概率中“等量代换”方法的运用

李志红　徐彩刚

高中学生在学习概率的时候常对“研究的个体有无区别”，以及“取出个体时讲不讲顺序”感到困惑. 本文给出了一种较好的处理思路.

概率是高中数学中比较难的部分，对学生的分析能力，尤其是分类、分步安排事情的能力要求很高. 可以说概率学好了，那么学生的分析能力就能上一个新台阶.

高中阶段的常见的概率问题之一是古典概型——即等可能性事件发生的概率. 这类题型的求解过程中有两个重要部分：求一次试验中所有可能的结果数目n，以及求某个事件A包含的结果数目m，很多都要涉及排列、组合知识.

因为排列与组合的定义里都强调“不同元素”，所以在求m，n的过程中常常会遇到这样一个问题：我们要研究的个体是有区别的还是无区别的？如果有区别，那么在求m，n时我们才可以把它当作排列与组合的问题来处理，否则就不能够这样做.

因此，个体间有无区别是我们解题之前必须判断的一个重要问题.

例1 一个袋中装有8个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同. 现从袋中任意摸出5个球，用X表示摸出红球的个数. 求P（X=3）.

题目中明确指出“这些球除颜色外完全相同”，但是以上解答过程中用了组合，可以看出答案是把这些球当作有区别来计算的.

为什么这样？有什么道理在里面么？

现在如果要算出P（B）的话该怎么算呢？虽然同色乒乓球之间已经不再能区别开，但我们可以把他们当成有区别来计算，也就是只要求出P（A），问题就解决了.

这里的分析过程中我们就运用了等量代换的方法.

那么一般地，如果遇到一个题目，不知道个体间有没有区别，那么我们就这样处理：

第一步，假设题目中的个体都是有区别的，判断一下题目结果会不会改变.

第二步，如果结果不变，那么就把他们当成有区别来计算就可以了.

另外，概率计算时有些题目中个体抽取讲不讲顺序也会给人带来困扰. 特别是有些题目没说清楚时，有些人会觉得题目表达有歧义没法做，或者费尽心思琢磨每一个文字以从中找到讲顺序或不讲顺序的确切证据. 却不知，有部分题目讲不讲顺序并不影响结果，没必要区分. 两者是等价的！

例2 有五个纸团里面分别写了2，3，4，5，6，任抽取两张，求其和为奇数的概率.

“任抽取两张”，讲顺序吗？题目没说，但经过分析我们可以看出讲不讲顺序都行.

这样设想：让A，B两学生一起来做实验，A学生按顺序取出两个纸团并求出数字之和，然后将两个纸团打乱顺序交给B学生，再次求出数字之和.

这类可有可无的顺序问题，在实际求m，n时要么都讲顺序，要么都不讲顺序，不求“明察秋毫”，但求“标准统一”.

从以上的分析可以看出，有些概率问题中个体有无区别并不影响结果，抽取讲不讲顺序也不影响结果，在两者等价的前提下可以“等量代换”.endprint

高中学生在学习概率的时候常对“研究的个体有无区别”，以及“取出个体时讲不讲顺序”感到困惑. 本文给出了一种较好的处理思路.

概率是高中数学中比较难的部分，对学生的分析能力，尤其是分类、分步安排事情的能力要求很高. 可以说概率学好了，那么学生的分析能力就能上一个新台阶.

高中阶段的常见的概率问题之一是古典概型——即等可能性事件发生的概率. 这类题型的求解过程中有两个重要部分：求一次试验中所有可能的结果数目n，以及求某个事件A包含的结果数目m，很多都要涉及排列、组合知识.

因为排列与组合的定义里都强调“不同元素”，所以在求m，n的过程中常常会遇到这样一个问题：我们要研究的个体是有区别的还是无区别的？如果有区别，那么在求m，n时我们才可以把它当作排列与组合的问题来处理，否则就不能够这样做.

因此，个体间有无区别是我们解题之前必须判断的一个重要问题.

例1 一个袋中装有8个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同. 现从袋中任意摸出5个球，用X表示摸出红球的个数. 求P（X=3）.

题目中明确指出“这些球除颜色外完全相同”，但是以上解答过程中用了组合，可以看出答案是把这些球当作有区别来计算的.

为什么这样？有什么道理在里面么？

现在如果要算出P（B）的话该怎么算呢？虽然同色乒乓球之间已经不再能区别开，但我们可以把他们当成有区别来计算，也就是只要求出P（A），问题就解决了.

这里的分析过程中我们就运用了等量代换的方法.

那么一般地，如果遇到一个题目，不知道个体间有没有区别，那么我们就这样处理：

第一步，假设题目中的个体都是有区别的，判断一下题目结果会不会改变.

第二步，如果结果不变，那么就把他们当成有区别来计算就可以了.

另外，概率计算时有些题目中个体抽取讲不讲顺序也会给人带来困扰. 特别是有些题目没说清楚时，有些人会觉得题目表达有歧义没法做，或者费尽心思琢磨每一个文字以从中找到讲顺序或不讲顺序的确切证据. 却不知，有部分题目讲不讲顺序并不影响结果，没必要区分. 两者是等价的！

例2 有五个纸团里面分别写了2，3，4，5，6，任抽取两张，求其和为奇数的概率.

“任抽取两张”，讲顺序吗？题目没说，但经过分析我们可以看出讲不讲顺序都行.

这样设想：让A，B两学生一起来做实验，A学生按顺序取出两个纸团并求出数字之和，然后将两个纸团打乱顺序交给B学生，再次求出数字之和.

这类可有可无的顺序问题，在实际求m，n时要么都讲顺序，要么都不讲顺序，不求“明察秋毫”，但求“标准统一”.

从以上的分析可以看出，有些概率问题中个体有无区别并不影响结果，抽取讲不讲顺序也不影响结果，在两者等价的前提下可以“等量代换”.endprint

高中学生在学习概率的时候常对“研究的个体有无区别”，以及“取出个体时讲不讲顺序”感到困惑. 本文给出了一种较好的处理思路.

概率是高中数学中比较难的部分，对学生的分析能力，尤其是分类、分步安排事情的能力要求很高. 可以说概率学好了，那么学生的分析能力就能上一个新台阶.

高中阶段的常见的概率问题之一是古典概型——即等可能性事件发生的概率. 这类题型的求解过程中有两个重要部分：求一次试验中所有可能的结果数目n，以及求某个事件A包含的结果数目m，很多都要涉及排列、组合知识.

因为排列与组合的定义里都强调“不同元素”，所以在求m，n的过程中常常会遇到这样一个问题：我们要研究的个体是有区别的还是无区别的？如果有区别，那么在求m，n时我们才可以把它当作排列与组合的问题来处理，否则就不能够这样做.

因此，个体间有无区别是我们解题之前必须判断的一个重要问题.

例1 一个袋中装有8个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同. 现从袋中任意摸出5个球，用X表示摸出红球的个数. 求P（X=3）.

题目中明确指出“这些球除颜色外完全相同”，但是以上解答过程中用了组合，可以看出答案是把这些球当作有区别来计算的.

为什么这样？有什么道理在里面么？

现在如果要算出P（B）的话该怎么算呢？虽然同色乒乓球之间已经不再能区别开，但我们可以把他们当成有区别来计算，也就是只要求出P（A），问题就解决了.

这里的分析过程中我们就运用了等量代换的方法.

那么一般地，如果遇到一个题目，不知道个体间有没有区别，那么我们就这样处理：

第一步，假设题目中的个体都是有区别的，判断一下题目结果会不会改变.

第二步，如果结果不变，那么就把他们当成有区别来计算就可以了.

另外，概率计算时有些题目中个体抽取讲不讲顺序也会给人带来困扰. 特别是有些题目没说清楚时，有些人会觉得题目表达有歧义没法做，或者费尽心思琢磨每一个文字以从中找到讲顺序或不讲顺序的确切证据. 却不知，有部分题目讲不讲顺序并不影响结果，没必要区分. 两者是等价的！

例2 有五个纸团里面分别写了2，3，4，5，6，任抽取两张，求其和为奇数的概率.

“任抽取两张”，讲顺序吗？题目没说，但经过分析我们可以看出讲不讲顺序都行.

这样设想：让A，B两学生一起来做实验，A学生按顺序取出两个纸团并求出数字之和，然后将两个纸团打乱顺序交给B学生，再次求出数字之和.

这类可有可无的顺序问题，在实际求m，n时要么都讲顺序，要么都不讲顺序，不求“明察秋毫”，但求“标准统一”.

从以上的分析可以看出，有些概率问题中个体有无区别并不影响结果，抽取讲不讲顺序也不影响结果，在两者等价的前提下可以“等量代换”.endprint