基于多项式非线性拟合问题的探讨

徐小华,胡晓飞,赵艳春

（1.昭通学院 网络信息中心；2.昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通 657000）

基于多项式非线性拟合问题的探讨

徐小华1,胡晓飞2,赵艳春2

（1.昭通学院 网络信息中心；2.昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通 657000）

在实际问题中，变量之间存在大量的非线性关系.文章选取非线性模型的多项式方法来进行变量之间的数据拟合，从而推出单一的高阶多项式拟合方法的缺点，提出采用两个或多个三阶多项式方法来弥补缺陷.

拟合；多项式；非线性

1 拟合原理

在实际的生产生活问中，变量之间几乎不是简简单单的线性关系，而是非线性的，使得分析实际问题比较困难.要找出这些变量间的关系，就需用非线性来拟合.选择恰当的非线性拟合模型尤为重要.常见的非线性拟合模型有：幂函数模型、指数函数模型多项式模型等.其中,多项式模型在非线性拟合分析中占有重要的地位.

曲线拟合的最优标准是采用常见的最小二乘法原理，所构造的函数p(x)是一个次数小于观测值个数的多项式.即设测得n个离散数据点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)，构造一个m(m≤n)次多项式p(x)：

曲线拟合的评价有两个因数：一是拟合的多项式在各节点处的偏差（残差）J=(p(xi)-yi)2；二是决定系数r2=1-J/S.对于较好的拟合来说，J的值应越接近0，r2的值应越接近1.

文章主要讨论多项式的非线性拟合，所得到的数据是通过MATLAB语言来实现的.

2 多项式拟合实例及其存在的问

某产品测得21个数据如下表：

x y x y x y 0 0.1 14 2.022 28 0.4308 2 1.884 16 1.65 30 0.203 4 2.732 18 1.5838 32 0.1652 6 3.388 20 1.35 34 -0.073 8 3.346 22 1.0082 36 -0.002 10 3 24 0.718 38 -0.1122 12 2.644 26 0.689 40 0.106

对其4至6阶多项式的拟合.利用MATLAB程序得到的拟合表达式如下：

四阶：

五阶：

六阶：

绘图如图1所示，并且得到四阶至六阶残差J值分别是3.489346710108339，0.987557698632428，0.19017256778587 1.决定系数r2的值分别是：0.965805850678412, 0.993415281771642,0.993498647389725.

图1 4至6阶多项式的拟合图

从拟合的图形和拟合品质可以得到，使用越高阶的多项式，其J的值越来越小，r2平方的值越来越大.也就是说阶数越高，可以得到更好的数据拟合.但是高阶多项式存在两个问题：数据点之间显现出较大的误差；需要使用大量的有效数位来表示它们的系数.如果减少其有效位数，则可能会产生较大的误差，不具有鲁棒性.如上例中对六阶的取其八位的小数数位，那么产生的多项式是：

绘图如图2所示，J和r2的值分别是1.857245941222893，0.935692926976283.显然，残差比准确的系数要大，决定系数比准确的系数要大，所以拟合效果不好.从图2也可以看出，当x的值很大，这个多项式偏离数据值较远.拟合效果很差，对于x>30的值来说，几乎没有用处.也就是说，如果没有足够准确的找到多项式的系数，多项式就很容易在较大的x值产生较大的误差.

图2 8位小数位精确度的效果

利用MATLAB完成以上功能程序如下：

3 改进方法

为了解决高阶多项式在回归中出现的问题，采用两个或多个函数来进行分段拟合数据.文章中采用两个三阶多项式进行拟合.其区间在0≤x≤15上用一个三阶多项式进行拟合；15≤x≤40上用另外的一个三阶函数进行拟合.这是因为：三阶比二阶多项式更具有灵活性，并且比高阶多项式更不容易受到数值不确定行的影响.得到回归的表达式如下：

绘图如图3所示，J和r2的值分别是0.086280739926740，0.993296620892077.与前面的高阶多项式回归比较，后者都有更好的拟合品质和效果.

图3 使用两个三阶多项式的数据拟合

对上面的式子将系数取其八位小数位，利用MATLAB计算的到J和r2的值分别是0.086280740359406，0.993296620892077.利用MATLAB程序完成以上功能程序如下：

对于系数取其八位小数与精确的系数进行运算是的所获得J和r2结果保持一致.其拟合图形也几乎和准确系数两个多项式一样，所以两个三阶多项式具有鲁棒性.利用两个或多个函数来拟合数据，从而解决了一个高阶多项式拟合产生的问题.

〔1〕W illiam J.Palm.MATLAB 7面向基础教程[M].北京:清华大学出版社,2007.300-320.

〔2〕盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2009.292-313.

〔3〕刘卫国.MATLAB程序设计与应用[M].北京：高等教育出版社，2008.148-152.

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