旋转液面形状的推断与探索

肖捷+冯佳伟

用于实验的仪器，底部由一个三角形的重铁架组成，这样的构造可以使得整个仪器重心较低，使其更稳，不易倒.中间接连一根刚型支柱，链接顶部的圆盘，圆盘内有凹槽，可以放置物品，这样的设计可以使物品不容易在旋转中转出盘面.实际上，我们的道具还有塑料大圆盘，用以完成我们接下来的整个实验.

实验中，观察到一个细节：三角形底盘的三个角上分别有一个可调节高度的螺旋钉.有个问题：三角铁的三边的高度应该是相等的，为什么还需要用螺旋钉.为保证三角铁的绝对水平，但是不能保证实验所用的地方、桌子是完全呈绝对水平状态，所以需要用螺旋钉来调节三边的高度，最终保证三角铁三边的高度相等使得圆盘保持绝对水平.用来验证圆盘绝对水平的方法是通过调整各角的高度后，在圆盘上任意一位置轻放一物品，圆盘不转动，即圆盘保持绝对水平.

将塑料圆盘固定，并保持圆盘水平即完成了实验的准备工作.

运用现有物理知识，对实验结果进行猜测.

图1一个装满水的杯子放在加速为a向左加速运动的小车中，预测容器中液面的形状.

根据生活经验知道，向左加速的条件下，容器中的液面会呈现出左低右高的斜形液面.如何验证这个猜测呢？运用了两种方式通过理论的手段来解决这个问题.

方法1（微元法） 以地面为参考系，设容器内的液体密度为ρ，容器向左运动的加速度为a.设想在左侧液面下方M点（设其压强P0）任取一水平薄片液体片MN，令MN的横截面积为ΔS、长为L.由于它随整个液体一起作加速运动，所以其加速度应由该液体片左右两侧的压力产生，若N处液体压强为P，则根据牛顿第二定律可以得出（P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，解得N点的压强P=ρLa+P0.由P=ρLa+P0可以看出，当液体做沿水平方向做加速（或减速）运动时，在液体的内部，同一深度的压强将不再相等！沿加速度的反方向，压强逐渐增大，其大小与该位置到容器侧壁的距离L成线性关系.又因为液体在竖直方向上处于平衡状态，所以此处压强必定等于该点上方液体重力所产生的压强，即ρaL+P0=ρgH，解得N点的深度H=agL+P0ρg.也就是说液体内同一水平线上各点的深度H，与该点到容器左侧壁的距离L也成线性关系.因此液面将呈现出一个倾斜的平面的形状.

方法2（等效法） 以加速运动的车为参考系，假设液体在此参考系中处于“平衡状态”.根据爱因斯坦的广义相对论中的等效原理：一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价.所以这时可认为该参照系中的物体都处于两个恒定的力场中，一个向下为m，另一个向右为m.再将这两个力场合成为一个“等效重力场”，液体此时的“等效重力”为=m+m，其大小G=（mg）2+（ma）2，方向与地面成tan-1ga斜向右下方.也就是说现在等效的“竖直向下”是从左上方斜向右下方的，等效的“水平方向”则是从左下方斜向右上方的.而处于“平衡状态”下液体的液面必定处于“水平”状态，所以这时液面将呈现出一个从左下到右上倾斜的平面形状.

有在水平加速度下液面形状的理论依据后，由于加速度的方向则液面较低.在旋转的条件下，加速度的方向向圆心，所以猜测旋转液面的形状为中间低，四周高的斜液面.让我们用实验来观察一下猜测是否于实验相同.

首先将方形的容器装适量水，方形的一角放置在圆心，另一对角放置在圆周，旋转盘面，最终容器中的液面形成了二次型的形状.与前期的猜测相近但也不相同.此图形近似与二次函数形的有半部分.再将方形容器按左图的样式放置，旋转盘面，此图形近似与二次函数形.

图2 图3接下来我们再来看下在弧形的情况，旋转盘面，旋转的液面会形成什么样的形状.将弧形的容器放入适量水，旋转盘面，最终水的液面几乎没有什么变化，还是呈水平状.但是经实验发现，弧形容器的厚度必须足够小，若厚度很大，则会相当于多个方形容器的结合.

分别将装有石头和装有乒乓球装入柱形容器中，容器中装满水，旋转盘面.观察石头和乒乓球的变化.实验结果呈现出两种截然不同的结果.石头在圆周，而乒乓球则集中在圆心.在装有石头和水的圆柱旋转状态中，相当于是处于空气和石头的状态中，圆柱壁需要给石头提供向心力，所以石头会在圆周.而在装有乒乓球和水的旋转状态中，乒乓球充当了空气的角色，而水则需要圆柱壁为其提供向心力.所以才有了以上两种截然不同的实验结果.

我们从理论的层面上来深究.旋转液面的形状呈现出二次抛物线的形状.在盛水的玻璃杯放在水平面上，现使被绕其竖直中心轴匀速转动，试分析液体表面稳定后呈现的形状.

用前面分析的方法，在液体内部的转轴上M点（设其压强P0）任取一水平薄片液体片，设MN的横截面积为ΔS、长为L.由于它也随整个液体一起加速运动，其加速度应由该液体左右两侧的压力差决定.设N处液体压强为P，根据牛顿第二定律有 （P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，虽然液体片MN上各处加速度不同，但因各处的加速度a=ω2r，与各点到转轴的距离r成正比，因此可认为整个液体片MN的加速度等于MN中点处的加速度，即a=ω2L2，化简以上两式可解得N点的压强 P=ρω2L2+P0.由P=ρω2L2+P0可知液体内部同一水平线上不同位置的压强，与该位置到转轴OO′的距离L成二次函数关系.由于此压强同样等于该位置上方的液体重力所产生的压强，因此有ρω2L2+P0=ρgH，解得N点的深度H=ω2gL2+P0ρg.也就是说液体内同一水平线上各点的深度H，与该点到容器中心轴的距离L成二次函数关系，因此此时液面成抛物面形状.

结论：旋转液面的形状主要受到容器形状、转动速度等多方面的影响，在相当自由的状态下，旋转液面的截面呈现出抛物面的形状.各种不同的容器下，其实旋转液面还是遵循截面为抛物面的形状，只是因为容器形状的不同，从不同的角度看，所感受到形状不同，其本质的形状都是一样的.

用于实验的仪器，底部由一个三角形的重铁架组成，这样的构造可以使得整个仪器重心较低，使其更稳，不易倒.中间接连一根刚型支柱，链接顶部的圆盘，圆盘内有凹槽，可以放置物品，这样的设计可以使物品不容易在旋转中转出盘面.实际上，我们的道具还有塑料大圆盘，用以完成我们接下来的整个实验.

实验中，观察到一个细节：三角形底盘的三个角上分别有一个可调节高度的螺旋钉.有个问题：三角铁的三边的高度应该是相等的，为什么还需要用螺旋钉.为保证三角铁的绝对水平，但是不能保证实验所用的地方、桌子是完全呈绝对水平状态，所以需要用螺旋钉来调节三边的高度，最终保证三角铁三边的高度相等使得圆盘保持绝对水平.用来验证圆盘绝对水平的方法是通过调整各角的高度后，在圆盘上任意一位置轻放一物品，圆盘不转动，即圆盘保持绝对水平.

将塑料圆盘固定，并保持圆盘水平即完成了实验的准备工作.

运用现有物理知识，对实验结果进行猜测.

图1一个装满水的杯子放在加速为a向左加速运动的小车中，预测容器中液面的形状.

根据生活经验知道，向左加速的条件下，容器中的液面会呈现出左低右高的斜形液面.如何验证这个猜测呢？运用了两种方式通过理论的手段来解决这个问题.

方法1（微元法） 以地面为参考系，设容器内的液体密度为ρ，容器向左运动的加速度为a.设想在左侧液面下方M点（设其压强P0）任取一水平薄片液体片MN，令MN的横截面积为ΔS、长为L.由于它随整个液体一起作加速运动，所以其加速度应由该液体片左右两侧的压力产生，若N处液体压强为P，则根据牛顿第二定律可以得出（P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，解得N点的压强P=ρLa+P0.由P=ρLa+P0可以看出，当液体做沿水平方向做加速（或减速）运动时，在液体的内部，同一深度的压强将不再相等！沿加速度的反方向，压强逐渐增大，其大小与该位置到容器侧壁的距离L成线性关系.又因为液体在竖直方向上处于平衡状态，所以此处压强必定等于该点上方液体重力所产生的压强，即ρaL+P0=ρgH，解得N点的深度H=agL+P0ρg.也就是说液体内同一水平线上各点的深度H，与该点到容器左侧壁的距离L也成线性关系.因此液面将呈现出一个倾斜的平面的形状.

方法2（等效法） 以加速运动的车为参考系，假设液体在此参考系中处于“平衡状态”.根据爱因斯坦的广义相对论中的等效原理：一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价.所以这时可认为该参照系中的物体都处于两个恒定的力场中，一个向下为m，另一个向右为m.再将这两个力场合成为一个“等效重力场”，液体此时的“等效重力”为=m+m，其大小G=（mg）2+（ma）2，方向与地面成tan-1ga斜向右下方.也就是说现在等效的“竖直向下”是从左上方斜向右下方的，等效的“水平方向”则是从左下方斜向右上方的.而处于“平衡状态”下液体的液面必定处于“水平”状态，所以这时液面将呈现出一个从左下到右上倾斜的平面形状.

有在水平加速度下液面形状的理论依据后，由于加速度的方向则液面较低.在旋转的条件下，加速度的方向向圆心，所以猜测旋转液面的形状为中间低，四周高的斜液面.让我们用实验来观察一下猜测是否于实验相同.

首先将方形的容器装适量水，方形的一角放置在圆心，另一对角放置在圆周，旋转盘面，最终容器中的液面形成了二次型的形状.与前期的猜测相近但也不相同.此图形近似与二次函数形的有半部分.再将方形容器按左图的样式放置，旋转盘面，此图形近似与二次函数形.

图2 图3接下来我们再来看下在弧形的情况，旋转盘面，旋转的液面会形成什么样的形状.将弧形的容器放入适量水，旋转盘面，最终水的液面几乎没有什么变化，还是呈水平状.但是经实验发现，弧形容器的厚度必须足够小，若厚度很大，则会相当于多个方形容器的结合.

分别将装有石头和装有乒乓球装入柱形容器中，容器中装满水，旋转盘面.观察石头和乒乓球的变化.实验结果呈现出两种截然不同的结果.石头在圆周，而乒乓球则集中在圆心.在装有石头和水的圆柱旋转状态中，相当于是处于空气和石头的状态中，圆柱壁需要给石头提供向心力，所以石头会在圆周.而在装有乒乓球和水的旋转状态中，乒乓球充当了空气的角色，而水则需要圆柱壁为其提供向心力.所以才有了以上两种截然不同的实验结果.

我们从理论的层面上来深究.旋转液面的形状呈现出二次抛物线的形状.在盛水的玻璃杯放在水平面上，现使被绕其竖直中心轴匀速转动，试分析液体表面稳定后呈现的形状.

用前面分析的方法，在液体内部的转轴上M点（设其压强P0）任取一水平薄片液体片，设MN的横截面积为ΔS、长为L.由于它也随整个液体一起加速运动，其加速度应由该液体左右两侧的压力差决定.设N处液体压强为P，根据牛顿第二定律有 （P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，虽然液体片MN上各处加速度不同，但因各处的加速度a=ω2r，与各点到转轴的距离r成正比，因此可认为整个液体片MN的加速度等于MN中点处的加速度，即a=ω2L2，化简以上两式可解得N点的压强 P=ρω2L2+P0.由P=ρω2L2+P0可知液体内部同一水平线上不同位置的压强，与该位置到转轴OO′的距离L成二次函数关系.由于此压强同样等于该位置上方的液体重力所产生的压强，因此有ρω2L2+P0=ρgH，解得N点的深度H=ω2gL2+P0ρg.也就是说液体内同一水平线上各点的深度H，与该点到容器中心轴的距离L成二次函数关系，因此此时液面成抛物面形状.

结论：旋转液面的形状主要受到容器形状、转动速度等多方面的影响，在相当自由的状态下，旋转液面的截面呈现出抛物面的形状.各种不同的容器下，其实旋转液面还是遵循截面为抛物面的形状，只是因为容器形状的不同，从不同的角度看，所感受到形状不同，其本质的形状都是一样的.

用于实验的仪器，底部由一个三角形的重铁架组成，这样的构造可以使得整个仪器重心较低，使其更稳，不易倒.中间接连一根刚型支柱，链接顶部的圆盘，圆盘内有凹槽，可以放置物品，这样的设计可以使物品不容易在旋转中转出盘面.实际上，我们的道具还有塑料大圆盘，用以完成我们接下来的整个实验.

实验中，观察到一个细节：三角形底盘的三个角上分别有一个可调节高度的螺旋钉.有个问题：三角铁的三边的高度应该是相等的，为什么还需要用螺旋钉.为保证三角铁的绝对水平，但是不能保证实验所用的地方、桌子是完全呈绝对水平状态，所以需要用螺旋钉来调节三边的高度，最终保证三角铁三边的高度相等使得圆盘保持绝对水平.用来验证圆盘绝对水平的方法是通过调整各角的高度后，在圆盘上任意一位置轻放一物品，圆盘不转动，即圆盘保持绝对水平.

将塑料圆盘固定，并保持圆盘水平即完成了实验的准备工作.

运用现有物理知识，对实验结果进行猜测.

图1一个装满水的杯子放在加速为a向左加速运动的小车中，预测容器中液面的形状.

根据生活经验知道，向左加速的条件下，容器中的液面会呈现出左低右高的斜形液面.如何验证这个猜测呢？运用了两种方式通过理论的手段来解决这个问题.

方法1（微元法） 以地面为参考系，设容器内的液体密度为ρ，容器向左运动的加速度为a.设想在左侧液面下方M点（设其压强P0）任取一水平薄片液体片MN，令MN的横截面积为ΔS、长为L.由于它随整个液体一起作加速运动，所以其加速度应由该液体片左右两侧的压力产生，若N处液体压强为P，则根据牛顿第二定律可以得出（P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，解得N点的压强P=ρLa+P0.由P=ρLa+P0可以看出，当液体做沿水平方向做加速（或减速）运动时，在液体的内部，同一深度的压强将不再相等！沿加速度的反方向，压强逐渐增大，其大小与该位置到容器侧壁的距离L成线性关系.又因为液体在竖直方向上处于平衡状态，所以此处压强必定等于该点上方液体重力所产生的压强，即ρaL+P0=ρgH，解得N点的深度H=agL+P0ρg.也就是说液体内同一水平线上各点的深度H，与该点到容器左侧壁的距离L也成线性关系.因此液面将呈现出一个倾斜的平面的形状.

方法2（等效法） 以加速运动的车为参考系，假设液体在此参考系中处于“平衡状态”.根据爱因斯坦的广义相对论中的等效原理：一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价.所以这时可认为该参照系中的物体都处于两个恒定的力场中，一个向下为m，另一个向右为m.再将这两个力场合成为一个“等效重力场”，液体此时的“等效重力”为=m+m，其大小G=（mg）2+（ma）2，方向与地面成tan-1ga斜向右下方.也就是说现在等效的“竖直向下”是从左上方斜向右下方的，等效的“水平方向”则是从左下方斜向右上方的.而处于“平衡状态”下液体的液面必定处于“水平”状态，所以这时液面将呈现出一个从左下到右上倾斜的平面形状.

有在水平加速度下液面形状的理论依据后，由于加速度的方向则液面较低.在旋转的条件下，加速度的方向向圆心，所以猜测旋转液面的形状为中间低，四周高的斜液面.让我们用实验来观察一下猜测是否于实验相同.

首先将方形的容器装适量水，方形的一角放置在圆心，另一对角放置在圆周，旋转盘面，最终容器中的液面形成了二次型的形状.与前期的猜测相近但也不相同.此图形近似与二次函数形的有半部分.再将方形容器按左图的样式放置，旋转盘面，此图形近似与二次函数形.

图2 图3接下来我们再来看下在弧形的情况，旋转盘面，旋转的液面会形成什么样的形状.将弧形的容器放入适量水，旋转盘面，最终水的液面几乎没有什么变化，还是呈水平状.但是经实验发现，弧形容器的厚度必须足够小，若厚度很大，则会相当于多个方形容器的结合.

分别将装有石头和装有乒乓球装入柱形容器中，容器中装满水，旋转盘面.观察石头和乒乓球的变化.实验结果呈现出两种截然不同的结果.石头在圆周，而乒乓球则集中在圆心.在装有石头和水的圆柱旋转状态中，相当于是处于空气和石头的状态中，圆柱壁需要给石头提供向心力，所以石头会在圆周.而在装有乒乓球和水的旋转状态中，乒乓球充当了空气的角色，而水则需要圆柱壁为其提供向心力.所以才有了以上两种截然不同的实验结果.

我们从理论的层面上来深究.旋转液面的形状呈现出二次抛物线的形状.在盛水的玻璃杯放在水平面上，现使被绕其竖直中心轴匀速转动，试分析液体表面稳定后呈现的形状.

用前面分析的方法，在液体内部的转轴上M点（设其压强P0）任取一水平薄片液体片，设MN的横截面积为ΔS、长为L.由于它也随整个液体一起加速运动，其加速度应由该液体左右两侧的压力差决定.设N处液体压强为P，根据牛顿第二定律有 （P-P0）ΔS=ρ·L·ΔS·a，虽然液体片MN上各处加速度不同，但因各处的加速度a=ω2r，与各点到转轴的距离r成正比，因此可认为整个液体片MN的加速度等于MN中点处的加速度，即a=ω2L2，化简以上两式可解得N点的压强 P=ρω2L2+P0.由P=ρω2L2+P0可知液体内部同一水平线上不同位置的压强，与该位置到转轴OO′的距离L成二次函数关系.由于此压强同样等于该位置上方的液体重力所产生的压强，因此有ρω2L2+P0=ρgH，解得N点的深度H=ω2gL2+P0ρg.也就是说液体内同一水平线上各点的深度H，与该点到容器中心轴的距离L成二次函数关系，因此此时液面成抛物面形状.

结论：旋转液面的形状主要受到容器形状、转动速度等多方面的影响，在相当自由的状态下，旋转液面的截面呈现出抛物面的形状.各种不同的容器下，其实旋转液面还是遵循截面为抛物面的形状，只是因为容器形状的不同，从不同的角度看，所感受到形状不同，其本质的形状都是一样的.