一道抛物线背景中考压轴题的命制与反思

农学宁

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程总体目标中明确提出了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，突出了学生创新精神和实践能力的培养，这也是中考命题必须遵循的准则.利用函数刻画动态几何图形的综合问题，具有较好的区分度，这类问题集代数、几何知识于一体，综合考查了学生利用函数模型解决图形变化问题的能力.现笔者就此谈谈几点看法.

一、试题呈现

题目：（2013年广西南宁卷第26题）如图1，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0）、D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点.直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求证：AO=AM；

（3）探究：

二、试题命制的过程

（一）命制试题的最初动机

近几年来，全区各地的中考数学压轴题均是以抛物线为背景的形式出现，主要命题方向是动点问题、函数的最值问题、三角形与四边形的动态分类问题.主要考查二次函数解析式、最值问题的求解及基本几何图形的性质，体现数形结合与分类讨论的思想.然而这样“架构”的试题已经是铺天盖地.通过调研笔者发现，不少学校都进行了这类题型的模式化训练.所以如果今年的中考题仍然是以这类题型出现的话，势必会使得教师在以后的教学中采用题海战术以应付中考，同时压轴题的选拔性也就不能充分地体现出来.另外，由于南宁市的中考肩负着学生毕业与升学的两项任务，因此在试题的命制上就要充分考虑基础知识的掌握和初、高中的衔接问题.

（二）命制试题的陈题起点

命制试题的起点主要是受到以下两道高考题的启发.

题目2：（2001年全国高考卷第20题）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.

（三）命制试题的策略与方法

命题之初的主要思路是避开近年来在抛物线背景下的常见题型，如动点问题、面积或周长的最值问题、由动点而产生的图形分类问题等.这些类型的问题在平时必然已经进行了大量的强化训练，如果还是命制这种类型的试题，考试将失去选拔的意义.另外，对于定值型问题的设问，在本市的中考中还没有出现过，具有一定的数学思维价值.

立足高考数学试题改编中考试题，最重要的是解题的方法与策略.所命制的试题应既可以用高中的知识与方法解决，也可以用初中范围内的知识与方法解决，同时不能超出课标的要求.上述两道高考题可能会在以下几个方面引起学生的解题困难.

1.高考题的语言陈述一般比较简洁，学生没有学过“抛物线y=ax2的焦点”和“开口向右的抛物线”的知识.这会给学生造成一定的理解困难.

2.高考题中运用的核心知识点是抛物线的定义，这知识点在初中是没有的.所以要解决最终的问题就要先证明“抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等”这一结论.

3.定值问题常常是数学中的变与不变的问题，在高中此类问题是可以通过设元的方法解决的，而这种方法会用到二次函数的判别式和韦达定理，把几何问题通过代数运算而得以解决.二次函数的判别式和韦达定理这两个知识点在初中的教材学习中要求已经削弱了，这样使得学生只能用几何证明的方法去解决，导致学生解题有较大的难度.

试题改编的方法：首先，给出两个特殊点求解析式，这样主要是考查学生待定系数法的运用，从而降低试题的难度，也使学生有一定的信心去接触后面的问题.其次，设置第（2）问的目的是为第（3）问的探究铺路.因为少了第（2）问的转化思想，第（3）问就会无从下手.再次，第（3）问不是直接的证明，而是设一个小问，先求出再进一步证明，为学生寻求问题的答案指明方向.

（四）试题改编过程中出现的问题与解决办法

问题1：为了使试题有一定的梯度，第一小题还是要考查二次函数解析式的求解.构造y=ax2过于简单，同时也会和其他中考题相类似.

2-1，这时求抛物线的解析式难度不大，同时抛物线的焦点在原点位置，图形和解析式都比较简洁，为后面的设问减少运算量打下基础.

问题2：第（3）小问要用到抛物线的定义，而在初中，学生没有学习该知识点.

解决办法：在第（2）问里就要对这一结论先进行证明.但证明的方法不能用高中解析几何中的解析法，因为初中对二次函数的判别式及韦达定理都已经弱化了.此题用数形结合的思想、设元、勾股定理等方法均可证明，这也是初中解决二次函数相关问题的常用方法，所以笔者认为此题难度适中.另外，第（2）问本身的结论应是两个结果，即AO=AM，BO=BN.但是证明过程用的是相同的方法，所以只要证明其中之一就可以了.若学生是连接OM，并想通过证明等腰三角形的方法来证明，则不易证明出来.

三、得分情况

1.本题零分卷较多，约占总人数的65%，其中空白卷又约占80%.本题第（1）问属于基础知识、基本技能送分题，但仍有大部分学生丢分.原因：①心理因素.认为最后的压轴题都是难题，没有信心读题答题；②学生答题速度慢，按部就班答题，没有掌握答题得分技巧，以致没有足够时间做到最后一题；③基本运算能力太差.用待定系数法求二次函数解析式出错，导致做了解答但不得分.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程总体目标中明确提出了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，突出了学生创新精神和实践能力的培养，这也是中考命题必须遵循的准则.利用函数刻画动态几何图形的综合问题，具有较好的区分度，这类问题集代数、几何知识于一体，综合考查了学生利用函数模型解决图形变化问题的能力.现笔者就此谈谈几点看法.

一、试题呈现

题目：（2013年广西南宁卷第26题）如图1，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0）、D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点.直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求证：AO=AM；

（3）探究：

二、试题命制的过程

（一）命制试题的最初动机

近几年来，全区各地的中考数学压轴题均是以抛物线为背景的形式出现，主要命题方向是动点问题、函数的最值问题、三角形与四边形的动态分类问题.主要考查二次函数解析式、最值问题的求解及基本几何图形的性质，体现数形结合与分类讨论的思想.然而这样“架构”的试题已经是铺天盖地.通过调研笔者发现，不少学校都进行了这类题型的模式化训练.所以如果今年的中考题仍然是以这类题型出现的话，势必会使得教师在以后的教学中采用题海战术以应付中考，同时压轴题的选拔性也就不能充分地体现出来.另外，由于南宁市的中考肩负着学生毕业与升学的两项任务，因此在试题的命制上就要充分考虑基础知识的掌握和初、高中的衔接问题.

（二）命制试题的陈题起点

命制试题的起点主要是受到以下两道高考题的启发.

题目2：（2001年全国高考卷第20题）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.

（三）命制试题的策略与方法

命题之初的主要思路是避开近年来在抛物线背景下的常见题型，如动点问题、面积或周长的最值问题、由动点而产生的图形分类问题等.这些类型的问题在平时必然已经进行了大量的强化训练，如果还是命制这种类型的试题，考试将失去选拔的意义.另外，对于定值型问题的设问，在本市的中考中还没有出现过，具有一定的数学思维价值.

立足高考数学试题改编中考试题，最重要的是解题的方法与策略.所命制的试题应既可以用高中的知识与方法解决，也可以用初中范围内的知识与方法解决，同时不能超出课标的要求.上述两道高考题可能会在以下几个方面引起学生的解题困难.

1.高考题的语言陈述一般比较简洁，学生没有学过“抛物线y=ax2的焦点”和“开口向右的抛物线”的知识.这会给学生造成一定的理解困难.

2.高考题中运用的核心知识点是抛物线的定义，这知识点在初中是没有的.所以要解决最终的问题就要先证明“抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等”这一结论.

3.定值问题常常是数学中的变与不变的问题，在高中此类问题是可以通过设元的方法解决的，而这种方法会用到二次函数的判别式和韦达定理，把几何问题通过代数运算而得以解决.二次函数的判别式和韦达定理这两个知识点在初中的教材学习中要求已经削弱了，这样使得学生只能用几何证明的方法去解决，导致学生解题有较大的难度.

试题改编的方法：首先，给出两个特殊点求解析式，这样主要是考查学生待定系数法的运用，从而降低试题的难度，也使学生有一定的信心去接触后面的问题.其次，设置第（2）问的目的是为第（3）问的探究铺路.因为少了第（2）问的转化思想，第（3）问就会无从下手.再次，第（3）问不是直接的证明，而是设一个小问，先求出再进一步证明，为学生寻求问题的答案指明方向.

（四）试题改编过程中出现的问题与解决办法

问题1：为了使试题有一定的梯度，第一小题还是要考查二次函数解析式的求解.构造y=ax2过于简单，同时也会和其他中考题相类似.

2-1，这时求抛物线的解析式难度不大，同时抛物线的焦点在原点位置，图形和解析式都比较简洁，为后面的设问减少运算量打下基础.

问题2：第（3）小问要用到抛物线的定义，而在初中，学生没有学习该知识点.

解决办法：在第（2）问里就要对这一结论先进行证明.但证明的方法不能用高中解析几何中的解析法，因为初中对二次函数的判别式及韦达定理都已经弱化了.此题用数形结合的思想、设元、勾股定理等方法均可证明，这也是初中解决二次函数相关问题的常用方法，所以笔者认为此题难度适中.另外，第（2）问本身的结论应是两个结果，即AO=AM，BO=BN.但是证明过程用的是相同的方法，所以只要证明其中之一就可以了.若学生是连接OM，并想通过证明等腰三角形的方法来证明，则不易证明出来.

三、得分情况

1.本题零分卷较多，约占总人数的65%，其中空白卷又约占80%.本题第（1）问属于基础知识、基本技能送分题，但仍有大部分学生丢分.原因：①心理因素.认为最后的压轴题都是难题，没有信心读题答题；②学生答题速度慢，按部就班答题，没有掌握答题得分技巧，以致没有足够时间做到最后一题；③基本运算能力太差.用待定系数法求二次函数解析式出错，导致做了解答但不得分.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程总体目标中明确提出了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，突出了学生创新精神和实践能力的培养，这也是中考命题必须遵循的准则.利用函数刻画动态几何图形的综合问题，具有较好的区分度，这类问题集代数、几何知识于一体，综合考查了学生利用函数模型解决图形变化问题的能力.现笔者就此谈谈几点看法.

一、试题呈现

题目：（2013年广西南宁卷第26题）如图1，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0）、D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点.直线l过点E（0，-2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求证：AO=AM；

（3）探究：

二、试题命制的过程

（一）命制试题的最初动机

近几年来，全区各地的中考数学压轴题均是以抛物线为背景的形式出现，主要命题方向是动点问题、函数的最值问题、三角形与四边形的动态分类问题.主要考查二次函数解析式、最值问题的求解及基本几何图形的性质，体现数形结合与分类讨论的思想.然而这样“架构”的试题已经是铺天盖地.通过调研笔者发现，不少学校都进行了这类题型的模式化训练.所以如果今年的中考题仍然是以这类题型出现的话，势必会使得教师在以后的教学中采用题海战术以应付中考，同时压轴题的选拔性也就不能充分地体现出来.另外，由于南宁市的中考肩负着学生毕业与升学的两项任务，因此在试题的命制上就要充分考虑基础知识的掌握和初、高中的衔接问题.

（二）命制试题的陈题起点

命制试题的起点主要是受到以下两道高考题的启发.

题目2：（2001年全国高考卷第20题）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.

（三）命制试题的策略与方法

命题之初的主要思路是避开近年来在抛物线背景下的常见题型，如动点问题、面积或周长的最值问题、由动点而产生的图形分类问题等.这些类型的问题在平时必然已经进行了大量的强化训练，如果还是命制这种类型的试题，考试将失去选拔的意义.另外，对于定值型问题的设问，在本市的中考中还没有出现过，具有一定的数学思维价值.

立足高考数学试题改编中考试题，最重要的是解题的方法与策略.所命制的试题应既可以用高中的知识与方法解决，也可以用初中范围内的知识与方法解决，同时不能超出课标的要求.上述两道高考题可能会在以下几个方面引起学生的解题困难.

1.高考题的语言陈述一般比较简洁，学生没有学过“抛物线y=ax2的焦点”和“开口向右的抛物线”的知识.这会给学生造成一定的理解困难.

2.高考题中运用的核心知识点是抛物线的定义，这知识点在初中是没有的.所以要解决最终的问题就要先证明“抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等”这一结论.

3.定值问题常常是数学中的变与不变的问题，在高中此类问题是可以通过设元的方法解决的，而这种方法会用到二次函数的判别式和韦达定理，把几何问题通过代数运算而得以解决.二次函数的判别式和韦达定理这两个知识点在初中的教材学习中要求已经削弱了，这样使得学生只能用几何证明的方法去解决，导致学生解题有较大的难度.

试题改编的方法：首先，给出两个特殊点求解析式，这样主要是考查学生待定系数法的运用，从而降低试题的难度，也使学生有一定的信心去接触后面的问题.其次，设置第（2）问的目的是为第（3）问的探究铺路.因为少了第（2）问的转化思想，第（3）问就会无从下手.再次，第（3）问不是直接的证明，而是设一个小问，先求出再进一步证明，为学生寻求问题的答案指明方向.

（四）试题改编过程中出现的问题与解决办法

问题1：为了使试题有一定的梯度，第一小题还是要考查二次函数解析式的求解.构造y=ax2过于简单，同时也会和其他中考题相类似.

2-1，这时求抛物线的解析式难度不大，同时抛物线的焦点在原点位置，图形和解析式都比较简洁，为后面的设问减少运算量打下基础.

问题2：第（3）小问要用到抛物线的定义，而在初中，学生没有学习该知识点.

解决办法：在第（2）问里就要对这一结论先进行证明.但证明的方法不能用高中解析几何中的解析法，因为初中对二次函数的判别式及韦达定理都已经弱化了.此题用数形结合的思想、设元、勾股定理等方法均可证明，这也是初中解决二次函数相关问题的常用方法，所以笔者认为此题难度适中.另外，第（2）问本身的结论应是两个结果，即AO=AM，BO=BN.但是证明过程用的是相同的方法，所以只要证明其中之一就可以了.若学生是连接OM，并想通过证明等腰三角形的方法来证明，则不易证明出来.

三、得分情况

1.本题零分卷较多，约占总人数的65%，其中空白卷又约占80%.本题第（1）问属于基础知识、基本技能送分题，但仍有大部分学生丢分.原因：①心理因素.认为最后的压轴题都是难题，没有信心读题答题；②学生答题速度慢，按部就班答题，没有掌握答题得分技巧，以致没有足够时间做到最后一题；③基本运算能力太差.用待定系数法求二次函数解析式出错，导致做了解答但不得分.