极限思维法在高中物理解题中的应用

梁洪亮

1.运用极限思维法寻找解题突破口

例1 如图1所示，一质量为m的物体过绳PQ通过一定滑轮与图1 小车通过细绳将物体向上提升一辆车相连，假定绳子的P端连接小车，Q端连接物体，绳本身没有伸缩性，绳和定滑轮的尺寸和质量不计并且忽略滑轮与绳子之间的摩擦力.运动开始时，车在左侧滑轮外边缘的正下方的A点，绳PQ绷紧但无作用力，其中AB间距离和左侧绳长均为H，开始运动后，汽车向左加速运动，沿水平方向由A点运动到B点后继续驶向C点.假设小车经过B点时的速度为υb，试求小车在由A点向B点运动的过程中，绳端Q的拉力对物体所做功的大小.

运用动能定理的解题思路，通过动能定理求出绳Q端的拉力对物体做的功，关键在于是否能够正确求出小车到B点时，物体所具有的即时速度υtb.这种解题方式往往会让学生犯下υtb=υb的主观错误.

极限思维法的解题思路，据图可得，绳P端的速度υ的大小和方向随着小车的行驶，不断地发生变化，据此可以用极限思维方法分析题目.在A点时，θ=90°，绳速υ=0，当小车由C点驶向无穷远处时，θ=0°，此时绳子和车速趋近于相同.因此，在小车由A点驶过B、C继续驶向无穷远处的整个过程中，绳P端的速度呈现出递增的变化，处于两个极限位置的绳P端和小车速度关系：在A点，υ=V车cos90°=0，在无穷远处，υ=V车cos180°=V车，所以在B点应用υ=υbcosθ，由于θ=45°，可以准确的得到小车行驶到B点时物体的速度vt.至此，可以简单地作出答案.

2.运用极限思维法探求解途径

图2 两相同的小球从两斜面顶端同时滑下例2 如图2所示高度相同的两光滑斜面甲、乙，具有相同的总长度，但是乙斜面是由两部分连接组成的.假设现从甲乙两斜面的顶端同时释放两个完全相同的小球，不计接触面摩擦和能量损失，试求哪个斜面的小球能够先到达底端？

常规解题思路 对于甲斜面来说，小球的运动过程是一个简单的匀加速过程.所以，求小球运动到斜面底端的时间就以直接利用运动学公式.

L=12at2m因为a=gsina=ghL，

所以t=2La=2LghL=2L2gh.

极限思维法的解题思路，对于乙斜面来说：显然不可以用简图3 乙斜面中小球通过

思维法推论的极限状态单的运动学公式解决问题，但是可以根据极限思维法分析解决.对乙斜面上两部分边线进行极限假设，斜面上的两段线所成的角变化范围从90°变化到180°，当夹角变化成180°时，即成为甲斜面现在所呈现的状态，如图3所示，此时所呈现的状态为夹角为90°时的乙斜面状态.此时小球的运动的时间分为两部分，AB段的自由落体运动，和BC段的匀速运动，其运动时间为沿AB段到达B点时小球的速度v=2gh，沿BC段小球的运动时间t2=L-h2gh.

在图3所示的乙斜面上，小球所运动的总时间t乙′=t1+t2，因为L>h 所以t甲>t乙′.

根据上述可知，图2中显示的乙斜面的角度是在图1所示斜面和图3所示斜面的夹角之间（即在 ～ 之间），因此，三种斜面的小球落底时间长短关系为t甲>t乙>t乙′

3.运用极限思维方法提高解题效率

图4例3 图4所示装置正处于平衡状态.假设现在把绳子AC换成绳子AC′，其中AC′的长度大于AC，AB杆保持竖直状态不变，此时这个装置仍能够保持平衡状态，现比较原来装置中绳子AC的张力和杆AB所受的压力与改变后绳子AC'所受张力T和杆AB所受压力N相比较，改变后的张力T和压力N的变化情况为（ ）.

A.T增大，N减少 B.T、N均增大

C.T减小，N增大 D.T、N均减小

改变绳AC的长度，同时仍保持装置处于平衡状态，杆AB与地面用铰链连接.常规求解思路如图所示，假设绳AC与水平方向的夹角为θ，绳AC中的点A受到AB杆的支持力N'、AC绳的拉力T'以及AD绳的拉力三个力作用而处于平衡状态，绳AD所受的拉力大小等于G.根据平衡条件，在A点处可建立方程如下：

水平方向G-T′cosθ=0，竖直方向N′-T′sinθ=0，根据作用力和反作用力可得T=-T-N′=-N.

由以上公式可以解得T=G/cosθ

N=Gtgθ.

由所得的结果可以看出，随着θ的减小，绳子所受张力N和杆AB所受的压力均减小，故答案选D.

极限思维法的解题思路：根据极限思维法可以推断其两种极限状态，当θ=0°（即C′点趋近于无穷远处）时，张力N=0，支持力T=G，当θ=90°（即B点与C点重合）时，张力N趋近于无穷大，支持力T=N也趋近于无穷大，故当θ减小时，当绳AC′变长时，张力N和支持力T均减小.

除此之外，极限思维法还可以对高中物理题目进行快速有效地结果检验，快速准确的发现题目中的错误所在，使得学生做题时节约大量的时间.

4.结论

根据以上例题可以看出，极限思维方法与常规思维方法相比，极限思维法可以明显的将高中的物理题目由繁化简，由难化易.大大的提高解题的准确率，并且节约大量的时间，最重要的是极限思维法的应用可以开拓学生的创新思维，利用全新的路径寻找解题方法.综上所述，极限思维方法对高中物理的学习有很大的帮助.

1.运用极限思维法寻找解题突破口

例1 如图1所示，一质量为m的物体过绳PQ通过一定滑轮与图1 小车通过细绳将物体向上提升一辆车相连，假定绳子的P端连接小车，Q端连接物体，绳本身没有伸缩性，绳和定滑轮的尺寸和质量不计并且忽略滑轮与绳子之间的摩擦力.运动开始时，车在左侧滑轮外边缘的正下方的A点，绳PQ绷紧但无作用力，其中AB间距离和左侧绳长均为H，开始运动后，汽车向左加速运动，沿水平方向由A点运动到B点后继续驶向C点.假设小车经过B点时的速度为υb，试求小车在由A点向B点运动的过程中，绳端Q的拉力对物体所做功的大小.

运用动能定理的解题思路，通过动能定理求出绳Q端的拉力对物体做的功，关键在于是否能够正确求出小车到B点时，物体所具有的即时速度υtb.这种解题方式往往会让学生犯下υtb=υb的主观错误.

极限思维法的解题思路，据图可得，绳P端的速度υ的大小和方向随着小车的行驶，不断地发生变化，据此可以用极限思维方法分析题目.在A点时，θ=90°，绳速υ=0，当小车由C点驶向无穷远处时，θ=0°，此时绳子和车速趋近于相同.因此，在小车由A点驶过B、C继续驶向无穷远处的整个过程中，绳P端的速度呈现出递增的变化，处于两个极限位置的绳P端和小车速度关系：在A点，υ=V车cos90°=0，在无穷远处，υ=V车cos180°=V车，所以在B点应用υ=υbcosθ，由于θ=45°，可以准确的得到小车行驶到B点时物体的速度vt.至此，可以简单地作出答案.

2.运用极限思维法探求解途径

图2 两相同的小球从两斜面顶端同时滑下例2 如图2所示高度相同的两光滑斜面甲、乙，具有相同的总长度，但是乙斜面是由两部分连接组成的.假设现从甲乙两斜面的顶端同时释放两个完全相同的小球，不计接触面摩擦和能量损失，试求哪个斜面的小球能够先到达底端？

常规解题思路 对于甲斜面来说，小球的运动过程是一个简单的匀加速过程.所以，求小球运动到斜面底端的时间就以直接利用运动学公式.

L=12at2m因为a=gsina=ghL，

所以t=2La=2LghL=2L2gh.

极限思维法的解题思路，对于乙斜面来说：显然不可以用简图3 乙斜面中小球通过

思维法推论的极限状态单的运动学公式解决问题，但是可以根据极限思维法分析解决.对乙斜面上两部分边线进行极限假设，斜面上的两段线所成的角变化范围从90°变化到180°，当夹角变化成180°时，即成为甲斜面现在所呈现的状态，如图3所示，此时所呈现的状态为夹角为90°时的乙斜面状态.此时小球的运动的时间分为两部分，AB段的自由落体运动，和BC段的匀速运动，其运动时间为沿AB段到达B点时小球的速度v=2gh，沿BC段小球的运动时间t2=L-h2gh.

在图3所示的乙斜面上，小球所运动的总时间t乙′=t1+t2，因为L>h 所以t甲>t乙′.

根据上述可知，图2中显示的乙斜面的角度是在图1所示斜面和图3所示斜面的夹角之间（即在 ～ 之间），因此，三种斜面的小球落底时间长短关系为t甲>t乙>t乙′

3.运用极限思维方法提高解题效率

图4例3 图4所示装置正处于平衡状态.假设现在把绳子AC换成绳子AC′，其中AC′的长度大于AC，AB杆保持竖直状态不变，此时这个装置仍能够保持平衡状态，现比较原来装置中绳子AC的张力和杆AB所受的压力与改变后绳子AC'所受张力T和杆AB所受压力N相比较，改变后的张力T和压力N的变化情况为（ ）.

A.T增大，N减少 B.T、N均增大

C.T减小，N增大 D.T、N均减小

改变绳AC的长度，同时仍保持装置处于平衡状态，杆AB与地面用铰链连接.常规求解思路如图所示，假设绳AC与水平方向的夹角为θ，绳AC中的点A受到AB杆的支持力N'、AC绳的拉力T'以及AD绳的拉力三个力作用而处于平衡状态，绳AD所受的拉力大小等于G.根据平衡条件，在A点处可建立方程如下：

水平方向G-T′cosθ=0，竖直方向N′-T′sinθ=0，根据作用力和反作用力可得T=-T-N′=-N.

由以上公式可以解得T=G/cosθ

N=Gtgθ.

由所得的结果可以看出，随着θ的减小，绳子所受张力N和杆AB所受的压力均减小，故答案选D.

极限思维法的解题思路：根据极限思维法可以推断其两种极限状态，当θ=0°（即C′点趋近于无穷远处）时，张力N=0，支持力T=G，当θ=90°（即B点与C点重合）时，张力N趋近于无穷大，支持力T=N也趋近于无穷大，故当θ减小时，当绳AC′变长时，张力N和支持力T均减小.

除此之外，极限思维法还可以对高中物理题目进行快速有效地结果检验，快速准确的发现题目中的错误所在，使得学生做题时节约大量的时间.

4.结论

根据以上例题可以看出，极限思维方法与常规思维方法相比，极限思维法可以明显的将高中的物理题目由繁化简，由难化易.大大的提高解题的准确率，并且节约大量的时间，最重要的是极限思维法的应用可以开拓学生的创新思维，利用全新的路径寻找解题方法.综上所述，极限思维方法对高中物理的学习有很大的帮助.

1.运用极限思维法寻找解题突破口

例1 如图1所示，一质量为m的物体过绳PQ通过一定滑轮与图1 小车通过细绳将物体向上提升一辆车相连，假定绳子的P端连接小车，Q端连接物体，绳本身没有伸缩性，绳和定滑轮的尺寸和质量不计并且忽略滑轮与绳子之间的摩擦力.运动开始时，车在左侧滑轮外边缘的正下方的A点，绳PQ绷紧但无作用力，其中AB间距离和左侧绳长均为H，开始运动后，汽车向左加速运动，沿水平方向由A点运动到B点后继续驶向C点.假设小车经过B点时的速度为υb，试求小车在由A点向B点运动的过程中，绳端Q的拉力对物体所做功的大小.

运用动能定理的解题思路，通过动能定理求出绳Q端的拉力对物体做的功，关键在于是否能够正确求出小车到B点时，物体所具有的即时速度υtb.这种解题方式往往会让学生犯下υtb=υb的主观错误.

极限思维法的解题思路，据图可得，绳P端的速度υ的大小和方向随着小车的行驶，不断地发生变化，据此可以用极限思维方法分析题目.在A点时，θ=90°，绳速υ=0，当小车由C点驶向无穷远处时，θ=0°，此时绳子和车速趋近于相同.因此，在小车由A点驶过B、C继续驶向无穷远处的整个过程中，绳P端的速度呈现出递增的变化，处于两个极限位置的绳P端和小车速度关系：在A点，υ=V车cos90°=0，在无穷远处，υ=V车cos180°=V车，所以在B点应用υ=υbcosθ，由于θ=45°，可以准确的得到小车行驶到B点时物体的速度vt.至此，可以简单地作出答案.

2.运用极限思维法探求解途径

图2 两相同的小球从两斜面顶端同时滑下例2 如图2所示高度相同的两光滑斜面甲、乙，具有相同的总长度，但是乙斜面是由两部分连接组成的.假设现从甲乙两斜面的顶端同时释放两个完全相同的小球，不计接触面摩擦和能量损失，试求哪个斜面的小球能够先到达底端？

常规解题思路 对于甲斜面来说，小球的运动过程是一个简单的匀加速过程.所以，求小球运动到斜面底端的时间就以直接利用运动学公式.

L=12at2m因为a=gsina=ghL，

所以t=2La=2LghL=2L2gh.

极限思维法的解题思路，对于乙斜面来说：显然不可以用简图3 乙斜面中小球通过

思维法推论的极限状态单的运动学公式解决问题，但是可以根据极限思维法分析解决.对乙斜面上两部分边线进行极限假设，斜面上的两段线所成的角变化范围从90°变化到180°，当夹角变化成180°时，即成为甲斜面现在所呈现的状态，如图3所示，此时所呈现的状态为夹角为90°时的乙斜面状态.此时小球的运动的时间分为两部分，AB段的自由落体运动，和BC段的匀速运动，其运动时间为沿AB段到达B点时小球的速度v=2gh，沿BC段小球的运动时间t2=L-h2gh.

在图3所示的乙斜面上，小球所运动的总时间t乙′=t1+t2，因为L>h 所以t甲>t乙′.

根据上述可知，图2中显示的乙斜面的角度是在图1所示斜面和图3所示斜面的夹角之间（即在 ～ 之间），因此，三种斜面的小球落底时间长短关系为t甲>t乙>t乙′

3.运用极限思维方法提高解题效率

图4例3 图4所示装置正处于平衡状态.假设现在把绳子AC换成绳子AC′，其中AC′的长度大于AC，AB杆保持竖直状态不变，此时这个装置仍能够保持平衡状态，现比较原来装置中绳子AC的张力和杆AB所受的压力与改变后绳子AC'所受张力T和杆AB所受压力N相比较，改变后的张力T和压力N的变化情况为（ ）.

A.T增大，N减少 B.T、N均增大

C.T减小，N增大 D.T、N均减小

改变绳AC的长度，同时仍保持装置处于平衡状态，杆AB与地面用铰链连接.常规求解思路如图所示，假设绳AC与水平方向的夹角为θ，绳AC中的点A受到AB杆的支持力N'、AC绳的拉力T'以及AD绳的拉力三个力作用而处于平衡状态，绳AD所受的拉力大小等于G.根据平衡条件，在A点处可建立方程如下：

水平方向G-T′cosθ=0，竖直方向N′-T′sinθ=0，根据作用力和反作用力可得T=-T-N′=-N.

由以上公式可以解得T=G/cosθ

N=Gtgθ.

由所得的结果可以看出，随着θ的减小，绳子所受张力N和杆AB所受的压力均减小，故答案选D.

极限思维法的解题思路：根据极限思维法可以推断其两种极限状态，当θ=0°（即C′点趋近于无穷远处）时，张力N=0，支持力T=G，当θ=90°（即B点与C点重合）时，张力N趋近于无穷大，支持力T=N也趋近于无穷大，故当θ减小时，当绳AC′变长时，张力N和支持力T均减小.

除此之外，极限思维法还可以对高中物理题目进行快速有效地结果检验，快速准确的发现题目中的错误所在，使得学生做题时节约大量的时间.

4.结论

根据以上例题可以看出，极限思维方法与常规思维方法相比，极限思维法可以明显的将高中的物理题目由繁化简，由难化易.大大的提高解题的准确率，并且节约大量的时间，最重要的是极限思维法的应用可以开拓学生的创新思维，利用全新的路径寻找解题方法.综上所述，极限思维方法对高中物理的学习有很大的帮助.