影响到销量的变化，价格降低，销量增加；价格升高，销量减少，进而会引起利润和管理成本的变化，主要数量关系由售价、成本、销量、利润四部分组成。

百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎 “六一”国际儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

解：设每件童装应降价x元，于是有：

（40-x）（20+2x）=1200 即 x2-30x+200=0

解方程，得 x1=20， x2=10

根据题意，因为要扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x=20。

方程的两个根都是正数，但它们并不都适合问题的解，必须根据它们的值来确定哪个合乎实际，这种取舍选择要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题结合的能力。

几何问题：

与几何问题有关的一元二次方程应用题主要有两类：（1）几何图形的面积问题：这类问题的面积公式的等量关系，如果图形不规则，应分割或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式找出等量关系列出方程。（2）勾股定理问题：直角三角形的两直角边的平方等于斜边的平方是这类问题的等量关系。

下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直天积（矩形面积），八百六十四步，（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步，（宽比长少一十二步，问阔及长各几步？

解：设阔（宽）x步，则长为（x+12）步，

根据题意，列出方程：

x（x+12）=864

即 x2+12x-864=0

解方程，得 x1=24， x2=-36（舍去）

答：矩形的阔（宽）为24步，长为36步。

与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数字及数字间的关系隐蔽在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形，涉及三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理等。解决这类问题的关键是把实际问题数字化，这就要求我们认真分析题意，先把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何定理来寻找它们之间的关系，列出一个相关的一元二次方程，从而问题得以解决。

数字问题：利用一元二次方程解决数字问题的关键是正确而巧妙地设未知数，一般采用直接设未知数的方法。

一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数。

解：设十位数字为x，则个位数字为x+3，于是有：

（x+3）2=10x+x+3

解方程，得 x1=2， x2=3

根据题意，x1， x2都是方程的解

所以这个两位数是52或63

方法技巧：从文字语言中找出存在的相等关系

注意：做一元二次方程的应用这些题目时，首先要正确地设未知数并列出方程，然后正确地解方程，所以要对这类问题进行适当的归纳，但不要搞成偏重死记硬背题型的教学方式，要教会学生分析问题的能力。

本内容的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地建立一元二次方程是主要难点，突破难点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。

经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

通过对一元二次方程解决身边问题，体会数学知识的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用；学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用能力。

本内容是以列一元二次方程解应用题为中心，深入探究数量关系，提高学生应用方程分析解决问题的能力，强调解题应用，使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，并增强择优能力，让学生在自主探索和合作交流的过程中学习，获得数学活动经验。endprint