三力平衡问题的解法探究

尹明德+刘贵珍+樊建峰

物体受三个互成一定夹角的共点力作用而平衡的问题，可用平衡条件∑F=0解答，也可用正交分解法解答，还可用弦定理解答。这类题的解答方法灵活多变，能有效考查学生的分析能力，有时是高考命题的重点。当以学生熟知的二力平衡思想及初等数学知识为出发点思考时，常见方法有：

（1）合成法：是将三力平衡变为二力平衡，如图1所示，将F1、F2合成为F12，则F12与F3是一对平衡力。还有两种合成法这里不再列出。

（2）分解法：是将三力平衡变为两对平衡力，如图2所示，将F3沿另外两个力的反方向分解为F31和F32（当另外两力互相垂直时，F3的分解就是正交分解了！），则F31=F1，F32=F2是两对平衡力。

【例1】 如图3所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑。一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°、30°，则两小球m1、m2的质量大小之比是（ ）。

（4）相似三角形法：应用时，应先分析物体的受力，再由合成法或分解法画出力的矢量三角形，而后寻找与力的三角形相似的几何三角形，由两三角形相似，来建立对应边的比例关系求解。

【例2】 如图5所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，mA=4mB，跨过定滑轮连接A、B的轻绳长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？

解析：采用隔离法分别以小球A、B为研究对象进行受力分析，如图6所示，可以看出如果用正交分解法列方程求解，要已知各力的方向，求解麻烦。此时用相似三角形法就相当简单。

由（1）（2）（3）解得：L1=L/5，L2=4L/5。

（5）动态平衡问题：所谓动态平衡问题是指通过控制某些变量，使物体发生缓慢的变化，而这个过程中物体始终处于准平衡状态，解答方法有，①图解法：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出若干状态下的平衡矢量图，再由边角变化关系确定某些力的大小及方向的变化情况（要能熟练运用它）；②代数解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程和几何关系，求出因变量与自变量的一般函数关系，然后根据自变量的变化情况确定因变量的变化情况。

【例3】 如图7所示，在灭火抢险过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火，已知梯子的下端放置在粗糙的车厢表面上，上端靠在摩擦力很小的竖直玻璃幕墙上。在消防队员沿梯子匀速向上爬的过程中，下列说法正确的是（ ）。

解析：以梯子及消防队员为整体进行受力分析，墙对梯子的弹力N1、人梯总重力mg及车厢对梯子的作用力F（箱底对梯子的支持力N2和静摩擦力f和合力），随着人的重心沿梯上移：N2=mg不变，但f增大，使得F也增大，由N1=f知，N1也增大，A、B选项均错；三个力（N1、mg、F）必定相交于一点，且这一点沿N1的反方向向右移动（θ在减小，cosθ在增大），如图8所示，由N1=Fcosθ可知墙对梯子的弹力在增大。

对消防车、人及梯子整体受力分析：水平向右有地面对车的静摩擦力f地，且f地=N1，N1增大，故f地也在增大，C选项正确；竖直方向有：整体的重力G被地面对车的弹力N地平衡，即N地=G，D选项正确。

【例4】 如图10所示，一水平导轨处于与水平方向成θ=45°向左上方的匀强磁场中，一根通有恒定电流的金属棒，由于受到安培力的作用在粗糙的导轨上，向右做匀速运动。现将磁场沿顺时针方向缓慢转动至竖直向上，在此过程中，金属棒始终保持匀速运动，已知棒与导轨间的动摩擦因数μ<1，则磁感应强度B的大小变化情况是（ ）。endprint

物体受三个互成一定夹角的共点力作用而平衡的问题，可用平衡条件∑F=0解答，也可用正交分解法解答，还可用弦定理解答。这类题的解答方法灵活多变，能有效考查学生的分析能力，有时是高考命题的重点。当以学生熟知的二力平衡思想及初等数学知识为出发点思考时，常见方法有：

（1）合成法：是将三力平衡变为二力平衡，如图1所示，将F1、F2合成为F12，则F12与F3是一对平衡力。还有两种合成法这里不再列出。

（2）分解法：是将三力平衡变为两对平衡力，如图2所示，将F3沿另外两个力的反方向分解为F31和F32（当另外两力互相垂直时，F3的分解就是正交分解了！），则F31=F1，F32=F2是两对平衡力。

【例1】 如图3所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑。一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°、30°，则两小球m1、m2的质量大小之比是（ ）。

（4）相似三角形法：应用时，应先分析物体的受力，再由合成法或分解法画出力的矢量三角形，而后寻找与力的三角形相似的几何三角形，由两三角形相似，来建立对应边的比例关系求解。

【例2】 如图5所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，mA=4mB，跨过定滑轮连接A、B的轻绳长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？

解析：采用隔离法分别以小球A、B为研究对象进行受力分析，如图6所示，可以看出如果用正交分解法列方程求解，要已知各力的方向，求解麻烦。此时用相似三角形法就相当简单。

由（1）（2）（3）解得：L1=L/5，L2=4L/5。

（5）动态平衡问题：所谓动态平衡问题是指通过控制某些变量，使物体发生缓慢的变化，而这个过程中物体始终处于准平衡状态，解答方法有，①图解法：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出若干状态下的平衡矢量图，再由边角变化关系确定某些力的大小及方向的变化情况（要能熟练运用它）；②代数解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程和几何关系，求出因变量与自变量的一般函数关系，然后根据自变量的变化情况确定因变量的变化情况。

【例3】 如图7所示，在灭火抢险过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火，已知梯子的下端放置在粗糙的车厢表面上，上端靠在摩擦力很小的竖直玻璃幕墙上。在消防队员沿梯子匀速向上爬的过程中，下列说法正确的是（ ）。

解析：以梯子及消防队员为整体进行受力分析，墙对梯子的弹力N1、人梯总重力mg及车厢对梯子的作用力F（箱底对梯子的支持力N2和静摩擦力f和合力），随着人的重心沿梯上移：N2=mg不变，但f增大，使得F也增大，由N1=f知，N1也增大，A、B选项均错；三个力（N1、mg、F）必定相交于一点，且这一点沿N1的反方向向右移动（θ在减小，cosθ在增大），如图8所示，由N1=Fcosθ可知墙对梯子的弹力在增大。

对消防车、人及梯子整体受力分析：水平向右有地面对车的静摩擦力f地，且f地=N1，N1增大，故f地也在增大，C选项正确；竖直方向有：整体的重力G被地面对车的弹力N地平衡，即N地=G，D选项正确。

【例4】 如图10所示，一水平导轨处于与水平方向成θ=45°向左上方的匀强磁场中，一根通有恒定电流的金属棒，由于受到安培力的作用在粗糙的导轨上，向右做匀速运动。现将磁场沿顺时针方向缓慢转动至竖直向上，在此过程中，金属棒始终保持匀速运动，已知棒与导轨间的动摩擦因数μ<1，则磁感应强度B的大小变化情况是（ ）。endprint

物体受三个互成一定夹角的共点力作用而平衡的问题，可用平衡条件∑F=0解答，也可用正交分解法解答，还可用弦定理解答。这类题的解答方法灵活多变，能有效考查学生的分析能力，有时是高考命题的重点。当以学生熟知的二力平衡思想及初等数学知识为出发点思考时，常见方法有：

（1）合成法：是将三力平衡变为二力平衡，如图1所示，将F1、F2合成为F12，则F12与F3是一对平衡力。还有两种合成法这里不再列出。

（2）分解法：是将三力平衡变为两对平衡力，如图2所示，将F3沿另外两个力的反方向分解为F31和F32（当另外两力互相垂直时，F3的分解就是正交分解了！），则F31=F1，F32=F2是两对平衡力。

【例1】 如图3所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑。一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°、30°，则两小球m1、m2的质量大小之比是（ ）。

（4）相似三角形法：应用时，应先分析物体的受力，再由合成法或分解法画出力的矢量三角形，而后寻找与力的三角形相似的几何三角形，由两三角形相似，来建立对应边的比例关系求解。

【例2】 如图5所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，mA=4mB，跨过定滑轮连接A、B的轻绳长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？

解析：采用隔离法分别以小球A、B为研究对象进行受力分析，如图6所示，可以看出如果用正交分解法列方程求解，要已知各力的方向，求解麻烦。此时用相似三角形法就相当简单。

由（1）（2）（3）解得：L1=L/5，L2=4L/5。

（5）动态平衡问题：所谓动态平衡问题是指通过控制某些变量，使物体发生缓慢的变化，而这个过程中物体始终处于准平衡状态，解答方法有，①图解法：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出若干状态下的平衡矢量图，再由边角变化关系确定某些力的大小及方向的变化情况（要能熟练运用它）；②代数解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程和几何关系，求出因变量与自变量的一般函数关系，然后根据自变量的变化情况确定因变量的变化情况。

【例3】 如图7所示，在灭火抢险过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火，已知梯子的下端放置在粗糙的车厢表面上，上端靠在摩擦力很小的竖直玻璃幕墙上。在消防队员沿梯子匀速向上爬的过程中，下列说法正确的是（ ）。

解析：以梯子及消防队员为整体进行受力分析，墙对梯子的弹力N1、人梯总重力mg及车厢对梯子的作用力F（箱底对梯子的支持力N2和静摩擦力f和合力），随着人的重心沿梯上移：N2=mg不变，但f增大，使得F也增大，由N1=f知，N1也增大，A、B选项均错；三个力（N1、mg、F）必定相交于一点，且这一点沿N1的反方向向右移动（θ在减小，cosθ在增大），如图8所示，由N1=Fcosθ可知墙对梯子的弹力在增大。

对消防车、人及梯子整体受力分析：水平向右有地面对车的静摩擦力f地，且f地=N1，N1增大，故f地也在增大，C选项正确；竖直方向有：整体的重力G被地面对车的弹力N地平衡，即N地=G，D选项正确。

【例4】 如图10所示，一水平导轨处于与水平方向成θ=45°向左上方的匀强磁场中，一根通有恒定电流的金属棒，由于受到安培力的作用在粗糙的导轨上，向右做匀速运动。现将磁场沿顺时针方向缓慢转动至竖直向上，在此过程中，金属棒始终保持匀速运动，已知棒与导轨间的动摩擦因数μ<1，则磁感应强度B的大小变化情况是（ ）。endprint