下卧倾斜硬层对非均布荷载下地基沉降的影响＊

陈昌富，曹 虹，王纯子，吴燕泉

（湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082）

下卧倾斜硬层对非均布荷载下地基沉降的影响＊

陈昌富†，曹 虹，王纯子，吴燕泉

（湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082）

从沉降计算的弹性理论出发，结合有限元数值分析，以地基表面到下卧硬层的深度与基础宽度之比（深宽比）和下卧硬层倾斜角（假设硬层倾向在所取分析截面内）为变量，探讨了下卧倾斜硬层对非均布荷载下地基沉降的影响。以数值计算结果为根据，得到不同形式荷载作用下的沉降（差）影响系数，并绘出图表以辅助工程实际应用，同时就计算参数对沉降的影响、最大沉降点位置随深宽比和倾斜角的变化而偏移的现象进行了参数分析。最后，给出具体应用示例，验证了该方法的可行性.

沉降；地基；浅基础；下卧倾斜硬层

弹性地基上基础梁、板的沉降（挠度）计算是土木建筑和水利工程中一个重要而又复杂的课题［1］.对于地基模型的选择，应用最为广泛的是文克尔（Winkle）地基.文克尔假设使弹性地基上结构物的计算大为简化，因而在实际工程中常被使用［2］.但是文克尔假设本身没有反映地基变形的连续性，因而不能全面反映弹性地基与结构物的相关作用.

前苏联学者普罗克托尔于1919年提出半无限弹性体理论，假设地基是半无限弹性体，应用弹性理论计算地基沉降，他选择地基沉降为位置函数，求解了短梁受集中荷载问题［3］.钱令希等［4］学者提出取反力函数为幂级数、取反力为高次幂多项式求解基础板.应该指出，采用半无限弹性体假设，地基必须是很厚的土层，即要求土层的厚度远大于基础梁的长度，这时地基才能看作半无限大.但即使对于土层很厚的地基，从国内外的实测资料可以看出，地基沉降主要是由于地表面以下有限深度范围内的土壤变形所引起的.

根据上述事实，以及存在的成层地基的实际情况，引出了有限深弹性层地基上基础梁、板的计算问题.对于平面问题，20世纪60年代初期，前苏联学者萨马林由舍赫切尔公式出发求出了有限深弹性层上基础梁解答［3］；90年代，我国徐汉忠［5］用ψ函数推导得到了有限深弹性层表面的位移公式.对于空间问题，郭尔布诺夫－伯沙道夫计算了中厚度地基表面矩形面积上作用均布荷载时的沉降系数［3］.需要着重指出的是，上述沉降公式都是假定有限弹性层与刚性下卧层之间光滑接触，即假定刚性下卧层与弹性层之间只传递正应力，不传递剪应力.而这一假定并不符合一般天然地基的实际情况，实际的弹性层与刚性下卧层之间应当是趋近于完全黏合情况.

对此，赵光恒和张子明［3，6］分别导出了平面、空间问题情况下，弹性层与刚性层完全黏合的地基模型的沉降公式，并且编制出便于设计应用的表格.在此基础上，丁大钧［7］从压力分布角的概念出发，提出了弹性地基沉降的近似统一计算方法.Mayne和Poulos［8］通过近似方程和图表说明了水平不可压缩边界、基础的尺寸、形状、刚性以及土体的均匀性和泊松比对地基沉降的影响.

上述沉降分析都是建立在刚性下卧层水平的假定上.而工程实际中，土层下方的不可压缩层（基岩或硬土层），通常都有一定的倾斜角（如图1所示），地面上不同点到下部硬层的深度H（即压缩层厚度）是不同的.显然，压缩层厚度的差异会导致沉降差，而硬层倾斜对沉降的影响并不是很清楚.因此，有必要对下卧倾斜硬层的地基沉降进行深入研究.

为此，Han等［9］用有限差分软件FLAC2D探讨了柔性均布荷载作用下基岩倾斜对浅基础沉降的影响，并给出了基岩倾斜时的沉降影响系数图.但Han等的分析只针对均布荷载作用的情况，而工程实际中可能存在各种不同形式的荷载.

图1 下卧倾斜硬层地基示意图Fig.1 Illustration of foundation with inclined bedrock

因此，本文以弹性理论为计算模型，结合有限元分析软件ANSYS［10］，来探讨不同柔性荷载（包括梯形分布荷载、三角形分布荷载及均布荷载）作用下，下卧硬层倾斜对浅基础沉降的影响.为了便于工程运用，本文绘出了下卧硬层倾斜时基础中心o及边缘两点（a和b）的沉降（差）影响系数图，并对计算参数对沉降的影响、沉降最大点的位置因下卧硬层倾斜而偏离基础中点的情况进行了参数分析.最后，给出一个计算实例来说明相关图表的应用.

1 计算模型的建立

图2 局部柔性荷载下的地面沉降计算Fig.2 Calculation of subface settlement under local flexible load

众多学者的研究证明，压缩层厚度及下卧硬层倾斜都会对沉降产生影响，但理论推导中还无法得到具体计算式.常用的几种沉降计算方法中，弹性力学法是基础方法；分层总和法基于弹性力学法，将有限压缩深度、土层参数等因素考虑进去；建筑地基基础设计规范推荐方法则是在分层总和法基础上增加了修正系数.3种方法的计算结果相差不是很大.经比较发现，弹性力学法能更好地反映下部硬层及其与土体接触边界对沉降的影响，因此，本文以弹性力学方法作为理论基础进行相关研究.

结合式（15），并考虑到硬层倾斜的影响，可得到计算沉降影响系数ωα的表达式：

式中：ωα为沉降影响系数，依基础刚度、底面形状、荷载作用形式、深宽比、硬层倾角及计算点位置而定.文中将根据数值模拟结果绘出硬层倾斜时不同荷载作用下沉降（差）影响系数图以便于工程应用.

对于地基不均匀沉降，则采用a，b和o三点中的沉降最大值减去沉降最小值得到.即用中心处（o点）的沉降减去边缘点（a点或b点）的沉降来计算.类似可得到沉降差影响系数Δωα的计算式：

2 数值模拟分析

考虑到计算精度及网格划分等因素，本文选择ANSYS进行相关模拟分析.取条形基础的横截面作为分析面，模型边界条件及网格划分如图3所示.

图3 ANSYS模型图Fig.3 Model for ANSYS analysis

现有工程中，岩土计算模型通常都采用线弹性模型，再根据各地区的实际工程情况及复杂程度，引入系数来调整偏差.本文着重考虑硬层倾斜对沉降的影响，为满足数值计算的收敛性，土层和硬层都采用线弹性模型进行研究.相关参数如下：土层E1＝4 MPa，μ＝0.3；硬层E2＝100GPa，μ＝0.3；基础宽度B＝5m.相对土体而言，硬层的模量大很多，因此硬层的变形可以忽略.假定土层与硬层的接触面充分黏结（即无相对位移），均布荷载值为30kPa，三角形荷载最大值为60kPa.

取模型宽度为51m（＞10B），其足够大以忽略边界对模拟结果的影响，模型高度随深宽比而变化.分别取深宽比0.5，1.0，1.5，2.5，3.5，5.0，7.5，10，15，20；倾斜角0°，15°，30°，45°和60°来研究沉降影响系数ωα和沉降差影响系数Δωα.

前面理论积分得到：梯形分布荷载作用下的沉降值是均布荷载作用效果和三角形分布荷载作用效果的叠加.下面用实际模拟来验证（以o点沉降为例）.

硬层倾斜时，其他条件一样，假设倾斜角α＝30°，计算结果为：

直接模拟计算所得的沉降值略小于均布荷载和三角形分布荷载作用效果的叠加，误差为6.6%，在合理误差范围内.因而对于下卧倾斜硬层梯形分布荷载作用下的沉降计算，可用均布荷载和三角形分布荷载下计算所得值叠加而得.

下面分别对均布荷载及三角形分布荷载作用下，地基沉降随深宽比和下卧硬层倾斜角的变化进行数值模拟分析.

2.1 均布荷载作用下沉降分析

为了验证数值模拟结果，将硬层水平时计算所得ωα值作为基准，并与理论方法计算所得结果进行对比（见表1）.从表1中可看到，数值计算结果与理论值的误差不超过2%.

表1 沉降影响系数基准情况（α＝0°）Tab.1 Settlement influence factors，ωα，for baseline cases（α＝0°）

图4 均布荷载下沉降（差）影响系数Fig.4 （Differential）settlement influence factor under distributed load

均布荷载作用下，地基随深宽比和硬层倾斜角变化的沉降（差）影响系数如图4所示.

分析中发现，数值计算结果以土层较厚处深度Hd代替基础中点下土层深度H，得到的图形效果更好，因而以ln（Hd／B）为横坐标作图.

由图4可知，ωα随着倾斜角的增大和深宽比的减小而减小.当深宽比一定且倾斜角小于45°时，ωα随倾斜角的变化很小；当倾斜角大于45°时，其对ωα的影响就会增大.另外，当倾斜角为60°而深宽比小于1.0时，土层较薄处的基础可能已经与硬层接触，因此这种情况的结果不予采用.

由沉降差影响系数图可看到：当倾斜角小于等于15°时，沉降差影响系数随着深宽比增大而增大；当倾斜角大于15°时，沉降差影响系数先随着深宽比增大而增大，后又随着深宽比增大而减小.而硬层倾斜角的增大也会使沉降差影响系数随之增大.

2.2 三角形分布荷载作用下沉降分析

三角形分布荷载下的沉降分析，要分2种情况：1）荷载最大值在土层较厚侧；2）荷载最大值在土层较薄处，如图5所示.

图5 三角形分布荷载作用下的2种情况Fig.5 Two situations under the triangular distributed load

用ANSYS数值模拟后计算可得沉降（差）影响系数，分别绘制成图6和图7.

图6 沉降（差）影响系数（情况1）Fig.6 （Differential）settlement influence factors（situation 1）

图7 沉降（差）影响系数（情况2）Fig.7 （Differential）settlement influence factors（situation 2）

由图6和图7可知，荷载最大值作用在土层较厚侧时，其ωα受倾斜角α变化的影响较小；而作用于土层较薄侧时，其ωα随α的变化更为明显.比较2种情况可知，下卧硬层倾斜对土层较薄侧影响显著.当荷载最大值作用在土层较薄一侧时，沉降差随倾斜角增大会显著增大，因而工程中要避免这种情况.

2.3 参数分析

2.3.1 计算参数（p，B，E0及μ）分析

前文提到，式（15）是在弹性半空间假设下推导而得到的.在下卧倾斜硬层（土层有限厚）的情况下，通过大量数值模拟数据分析发现，沉降s与p，B及E0的比例关系仍基本成立（最大误差不超过1%），即p，B，E0的变化对沉降影响系数没有明显影响.因而本文提供的沉降影响系数图表可以用于实际工程（p，B及E0与本文设定不同）的沉降计算.

而泊松比与沉降并不是简单的线性比例关系.模拟中发现，当μ的变化范围控制在0.20～0.35内时，以本文图表中沉降影响系数求得的沉降误差不超过5%.在此范围内，本文提供的图表仍然适用.

2.3.2 深宽比及硬层倾斜角对最大沉降点位置的影响

以深宽比和硬层倾斜角为基本参数，分别对均布荷载及三角形分布荷载作用（两种情况）下最大沉降点的位置变化进行分析，如图8所示，Δx＜0表示最大沉降点位置向a点偏移.

图8 最大沉降点位置的变化Fig.8 Position variation of the largest settlement

当硬层倾斜角不变且深宽比在0.5～2.0范围内变化时，偏离最为明显；当深宽比不变时，沉降最大点偏离中点的距离随倾斜角线性变化.

3 计算示例

根据本文所给图表进行下卧倾斜硬层地基沉降的计算步骤如下：

1）根据深宽比H／B及硬层倾斜角α计算得到ln（Hd／B）；

2）由图4、图6及图7查询得到均布荷载及三角形分布荷载（2种情况）下的沉降（差）影响系数；

3）代入式（16）即可得到均布及三角形分布荷载作用下的沉降（差）值；

4）将均布及三角形分布荷载作用下的沉降值叠加即为梯形分布荷载作用下的沉降值.

需要注意的是，梯形分布荷载作用下，由于荷载最大值的作用位置及硬层走向的影响，计算最大沉降差时要分别算出中心与基础两端的沉降差，比较得出最大值.直接根据沉降差影响系数的结果叠加计算，可能出现错误.

某建筑基础下形成梯形分布地基反力，两端荷载值分别为150kPa和100kPa，荷载最大值作用在土层较厚侧.基础宽为20m，下卧倾斜硬层，其倾角为25°，硬层上为均质砂土，砂土的弹性模量和泊松比分别为20MPa和0.3.基础中心到基岩的垂直距离是20m.要求估算此梯形分布反力作用范围内的总沉降和最大沉降差.

计算思路如下：把梯形荷载分解为均布荷载和三角形分布荷载分别计算，再叠加.

4 结 语

本文证明了下卧硬层倾斜会对浅基础的沉降和沉降差产生影响，并对工程实际中可能出现的荷载形式（均布荷载、三角形分布荷载及梯形分布荷载）分别进行了沉降分析.研究发现：

1）当下部硬层倾斜时沉降差会显著增大；硬层倾斜对基础不同位置的影响也不同.

2）当硬层倾角小于45°时，硬层倾斜对基础的中心点的影响较小，但对沉降差的影响很明显.

3）三角形分布荷载作用时，当下部硬层倾斜角较大时，要避免在土层较薄处施加荷载最大值，以避免沉降差增大.

对于下卧倾斜硬层的柔性条形浅基础（像路堤、挡土墙等）的沉降计算（泊松比在0.2～0.35范围内），可以直接从本文给出的图表查值进行相关运算.

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Influence of Inclined Bedrock on Subgrade Settlements under Non-uniformly Distributed Load

CHEN Chang-fu†，CAO Hong，WANG Chun-zi，WU Yan-quan

（Geotechnical Engineering Institute，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China）

Based on the elastic theory of settlement analysis，a finite element method was employed to investigate the influence of inclined bedrock on foundation settlements under non-uniformly distributed load in terms of two key variables：the depth-width ratio and the bedrock inclination.The first variable refers to the ratio between the depth from the compressible soil to the bedrock and the width of the foundation，while the second assumes the dip perpendicular to the direction of the strip foundation.According to the numerical results，the design charts of settlement influencing factors and differential settlement influencing factors under different load conditions were given to help practice application.Besides，parameter analysis of the influence of calculating parameters on settlements and the position variation of the largest settlement with the change of the depth-width ratio and the bedrock inclination were given.Morover，a design example was presented to illustrate the use of the design charts.

settlement；subgrade；shallow foundations；inclined bedrock

TU471

A

1674-2974（2014）06-0077-08

2013-11-12

国家自然科学基金资助项目（51278186）；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目（20110161110018）

陈昌富（1963－），男，湖南祁东人，湖南大学教授，博士生导师

†通讯联系人，E-mail：cfchen＠163.com