基于非成像光学环带法的反射器设计

刘 希

(华南理工大学 广州学院 电气工程学院，广东 广州510800)

引言

二次光学设计是非成像光学[1]领域的一个重要环节，尤其体现在灯具设计和照明应用上。对光源进行二次光学设计(也称二次配光设计)的方法大致分为两种：试错法和直接法。

传统的光学自由曲面设计，是已知光学面型和光学特性后计算像面质量，或实测指定照明面上的光强分布，再经过反复优化得到所需要的光学面型，这种方法被称为试错法[2-3]。这种方法在很大程度上依赖于工程师的经验，耗时长，设计效率低。

直接法是一种能够直接根据光源特性和目标出光分布得到所需要光学面型的方法。它相对传统的试错法具有更高的设计效率，适用范围更广。目前直接法主要是通过数值分析方法求解微分方程组来构造光学自由曲面，微分方程组的建立和求解过程都比较复杂，由于求解步骤繁多带来的累进误差较大，因此一定制度上限制了微分方程组直接法的应用。

本文针对旋转对称反射器的设计，应用环带法的原理，避开微分方程组求解的复杂性，建立简单的二元一次方程组求解反射曲线，实现了对光源的精确二次配光[4]。此方法操作简单、实用、适用范围广而且效果明显。

1 前提假设

方法介绍之前须作以下两点前提假设：

1) 简化实际光源。

为了最大程度地向实际问题靠拢，又不增加设计工作的复杂性，有必要也有可能对实际光源进行简化，简化后的这种光源的配光分布与实际光源相同，不考虑体积大小，即从体积上为点光源。另外，本环带法适用的光源配光曲线必须为旋转对称型。

2) 获取目标配光曲线。

应用环带法计算所需要光学面型，必须已知光源特性和目标出光分布。这里的目标出光分布指由具有确定相对位置关系的光源和反射器组成的灯具光学组件(以下简称灯具光学组件)出射光的光强分布，也称配光曲线。

2 设计原理

将光源的对称轴线与反射器旋转对称轴(以下都称为光轴)重合放置组成灯具光学组件，由于光源自身的出光分布具有旋转对称性，于是灯具光学组件的出光分布也具有旋转对称性。灯具光学组件的出光分布由光源直接出射和光源光线经过反射器反射两部分光线叠加而成。应用环带法的思路，将光源的出光分布和灯具光学组件的出光分布分别按一定的角度间隔平均划分为不同的环带区间，根据两者不同环带区的光通量值差异进行一系列的对比分析，可以确定θ～α(θ)的对应关系，如图1所示，也即确定以θ角入射到反射器的光线应反射到多大的α角中去。

根据几何光学知识，θ～α(θ)的对应关系完全可由反射面入射点处的曲率和斜率来决定。具体到旋转对称反射器的设计，则可以简化为二维曲线的计算，反射曲线的一阶导数则对应曲线的斜率，这就意味着反射曲线的线形可以通过求解由斜率构成的二元一次方程组得到。

图1 反射器设计原理示意图Fig.1 Schematic diagram of reflector design principle

3 详细设计步骤

根据上述环带法的原理，应用环带法设计反射器的详细设计步骤分为以下3步。

1) 第一步，确定θ～α(θ)的对应关系。

如图1所示，以光源点为原点O，灯具光学组件光轴为x轴，从原点出发向反射器开口方向为x轴正方向，光源的光强分布为Is(θ)，θ表示从光源出射的光线与x轴的夹角；灯具光学组件的光强分布为Io(α)，α表示由灯具光学组件出射的光线与x轴的夹角。详细步骤如下：

φo(αi-1,αi)=Io(αi-1+Δα/2)·Ωi

(1)

式中：α0=0；Io(αi-1+Δα/2)表示第i环带内中值角度上的光强；Ωi表示第i环带的环带常数，也即αi-1～αi环带所对应的立体角。Ωi可用(2)式表示：

Ωi=2π·(cosαi-1-cosαi)

(2)

(2) 选择一个合适的灯具效率值η，于是所需光源的光通量为Φn=Φo/η。

查找选择具有旋转对称光强分布且光通量与Φn接近的实际光源型号，同时根据所选光源类型的光效可大概估算所需光源的功率P，最终确定光源的实际光通量Φs必须满足Φs>Φn。光源的光强分布可通过光源厂商提供的光源说明书或使用分布光度计实际测量得到，针对光源的光强分布Is(θ)，作步骤1)一样的处理，划分的角度间隔Δθ与Δα相等，得到光源各环带内的光通量φs(θi-1,θi)。

(3) 对比Is(θ)和Io(α)对应环带上的光通量，确定一个分界角度值θc。

光源从0～θc区域内直接出射的光线都是灯具光学组件所需有用的光线，这部分光线的光通量Φsd由此区域所包括的所有环带的光通量相加得到，而其余部分的光线必须通过反射器反射后再出射，这部分光线的光通量为Φs-Φsd。若反射器表面反射率为ρ，光学部件阻挡引起的光损为δ，实际能从反射器中反射出来的光通量为

Φsr=(Φs-Φsd)·ρ·(1-δ)

这样实际可利用的光源光通量为Φsu=Φsd+Φsr。必须确保光源的光通量有一定的设计余量，即要满足Φsu>Φo，这说明了采用此光源是可行的，否则须选择更高光通量的光源。

(3)

其中φsr(θi-1,θi)则由对应环带的φs(θi-1,θi)乘以ρ·(1-δ)得到。

(4) 将θc～θ(或θ～180°)范围内所包含的所有环带的光通量值φsr(θi-1,θi)进行求和得Φr(θ)，如下式：

Φr(θ)=∑φsr(θi-1,θi)

(4)

(5)

在确定θ～α(θ)关系时，须留意以下事项：同一个光源采用4种不同的反射器模式有可能得到相同的出光分布效果，如图2所示。设计者可根据具体的设计需求选择不同的反射器模式。

图2 4种不同反射器模式Fig.2 Four kinds of reflective patterns

2) 第二步，利用θ～α(θ)的关系和简单的解析几何知识列出二元一次方程组，求解方程组得出反射面母线线形。

详细的求解过程如下：

(1) 获得反射面母线在各环带与光轴夹角β。

由图2中可以看出，对于一组确定的θ～α(θ)关系，对应两种反射器模式，如图2(a)、图2(c)或图2(b)、图2(d)所示两种反射器。对于光源投向反射器的光线和反射回的光线，前者居反射轴线两侧，后者却居同侧，它们在尺寸大小上有很大的差别。

从图2(a)中，列出式(6)：

β+α+(180-θ-α)/2=90

(6)

从图2(c)中，列出式(7)：

β-α+(180-θ+α)/2=90

(7)

简化(6)式和(7)式，得(8)式：

(8)

图2(c)模式在实际应用时有可能无解，因此不能生成光滑的曲线，所以一般情况下选择图2(a)模式。

(2) 列二元一次方程组，求解方程组。

任一环带对应的反射面母线的折线斜率为tanβj，根据解析几何知识，任一环带间两点(xj-1,yj-1)和(xj,yj)的坐标可用方程组(9)表示：

(9)

其中(9)式上式表示反射面母线的第i段折线的直线方程，(9)式下式表示从光源发出的第j个间隔角度光线的直线方程。

解方程组(9)，得xj、yj：

(10)

设定反射面母线的边界起点为PO(xO、yO)，由第一步的设计过程可知xO、yO必须满足以下关系式：

yO/xO=tanθc

(11)

将(xO、yO)代入(10)式中的(xj-1、yj-1)，便得到反射面母线下一点的坐标(x1、y1)。其他各点坐标

均可依次求出，不同的是将x1、y1的值作为xO、yO来处理，βj与θj另取新值。重复上述过程就可得到组成所需要反射面母线的一系列坐标点。

说明一下，对θ和α的划分越密，计算越精确。其次，若从设定的xO、yO算出的xN、yN与原点位置过近以至无法安放光源或光源离反射面过分靠近的话，必须另选xO、yO重新计算，直到符合要求。

3) 第三步，构建模型，模拟仿真，计算设计吻合程度系数R。

把第二步计算得到的坐标数据导入3D结构设计软件(例如ProE)中生成反射面母线，将反射面母线绕对称轴旋转一周构成反射面进而构建反射器实体；将反射器实体文件再导入光学仿真软件(例如TracePro、Lightools)并添加构建光源模型，模拟仿真得出模拟配光曲线。

设计吻合程度系数R值越大，说明效果越优，设计与要求的吻合程度越高。R由(12)式定义：

R=1-S

(12)

其中S为标准差，用(13)式表示：

(13)

4 应用实例

已知针对朗伯型LED光源，设计一个具有图3所示配光曲线的反射器，出光角度全角为60°。

图3 需要得到的灯具配光曲线Fig.3 Target light distribution of luminaire

按照第3节所阐述的详细设计过程，一些关键参数的设定如下：

1) 选取Δα=5°进行环带划分，灯具光学组件出射的总光通量Φo=75.7 lm。

2) 设定灯具效率值η=80%，所需光源光通量Φn=75.5/0.8=94.6 lm，选取1 W的LED光源，其光通量Φs=100 lm，其光强分布选择理想朗伯型分布I=I0·cosθ，如图4所示。同样取Δθ=5°进行环带划分。

图4 光源的配光曲线Fig.4 Light distribution of lighting source

3) 通过对比Is(θ)和Io(α)对应环带上的光通量不难确定分界角度值θc=35°，从光源直接出射的光线的光通量Φsd=32.7 lm。设反射器表面反射率为ρ=85%，光损率δ=0，实际上从反射器中反射出来的光通量为Φsr=(100-32.7)×0.85×(1-0)=57.2 lm。实际可利用的光源光通量为Φsu=32.7+57.2=89.9 lm；Φsu>Φo，此光源可行。修正系数κ=89.9/75.7=1.19。

图5 θ～α关系曲线Fig.5 Relationship curve of θ～α

5) 取PO(36，25.2)，计算反射面母线坐标点，将其导入ProE，生成的反射器外观如图6(a)所示。用Lightools构建整个灯具光学组件的光学模型的光线追迹示意图如图6(b)所示，模拟输出配光曲线如图7所示。

图6 反射器外观图及其光线追迹示意图Fig.6 Appearance graph of reflector model and schematic diagram of ray tracing

图7 反射器模拟输出配光曲线Fig.7 Simulative output light distribution of reflector model

5 结果分析

将图3和图7画在同一个坐标系下，如图8所示。从图8可出看出，模拟输出的配光曲线与要求的配光曲线吻合得很好，两者的一致性程度很高。利用(12)式计算得到设计吻合系数为98.4%，很好地达到了设计要求。

图8 不同光源尺寸情况下的模拟配光曲线Fig.8 Comparison of light distribution curves of different light source sizes

应用实例中使用的光源都默认为简化后的点光源，在实际应用时一般光源都不可能是理想的点光源。图8中给出不同尺寸光源情况下(其他条件都与应用实例保持一致)的归一化模拟输出配光曲线，计算得到的R值列于表1。由表1可见，LED光源的出现，使环带法的优越性得到了充分发挥，因为LED光源相对于传统光源，在尺寸上可以做得非常小，都能较好地满足环带法的使用条件。目前常规LED光源的发光面一般都在2 mm～5 mm之间，由表1可知最差的情况下R值都能达95%以上。

表1 不同光源尺寸对应的R值Table 1 Values of R of different light source sizes

另外，LED光源相比传统光源，其出光角度范围大，为0≤θ≤90°，LED与反射器组合后LED自身基本不会造成挡光，这也是为什么在应用实例中可以取δ=0的原因。再者，即使针对较大尺寸的传统光源进行反射器设计时，合理的选择δ值，本文提到的环带法的设计思路和原理性分析都具有一定的借鉴意义。

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