高中数学中分类思想的讨论研究
2014-03-26 20:25张友健
理科考试研究·高中 2014年1期
张友健
在分类讨论时，充分挖掘问题潜在的特殊性和简单性，灵活地采用相应的解题策略，可简化或避免分类讨论.下面通过实例说明如何简化或避免分类讨论.
一、整体分析，有效避免讨论
例1 已知函数f（x）=x2+2ax+a+1，g（x）=x-lnx，若对任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围为 .
分析 由于对任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，即fmax（x）≤gmin（x）.因此在求函数f（x）的最大值时常规思路是对于二次函数的对称轴与区间的位置进行分类讨论.倘若同学们从整体思维出发，由二次函数的图象可知，函数f（x）的最大值是f（1）或f（2），所以只要f（1）≤gmin（x），
f（2）≤gmin（x）.
解析 由题意可知，因为x1，x2∈[1，2]，所以g′（x）=1-1x≥0，所以gmin（x）=g（1）=1，所以f（1）≤1，
f（2）≤1，即1+2a+a+1≤1，
4+4a+a+1≤1，解得a≤-45.所以实数a的取值范围为（-∞，-45].
评析 整体分析是一种重要的数学思想，它是从全局的视角上去通观问题，放弃细节，把握解题方向.受定势习惯思维的影响，在解含参问题时，一些同学先想到的是如何分类讨论，而忽视了从整体把握问题，突破常规思路，切中解题要点避免分类讨论.
二、变更主元，有效避免讨论
例2 设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.
分析 本例为含参数的不等式，关键是对参数的处理，从表面上看，是一个关于x的一元二次不等式，实质上是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集是[-2，2]，求参数x的范围.因此通过参数m与未知数x的地位的变化，借助一次函数图象，避免了对参数的讨论.
解析 设f（m）=（x2-1）m+（1-2x），它是以m为自变量的一次函数（或常数函数）.当m∈[-2，2]时，其图象是线段，应在横轴下方，故有f（-2）<0，
f（2）<0，即-2x2-2x+3<0，
2x2-2x-1<0，所以x<-1-72或x>-1+72，
1-32 评析 在含有参数的方程、不等式问题中，若已知参量的取值范围，需确定主变量的取值范围，常常可以变换主元，构造以参量为自变量的函数（变换主元），实现反客为主，避开分类讨论. 三、消去参数，有效避免讨论 例3 设0 分析 本例通常应分a>1与0 解析 运用作商比较法，因为0 评析 数学定义以及基本原理是数学知识再生之源，蕴涵特定的数学思想方法.对于一些数学问题，若从最基本的知识点入手，回归定义，联想性质，可以优化解题过程. 四、数形结合，有效避免讨论 利用函数图象，几何图形的直观性，能巧妙地将数量关系与空间图形结合起来，有时也可以回避问题的讨论. 图1例4 当x∈[-4，0]时，不等式x（-4-x）<43x+1-a恒成立，求a的取值范围. 解析 若设函数y1=x（-4-x），则（x+2）2+y21=4 （y1≥0），其图象为上半圆.设函数y2=43x+1-a，其图象为直线. 在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心（-2，0）到直线4x-3y+3-3a=0的距离d=|-8+3-3a|5>2且1-a>0时成立，从而求得a的取值范围为a<-5. 五、通过换元，，有效避免讨论 引入参变量，作为揭示变量间内在联系的媒介，能帮助对运动变化过程作出定量的刻画，消化难点，化难为易. 例5 解不等式x1+x2>x2-1x2+1. 分析 本题按常规解法是去分母，两边平方去根号，而且需要讨论左右的正负情况.若我们注意观察原不等式，引入参数，进行三角换元，可避免繁琐的解题过程. 解 令x=tanα，α∈（-π2，π2），则原不等式可化为2sin2α-sinα-1<0，解得-12
在分类讨论时，充分挖掘问题潜在的特殊性和简单性，灵活地采用相应的解题策略，可简化或避免分类讨论.下面通过实例说明如何简化或避免分类讨论.
一、整体分析，有效避免讨论
例1 已知函数f（x）=x2+2ax+a+1，g（x）=x-lnx，若对任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围为 .
分析 由于对任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，即fmax（x）≤gmin（x）.因此在求函数f（x）的最大值时常规思路是对于二次函数的对称轴与区间的位置进行分类讨论.倘若同学们从整体思维出发，由二次函数的图象可知，函数f（x）的最大值是f（1）或f（2），所以只要f（1）≤gmin（x），
f（2）≤gmin（x）.
解析 由题意可知，因为x1，x2∈[1，2]，所以g′（x）=1-1x≥0，所以gmin（x）=g（1）=1，所以f（1）≤1，
f（2）≤1，即1+2a+a+1≤1，
4+4a+a+1≤1，解得a≤-45.所以实数a的取值范围为（-∞，-45].
评析 整体分析是一种重要的数学思想，它是从全局的视角上去通观问题，放弃细节，把握解题方向.受定势习惯思维的影响，在解含参问题时，一些同学先想到的是如何分类讨论，而忽视了从整体把握问题，突破常规思路，切中解题要点避免分类讨论.
二、变更主元，有效避免讨论
例2 设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.
分析 本例为含参数的不等式，关键是对参数的处理，从表面上看，是一个关于x的一元二次不等式，实质上是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集是[-2，2]，求参数x的范围.因此通过参数m与未知数x的地位的变化，借助一次函数图象，避免了对参数的讨论.
解析 设f（m）=（x2-1）m+（1-2x），它是以m为自变量的一次函数（或常数函数）.当m∈[-2，2]时，其图象是线段，应在横轴下方，故有f（-2）<0，
f（2）<0，即-2x2-2x+3<0，
2x2-2x-1<0，所以x<-1-72或x>-1+72，
1-32 评析 在含有参数的方程、不等式问题中，若已知参量的取值范围，需确定主变量的取值范围，常常可以变换主元，构造以参量为自变量的函数（变换主元），实现反客为主，避开分类讨论. 三、消去参数，有效避免讨论 例3 设0 分析 本例通常应分a>1与0 解析 运用作商比较法，因为0 评析 数学定义以及基本原理是数学知识再生之源，蕴涵特定的数学思想方法.对于一些数学问题，若从最基本的知识点入手，回归定义，联想性质，可以优化解题过程. 四、数形结合，有效避免讨论 利用函数图象，几何图形的直观性，能巧妙地将数量关系与空间图形结合起来，有时也可以回避问题的讨论. 图1例4 当x∈[-4，0]时，不等式x（-4-x）<43x+1-a恒成立，求a的取值范围. 解析 若设函数y1=x（-4-x），则（x+2）2+y21=4 （y1≥0），其图象为上半圆.设函数y2=43x+1-a，其图象为直线. 在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心（-2，0）到直线4x-3y+3-3a=0的距离d=|-8+3-3a|5>2且1-a>0时成立，从而求得a的取值范围为a<-5. 五、通过换元，，有效避免讨论 引入参变量，作为揭示变量间内在联系的媒介，能帮助对运动变化过程作出定量的刻画，消化难点，化难为易. 例5 解不等式x1+x2>x2-1x2+1. 分析 本题按常规解法是去分母，两边平方去根号，而且需要讨论左右的正负情况.若我们注意观察原不等式，引入参数，进行三角换元，可避免繁琐的解题过程. 解 令x=tanα，α∈（-π2，π2），则原不等式可化为2sin2α-sinα-1<0，解得-12
在分类讨论时，充分挖掘问题潜在的特殊性和简单性，灵活地采用相应的解题策略，可简化或避免分类讨论.下面通过实例说明如何简化或避免分类讨论.
一、整体分析，有效避免讨论
例1 已知函数f（x）=x2+2ax+a+1，g（x）=x-lnx，若对任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围为 .
分析 由于对任意的x1，x2∈[1，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，即fmax（x）≤gmin（x）.因此在求函数f（x）的最大值时常规思路是对于二次函数的对称轴与区间的位置进行分类讨论.倘若同学们从整体思维出发，由二次函数的图象可知，函数f（x）的最大值是f（1）或f（2），所以只要f（1）≤gmin（x），
f（2）≤gmin（x）.
解析 由题意可知，因为x1，x2∈[1，2]，所以g′（x）=1-1x≥0，所以gmin（x）=g（1）=1，所以f（1）≤1，
f（2）≤1，即1+2a+a+1≤1，
4+4a+a+1≤1，解得a≤-45.所以实数a的取值范围为（-∞，-45].
评析 整体分析是一种重要的数学思想，它是从全局的视角上去通观问题，放弃细节，把握解题方向.受定势习惯思维的影响，在解含参问题时，一些同学先想到的是如何分类讨论，而忽视了从整体把握问题，突破常规思路，切中解题要点避免分类讨论.
二、变更主元，有效避免讨论
例2 设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.
分析 本例为含参数的不等式，关键是对参数的处理，从表面上看，是一个关于x的一元二次不等式，实质上是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集是[-2，2]，求参数x的范围.因此通过参数m与未知数x的地位的变化，借助一次函数图象，避免了对参数的讨论.
解析 设f（m）=（x2-1）m+（1-2x），它是以m为自变量的一次函数（或常数函数）.当m∈[-2，2]时，其图象是线段，应在横轴下方，故有f（-2）<0，
f（2）<0，即-2x2-2x+3<0，
2x2-2x-1<0，所以x<-1-72或x>-1+72，
1-32 评析 在含有参数的方程、不等式问题中，若已知参量的取值范围，需确定主变量的取值范围，常常可以变换主元，构造以参量为自变量的函数（变换主元），实现反客为主，避开分类讨论. 三、消去参数，有效避免讨论 例3 设0 分析 本例通常应分a>1与0 解析 运用作商比较法，因为0 评析 数学定义以及基本原理是数学知识再生之源，蕴涵特定的数学思想方法.对于一些数学问题，若从最基本的知识点入手，回归定义，联想性质，可以优化解题过程. 四、数形结合，有效避免讨论 利用函数图象，几何图形的直观性，能巧妙地将数量关系与空间图形结合起来，有时也可以回避问题的讨论. 图1例4 当x∈[-4，0]时，不等式x（-4-x）<43x+1-a恒成立，求a的取值范围. 解析 若设函数y1=x（-4-x），则（x+2）2+y21=4 （y1≥0），其图象为上半圆.设函数y2=43x+1-a，其图象为直线. 在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心（-2，0）到直线4x-3y+3-3a=0的距离d=|-8+3-3a|5>2且1-a>0时成立，从而求得a的取值范围为a<-5. 五、通过换元，，有效避免讨论 引入参变量，作为揭示变量间内在联系的媒介，能帮助对运动变化过程作出定量的刻画，消化难点，化难为易. 例5 解不等式x1+x2>x2-1x2+1. 分析 本题按常规解法是去分母，两边平方去根号，而且需要讨论左右的正负情况.若我们注意观察原不等式，引入参数，进行三角换元，可避免繁琐的解题过程. 解 令x=tanα，α∈（-π2，π2），则原不等式可化为2sin2α-sinα-1<0，解得-12
猜你喜欢
初中生学习指导·中考版(2020年8期)2020-09-10
语数外学习·初中版(2020年5期)2020-09-10
福建基础教育研究(2019年8期)2019-05-28
语文世界(小学版)(2018年3期)2018-03-22
师道·教研(2017年9期)2017-09-26
中学生理科应试(2017年7期)2017-08-09
中学生理科应试(2017年4期)2017-07-08
中学化学(2017年2期)2017-04-01
福建中学数学(2016年7期)2016-12-03
中学生理科应试(2016年9期)2016-05-14
