例谈联想在数学解题中的妙用

刘秀梅

所谓联想，就是由此问题的形态和性质等方面想到与之相近、相似的问题，从而找到解题方法的一种思维方法.在解题过程中，尤其是问题一时难以找到突破口或是方法较为复杂时，我们应该联想到与之相近、相似的问题.通过变形、转换使之变成容易解决的问题，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，这样就能够收到事半功倍的效果.本文试举几例来说明联想在解题中的妙用.

【例2】 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

分析：本题可用积化和差进行计算，但运算量大，此时联想到它的对偶式

cos10°cos30°cos50°cos70°.

令A=sin10°sin30°sin50°sin70°，

则B=cos10°cos30°cos50°cos70°.

A·B=sin10°sin30°sin50°sin70°cos10°cos30°cos50°·cos70°

这样求解简单、快捷，学生能从解题中享受解题的乐趣.

【例3】 证明1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

分析：本题从表面看来较为复杂，且不易找到突破口，如果能够联想到（1+i）100的展开式，则问题解决就容易了.

证明：∵（1+i）100=（1-C2100+C4100-C6100+…+C100100）+（C1100-C3100-C5100-…-C99100），

又（1+i）100=-250，

由复数相等的条件可得1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

【例4】 当1ba-1.

分析：对不等式两边同时取常用对数得

（b-1）lga>（a-1）lgb，

【例5】 求sin217°+sin243°+sin17°sin43°的值.

分析：本题所给角度为43°和17°，如果利用三角关系式化简求值，计算相当复杂，且容易出错.考虑到“a2+b2+ab”与余弦定理相似，不妨构造三角形来求解.

令∠A=17°，∠B=43°，∠C=120°，

由正弦定理可得

以上所举各例旨在说明联想在解题中的应用，它在数学教学中具有重要的意义.在日常教学中，注意结合教学内容创造问题情境，引导学生积极联想，既可有效地调动学生学习数学的兴趣，对学生数学能力的形成也有一定的作用.

所谓联想，就是由此问题的形态和性质等方面想到与之相近、相似的问题，从而找到解题方法的一种思维方法.在解题过程中，尤其是问题一时难以找到突破口或是方法较为复杂时，我们应该联想到与之相近、相似的问题.通过变形、转换使之变成容易解决的问题，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，这样就能够收到事半功倍的效果.本文试举几例来说明联想在解题中的妙用.

【例2】 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

分析：本题可用积化和差进行计算，但运算量大，此时联想到它的对偶式

cos10°cos30°cos50°cos70°.

令A=sin10°sin30°sin50°sin70°，

则B=cos10°cos30°cos50°cos70°.

A·B=sin10°sin30°sin50°sin70°cos10°cos30°cos50°·cos70°

这样求解简单、快捷，学生能从解题中享受解题的乐趣.

【例3】 证明1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

分析：本题从表面看来较为复杂，且不易找到突破口，如果能够联想到（1+i）100的展开式，则问题解决就容易了.

证明：∵（1+i）100=（1-C2100+C4100-C6100+…+C100100）+（C1100-C3100-C5100-…-C99100），

又（1+i）100=-250，

由复数相等的条件可得1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

【例4】 当1ba-1.

分析：对不等式两边同时取常用对数得

（b-1）lga>（a-1）lgb，

【例5】 求sin217°+sin243°+sin17°sin43°的值.

分析：本题所给角度为43°和17°，如果利用三角关系式化简求值，计算相当复杂，且容易出错.考虑到“a2+b2+ab”与余弦定理相似，不妨构造三角形来求解.

令∠A=17°，∠B=43°，∠C=120°，

由正弦定理可得

以上所举各例旨在说明联想在解题中的应用，它在数学教学中具有重要的意义.在日常教学中，注意结合教学内容创造问题情境，引导学生积极联想，既可有效地调动学生学习数学的兴趣，对学生数学能力的形成也有一定的作用.

所谓联想，就是由此问题的形态和性质等方面想到与之相近、相似的问题，从而找到解题方法的一种思维方法.在解题过程中，尤其是问题一时难以找到突破口或是方法较为复杂时，我们应该联想到与之相近、相似的问题.通过变形、转换使之变成容易解决的问题，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，这样就能够收到事半功倍的效果.本文试举几例来说明联想在解题中的妙用.

【例2】 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

分析：本题可用积化和差进行计算，但运算量大，此时联想到它的对偶式

cos10°cos30°cos50°cos70°.

令A=sin10°sin30°sin50°sin70°，

则B=cos10°cos30°cos50°cos70°.

A·B=sin10°sin30°sin50°sin70°cos10°cos30°cos50°·cos70°

这样求解简单、快捷，学生能从解题中享受解题的乐趣.

【例3】 证明1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

分析：本题从表面看来较为复杂，且不易找到突破口，如果能够联想到（1+i）100的展开式，则问题解决就容易了.

证明：∵（1+i）100=（1-C2100+C4100-C6100+…+C100100）+（C1100-C3100-C5100-…-C99100），

又（1+i）100=-250，

由复数相等的条件可得1-C2100+C4100-C6100+…+C100100=-250.

【例4】 当1ba-1.

分析：对不等式两边同时取常用对数得

（b-1）lga>（a-1）lgb，

【例5】 求sin217°+sin243°+sin17°sin43°的值.

分析：本题所给角度为43°和17°，如果利用三角关系式化简求值，计算相当复杂，且容易出错.考虑到“a2+b2+ab”与余弦定理相似，不妨构造三角形来求解.

令∠A=17°，∠B=43°，∠C=120°，

由正弦定理可得

以上所举各例旨在说明联想在解题中的应用，它在数学教学中具有重要的意义.在日常教学中，注意结合教学内容创造问题情境，引导学生积极联想，既可有效地调动学生学习数学的兴趣，对学生数学能力的形成也有一定的作用.