浅谈“滚轮线”在高中物理习题教学中的应用

彭正飞

滚轮线，是数学众多摆线中的一种.顾名思义，滚轮线是轮子某质点滚出来的曲线.半径为R的轮子在水平面上沿一直线纯滚动，轮子边缘上任何一点的运动轨迹便是一条滚轮线.从理论角度来说，滚轮线是匀速直线运动图像和匀速圆周运动图像的叠加图像.这种两种图像的叠加在物理学中的一种理解就是运动的合成.即，当某一质点的运动同时参与了匀速直线运动和匀速圆周运动时，该质点的运动轨迹就是我们生活中的滚轮线，通过对滚轮线形状的定性了解，可以帮助我们快速的理解物理问题的内涵，找到解决物理问题的方法.

一、滚轮线在高中物理教学中的直接应用

图1案例1 如图1所示，在平直地面上匀速行驶的拖拉机速度为5 m/s，拖拉机前轮直径d=0.8 m，在行驶过程中从前轮边缘最高点A处水平飞出一个小石块，车轮与地面“不打滑”.g取10 m/s2，求小石块落地时距C点距离.

在这个问题中，小石块水平离开边缘A点后，做平抛运动，而平抛初速度v0为多少，对此，很多学生无法求解.在此，有的老师对如何求解最高点初速度vA作如下解说：车以速度v=5 m/s向前运动，则车轴O点向前的平移速度为v=5 m/s.车轮边缘A点绕轴O点旋转，当车速为 v=5 m/s时，A点绕O点的旋转线速度v′=5 m/s，即A点相对于O点的速度为v′=5 m/s，所以A点的对地速度为v+v′=10 m/s.然后根据高度求出平抛时间t=0.4 s可以求出射程是4 m.

实际上，我们学生对这样“生硬”理由是很难信服或不能理解的，至少部分学生会不明所以.其实，这样的运动是非常典型的滚轮线图2运动，轮子上任何一个点同时参与了水平向右的匀速直线运动和绕O点的匀速圆周运动，我们不妨设圆周运动的线速度为v′（如图2），并且明确圆周运动是顺时针方向进行的，那么A点线速度方向向右，而C点线速度方向向左，因此，A的速度就是v+v′，而最低点C的速度则是v-v′.由于车子和地面是“不打滑”的，这样C点相对于地面的速度就是零，这样自然而然的可以得出线速度v′的大小就等于匀速运动速度v的大小.那么，A的速度就必然是v+v′=10 m/s.然后根据高度求出平抛时间t=0.4 s最后可以求出射程是4 m.

二、滚轮线在高中物理教学中的辅助作用

图3案例2 如图3所示，M和N是两块面积很大、相互平行又相距较近的带电金属板，相距为d，两板间的电势差为U，同时，在这两板间还有方向与均匀电场正交而垂直纸面向外的均匀磁场，一束电子通过左侧带负电的板M上的小孔，沿垂直于金属板方向射入.为使电子束不碰到右侧带正电的N板，问所加磁场的磁感应强度至少是多大？

（设电子受到的重力及从小孔进入时的初速度均可不计）

不防借助于滚轮线的特征及方法求解.即作如下理解.电子刚进入两板时，初速度为零，设想此时电子具有如图4所示的竖直向上的速度v和向下的速度v，使向上的速度受到水平向右的磁场力正好和电子在两板间所受的电场力相平衡，即v的大小满足evB=eE=eUd可得v=UBd，此式表明，这个正值是恒定的.照此图4设想，电子在其后的运功过程中将受三个力作用，一个是水平向右的电场力，一个是水平向左的磁场力，另一个电子向下运动而产生的水平向右的磁场力.这三个力所对应的加速度引起电子速度的改变，它和原来电子向下运动的速度的合成正是一种匀速圆周运动模式，而电子向上运动的速度没有改变，它引起的磁场力和电场力保持平衡（如图4所示）.

于是，电子最终的运动轨迹是滚轮线（运动轨迹如图5）.对图5于匀速圆周运动，有evB=mv2R.而且，由图4可知，要求电子不碰到N板，则必须满足2R

结合以上三个式子可得

d2>R=mveB=mUedB2，即B>2mUed2.

由此可见，合理应用滚轮线的性质和特征，将会让学生在考虑带电粒子在复合场中的运动问题变得直观，对粒子复杂的运动轨迹也有一个清晰地认识.学生的分析、解决问题的能力也能得到提高，对运动合成与分解间的关系也能有个全新的认识和更深的理解.

三、滚轮线在高中物理教学中的启示作用

图6案例3 如图6所示，质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速v0垂直射入相互正交的匀强电场E和匀强磁场B，粒子从P点离开该区域的速率为vP，此时侧移量为s，下列说法中正确的是（ ）.

A.在P点带电粒子所受磁场力有可能比电场力大

B.带电粒子的加速度大小恒为qBv0-Eqm

C.带电粒子到达P点的速率vp=v20+2qEsm

D .带电粒子到达P点的速率vp=v20-2qEsm

对BCD选项的解答只要应用“牛顿第二定律”和“功能关系”，解决的难度不大.而对于A选项的说明，笔者查阅了许多的参考答案，各地老师几乎千遍一律地给出了这样的解释：带电粒子进入电场时，受到的电场力FE=Eq竖直向上，受到的磁场力FB=Bqv竖直向下，由于粒子向上偏转且能从P点射出，说明开始时FE>FB；但是粒子在侧移过程中，电场力对其做正功，其速率v不断增大，FB亦随之增大，故到达P点时有可能使FB>FE，所以选项A正确.

其实，这是粒子在复合场中的复杂的运动，如果老师事先和学生讨论滚轮线的相关性质和特征，对于A选项的解答可以轻松面对、毫无破绽地解答的.可以设粒子射入复合场时具有的速度为向右的v1和向左的v2，使得v1-v2=v0，并图7且由案例2中原理可得：粒子在复合场中作水平方向上以的v1为速度大小的匀速直线运动和以v2为线速度的顺时针匀速圆周运动的合运动（如图7），其中最低点的对地速度是v1-v2，最高点的对地速度为v1+v2，其它各点的速度是v1与v2根据平行四边形定则求出的合速度.利用几何画板可以画出这种滚轮线的图像（如图8）.

图8 图9（也可以和学生一起用描点法大致画出其图像的大致形状，该曲线实际上是自行车前进过程中，地面打滑现象），根据图像可以清晰看出，粒子出来时的P点在轨迹上的可能是很多的，P点有可能在图像最高点A的左侧的位置，也有可能是图像最高点A右侧的位置，甚至P点可能刚好就是图像中的A点（如图9）.

认可这一点的以后，认为最高点的磁场力为FB=qB（v1+v2）>qE.所以说A选择的说法是可能出现的.老师做出这样的解释，笔者认为虽然繁琐，但能培养学生不断寻求“真理”的物理思想和物理精神.

物理是一门严谨的自然学科，教授学生学习物理的过程中，不仅是传授学科的知识，同时也是对学生进行跨学科整合理念的渗透，高中物理中，还有很多地方能够找到与其他学科知识相关或相近的知识板块，借助于其他学科已有的观点，能够帮助物理学科的教学.高中物理概念、规律的教学过程中，教师一定要避免模棱两可，是非不明的情况出现.在常规办法无法实施的时候，适当地考虑用数学图像的办法加以说明论证往往能起到意想不到的效果.

滚轮线，是数学众多摆线中的一种.顾名思义，滚轮线是轮子某质点滚出来的曲线.半径为R的轮子在水平面上沿一直线纯滚动，轮子边缘上任何一点的运动轨迹便是一条滚轮线.从理论角度来说，滚轮线是匀速直线运动图像和匀速圆周运动图像的叠加图像.这种两种图像的叠加在物理学中的一种理解就是运动的合成.即，当某一质点的运动同时参与了匀速直线运动和匀速圆周运动时，该质点的运动轨迹就是我们生活中的滚轮线，通过对滚轮线形状的定性了解，可以帮助我们快速的理解物理问题的内涵，找到解决物理问题的方法.

一、滚轮线在高中物理教学中的直接应用

图1案例1 如图1所示，在平直地面上匀速行驶的拖拉机速度为5 m/s，拖拉机前轮直径d=0.8 m，在行驶过程中从前轮边缘最高点A处水平飞出一个小石块，车轮与地面“不打滑”.g取10 m/s2，求小石块落地时距C点距离.

在这个问题中，小石块水平离开边缘A点后，做平抛运动，而平抛初速度v0为多少，对此，很多学生无法求解.在此，有的老师对如何求解最高点初速度vA作如下解说：车以速度v=5 m/s向前运动，则车轴O点向前的平移速度为v=5 m/s.车轮边缘A点绕轴O点旋转，当车速为 v=5 m/s时，A点绕O点的旋转线速度v′=5 m/s，即A点相对于O点的速度为v′=5 m/s，所以A点的对地速度为v+v′=10 m/s.然后根据高度求出平抛时间t=0.4 s可以求出射程是4 m.

实际上，我们学生对这样“生硬”理由是很难信服或不能理解的，至少部分学生会不明所以.其实，这样的运动是非常典型的滚轮线图2运动，轮子上任何一个点同时参与了水平向右的匀速直线运动和绕O点的匀速圆周运动，我们不妨设圆周运动的线速度为v′（如图2），并且明确圆周运动是顺时针方向进行的，那么A点线速度方向向右，而C点线速度方向向左，因此，A的速度就是v+v′，而最低点C的速度则是v-v′.由于车子和地面是“不打滑”的，这样C点相对于地面的速度就是零，这样自然而然的可以得出线速度v′的大小就等于匀速运动速度v的大小.那么，A的速度就必然是v+v′=10 m/s.然后根据高度求出平抛时间t=0.4 s最后可以求出射程是4 m.

二、滚轮线在高中物理教学中的辅助作用

图3案例2 如图3所示，M和N是两块面积很大、相互平行又相距较近的带电金属板，相距为d，两板间的电势差为U，同时，在这两板间还有方向与均匀电场正交而垂直纸面向外的均匀磁场，一束电子通过左侧带负电的板M上的小孔，沿垂直于金属板方向射入.为使电子束不碰到右侧带正电的N板，问所加磁场的磁感应强度至少是多大？

（设电子受到的重力及从小孔进入时的初速度均可不计）

不防借助于滚轮线的特征及方法求解.即作如下理解.电子刚进入两板时，初速度为零，设想此时电子具有如图4所示的竖直向上的速度v和向下的速度v，使向上的速度受到水平向右的磁场力正好和电子在两板间所受的电场力相平衡，即v的大小满足evB=eE=eUd可得v=UBd，此式表明，这个正值是恒定的.照此图4设想，电子在其后的运功过程中将受三个力作用，一个是水平向右的电场力，一个是水平向左的磁场力，另一个电子向下运动而产生的水平向右的磁场力.这三个力所对应的加速度引起电子速度的改变，它和原来电子向下运动的速度的合成正是一种匀速圆周运动模式，而电子向上运动的速度没有改变，它引起的磁场力和电场力保持平衡（如图4所示）.

于是，电子最终的运动轨迹是滚轮线（运动轨迹如图5）.对图5于匀速圆周运动，有evB=mv2R.而且，由图4可知，要求电子不碰到N板，则必须满足2R

结合以上三个式子可得

d2>R=mveB=mUedB2，即B>2mUed2.

由此可见，合理应用滚轮线的性质和特征，将会让学生在考虑带电粒子在复合场中的运动问题变得直观，对粒子复杂的运动轨迹也有一个清晰地认识.学生的分析、解决问题的能力也能得到提高，对运动合成与分解间的关系也能有个全新的认识和更深的理解.

三、滚轮线在高中物理教学中的启示作用

图6案例3 如图6所示，质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速v0垂直射入相互正交的匀强电场E和匀强磁场B，粒子从P点离开该区域的速率为vP，此时侧移量为s，下列说法中正确的是（ ）.

A.在P点带电粒子所受磁场力有可能比电场力大

B.带电粒子的加速度大小恒为qBv0-Eqm

C.带电粒子到达P点的速率vp=v20+2qEsm

D .带电粒子到达P点的速率vp=v20-2qEsm

对BCD选项的解答只要应用“牛顿第二定律”和“功能关系”，解决的难度不大.而对于A选项的说明，笔者查阅了许多的参考答案，各地老师几乎千遍一律地给出了这样的解释：带电粒子进入电场时，受到的电场力FE=Eq竖直向上，受到的磁场力FB=Bqv竖直向下，由于粒子向上偏转且能从P点射出，说明开始时FE>FB；但是粒子在侧移过程中，电场力对其做正功，其速率v不断增大，FB亦随之增大，故到达P点时有可能使FB>FE，所以选项A正确.

其实，这是粒子在复合场中的复杂的运动，如果老师事先和学生讨论滚轮线的相关性质和特征，对于A选项的解答可以轻松面对、毫无破绽地解答的.可以设粒子射入复合场时具有的速度为向右的v1和向左的v2，使得v1-v2=v0，并图7且由案例2中原理可得：粒子在复合场中作水平方向上以的v1为速度大小的匀速直线运动和以v2为线速度的顺时针匀速圆周运动的合运动（如图7），其中最低点的对地速度是v1-v2，最高点的对地速度为v1+v2，其它各点的速度是v1与v2根据平行四边形定则求出的合速度.利用几何画板可以画出这种滚轮线的图像（如图8）.

图8 图9（也可以和学生一起用描点法大致画出其图像的大致形状，该曲线实际上是自行车前进过程中，地面打滑现象），根据图像可以清晰看出，粒子出来时的P点在轨迹上的可能是很多的，P点有可能在图像最高点A的左侧的位置，也有可能是图像最高点A右侧的位置，甚至P点可能刚好就是图像中的A点（如图9）.

认可这一点的以后，认为最高点的磁场力为FB=qB（v1+v2）>qE.所以说A选择的说法是可能出现的.老师做出这样的解释，笔者认为虽然繁琐，但能培养学生不断寻求“真理”的物理思想和物理精神.

物理是一门严谨的自然学科，教授学生学习物理的过程中，不仅是传授学科的知识，同时也是对学生进行跨学科整合理念的渗透，高中物理中，还有很多地方能够找到与其他学科知识相关或相近的知识板块，借助于其他学科已有的观点，能够帮助物理学科的教学.高中物理概念、规律的教学过程中，教师一定要避免模棱两可，是非不明的情况出现.在常规办法无法实施的时候，适当地考虑用数学图像的办法加以说明论证往往能起到意想不到的效果.

滚轮线，是数学众多摆线中的一种.顾名思义，滚轮线是轮子某质点滚出来的曲线.半径为R的轮子在水平面上沿一直线纯滚动，轮子边缘上任何一点的运动轨迹便是一条滚轮线.从理论角度来说，滚轮线是匀速直线运动图像和匀速圆周运动图像的叠加图像.这种两种图像的叠加在物理学中的一种理解就是运动的合成.即，当某一质点的运动同时参与了匀速直线运动和匀速圆周运动时，该质点的运动轨迹就是我们生活中的滚轮线，通过对滚轮线形状的定性了解，可以帮助我们快速的理解物理问题的内涵，找到解决物理问题的方法.

一、滚轮线在高中物理教学中的直接应用

图1案例1 如图1所示，在平直地面上匀速行驶的拖拉机速度为5 m/s，拖拉机前轮直径d=0.8 m，在行驶过程中从前轮边缘最高点A处水平飞出一个小石块，车轮与地面“不打滑”.g取10 m/s2，求小石块落地时距C点距离.

在这个问题中，小石块水平离开边缘A点后，做平抛运动，而平抛初速度v0为多少，对此，很多学生无法求解.在此，有的老师对如何求解最高点初速度vA作如下解说：车以速度v=5 m/s向前运动，则车轴O点向前的平移速度为v=5 m/s.车轮边缘A点绕轴O点旋转，当车速为 v=5 m/s时，A点绕O点的旋转线速度v′=5 m/s，即A点相对于O点的速度为v′=5 m/s，所以A点的对地速度为v+v′=10 m/s.然后根据高度求出平抛时间t=0.4 s可以求出射程是4 m.

实际上，我们学生对这样“生硬”理由是很难信服或不能理解的，至少部分学生会不明所以.其实，这样的运动是非常典型的滚轮线图2运动，轮子上任何一个点同时参与了水平向右的匀速直线运动和绕O点的匀速圆周运动，我们不妨设圆周运动的线速度为v′（如图2），并且明确圆周运动是顺时针方向进行的，那么A点线速度方向向右，而C点线速度方向向左，因此，A的速度就是v+v′，而最低点C的速度则是v-v′.由于车子和地面是“不打滑”的，这样C点相对于地面的速度就是零，这样自然而然的可以得出线速度v′的大小就等于匀速运动速度v的大小.那么，A的速度就必然是v+v′=10 m/s.然后根据高度求出平抛时间t=0.4 s最后可以求出射程是4 m.

二、滚轮线在高中物理教学中的辅助作用

图3案例2 如图3所示，M和N是两块面积很大、相互平行又相距较近的带电金属板，相距为d，两板间的电势差为U，同时，在这两板间还有方向与均匀电场正交而垂直纸面向外的均匀磁场，一束电子通过左侧带负电的板M上的小孔，沿垂直于金属板方向射入.为使电子束不碰到右侧带正电的N板，问所加磁场的磁感应强度至少是多大？

（设电子受到的重力及从小孔进入时的初速度均可不计）

不防借助于滚轮线的特征及方法求解.即作如下理解.电子刚进入两板时，初速度为零，设想此时电子具有如图4所示的竖直向上的速度v和向下的速度v，使向上的速度受到水平向右的磁场力正好和电子在两板间所受的电场力相平衡，即v的大小满足evB=eE=eUd可得v=UBd，此式表明，这个正值是恒定的.照此图4设想，电子在其后的运功过程中将受三个力作用，一个是水平向右的电场力，一个是水平向左的磁场力，另一个电子向下运动而产生的水平向右的磁场力.这三个力所对应的加速度引起电子速度的改变，它和原来电子向下运动的速度的合成正是一种匀速圆周运动模式，而电子向上运动的速度没有改变，它引起的磁场力和电场力保持平衡（如图4所示）.

于是，电子最终的运动轨迹是滚轮线（运动轨迹如图5）.对图5于匀速圆周运动，有evB=mv2R.而且，由图4可知，要求电子不碰到N板，则必须满足2R

结合以上三个式子可得

d2>R=mveB=mUedB2，即B>2mUed2.

由此可见，合理应用滚轮线的性质和特征，将会让学生在考虑带电粒子在复合场中的运动问题变得直观，对粒子复杂的运动轨迹也有一个清晰地认识.学生的分析、解决问题的能力也能得到提高，对运动合成与分解间的关系也能有个全新的认识和更深的理解.

三、滚轮线在高中物理教学中的启示作用

图6案例3 如图6所示，质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速v0垂直射入相互正交的匀强电场E和匀强磁场B，粒子从P点离开该区域的速率为vP，此时侧移量为s，下列说法中正确的是（ ）.

A.在P点带电粒子所受磁场力有可能比电场力大

B.带电粒子的加速度大小恒为qBv0-Eqm

C.带电粒子到达P点的速率vp=v20+2qEsm

D .带电粒子到达P点的速率vp=v20-2qEsm

对BCD选项的解答只要应用“牛顿第二定律”和“功能关系”，解决的难度不大.而对于A选项的说明，笔者查阅了许多的参考答案，各地老师几乎千遍一律地给出了这样的解释：带电粒子进入电场时，受到的电场力FE=Eq竖直向上，受到的磁场力FB=Bqv竖直向下，由于粒子向上偏转且能从P点射出，说明开始时FE>FB；但是粒子在侧移过程中，电场力对其做正功，其速率v不断增大，FB亦随之增大，故到达P点时有可能使FB>FE，所以选项A正确.

其实，这是粒子在复合场中的复杂的运动，如果老师事先和学生讨论滚轮线的相关性质和特征，对于A选项的解答可以轻松面对、毫无破绽地解答的.可以设粒子射入复合场时具有的速度为向右的v1和向左的v2，使得v1-v2=v0，并图7且由案例2中原理可得：粒子在复合场中作水平方向上以的v1为速度大小的匀速直线运动和以v2为线速度的顺时针匀速圆周运动的合运动（如图7），其中最低点的对地速度是v1-v2，最高点的对地速度为v1+v2，其它各点的速度是v1与v2根据平行四边形定则求出的合速度.利用几何画板可以画出这种滚轮线的图像（如图8）.

图8 图9（也可以和学生一起用描点法大致画出其图像的大致形状，该曲线实际上是自行车前进过程中，地面打滑现象），根据图像可以清晰看出，粒子出来时的P点在轨迹上的可能是很多的，P点有可能在图像最高点A的左侧的位置，也有可能是图像最高点A右侧的位置，甚至P点可能刚好就是图像中的A点（如图9）.

认可这一点的以后，认为最高点的磁场力为FB=qB（v1+v2）>qE.所以说A选择的说法是可能出现的.老师做出这样的解释，笔者认为虽然繁琐，但能培养学生不断寻求“真理”的物理思想和物理精神.

物理是一门严谨的自然学科，教授学生学习物理的过程中，不仅是传授学科的知识，同时也是对学生进行跨学科整合理念的渗透，高中物理中，还有很多地方能够找到与其他学科知识相关或相近的知识板块，借助于其他学科已有的观点，能够帮助物理学科的教学.高中物理概念、规律的教学过程中，教师一定要避免模棱两可，是非不明的情况出现.在常规办法无法实施的时候，适当地考虑用数学图像的办法加以说明论证往往能起到意想不到的效果.