基于能量法的定向井中造斜段下凹管柱屈曲临界载荷分析

张昌美，余 刚，李国亮，夏 辉

(1．中国石油西部钻探工程公司，新疆 克拉玛依834000;2．中国石油宝鸡石油机械有限责任公司，陕西宝鸡721002)

由于钻头与地层相互作用的特殊性，定向钻井过程中，造斜段经常会出现下凹的井眼。油管或钻杆传输射孔及试油、改造、完井投产作业时，需在上部管柱压力及下部管柱重力联合作用下才能使管柱通过下凹井眼。为了了解造斜段下凹井眼中受压管柱的屈曲性能，为管柱组合、释放悬重及管柱强度安全性分析提供依据，有必要进行造斜段下凹管柱屈曲临界载荷分析。

关于井下管柱受压屈曲，早期的研究多集中于钻柱方面。文［1］采用能量法分析了斜直井眼中钻柱的屈曲变形;文［2］用实验和有限元数值模拟相结合的方法，分析了定向井中钻柱的屈曲变形;文［3］忽略重力及井壁摩擦，采用有限差分和牛顿迭代法，分析了钻杆接头对水平井段钻柱屈曲临界力和弯曲应力的影响，提出了计算钻柱正弦屈曲临界力的新方法;文［4］建立并求解了水平井中钻柱的正弦屈曲方程，分析了不同载荷因子和长度因子时钻柱的稳定性;文［5］建立了水平井中压扭细长圆杆的线性弯曲微分方程和边界条件，用解析法得到无重细长圆杆压扭螺旋屈曲的解析解;文［6］以钻柱的侧向角位移为位置函数，用有限元法分析了直井和等曲率井中钻柱的正弦屈曲变形;文［7］综合考虑了钻柱重力、扭矩和井斜角对屈曲的影响，用有限元增量加权迭代法分析了钻柱屈曲的非线性特征值问题，建立了直井中钻柱屈曲控制微分方程和对应的泛函数;文［8］把每根钻柱视作一个单元，考虑井壁与钻杆接头处给水平钻柱的弹性支撑，用传递矩阵法分析了水平钻柱的稳定性;文［9］考虑单根钻柱长度的影响，建立钻柱受力屈曲方程，分析了水平井眼中钻柱所能承受的临界载荷;文［10］和文［11］分别采用能量法导出了斜直井与水平井中管柱正弦屈曲和螺旋屈曲临界载荷的计算公式;米歇尔(Mitchell R F)考虑接箍影响，采用三维梁柱的螺旋屈曲模型，分别对水平井眼和等曲率井眼中管柱的后屈曲特性进行了研究［12-13］。

随着定向井技术的推广运用，定向井中管柱稳定性的精确分析越发重要。然而，纵观现有文献资料，关于造斜段下凹井眼中管柱屈曲临界载荷的分析未见报道。为此，本文运用最小势能原理导出定向井造斜段下凹管柱屈曲载荷计算公式，以常见管柱参数为例，分析了管柱尺寸、井斜角、井眼曲率半径、径向间隙等因素对屈曲临界载荷的影响，从中可以看出定向井造斜段下凹管柱屈曲性能及与竖直井、水平井中管柱屈曲性能的区别。

1 定向井中造斜段下凹屈曲管柱力学模型建立

定向井造斜段井眼轨迹呈下凹弯曲状，在井眼约束与重力作用下管柱会出现初始下凹弯曲，并且管柱的初始曲率就是井眼的曲率。假设井眼轨迹在铅垂平面内假设井壁是刚性的，在自重作用及细长管柱柔性作用下，管柱紧贴下井壁。作为一种特殊的压杆，由于细长管柱的柔性，当轴向压力超过一定值后，管柱将发生侧向位移，甚至失稳弯曲［14］。

基于上述分析，定向井造斜段下凹弯曲井眼中管柱微元体的受力如图1所示，其中，F为造斜段管柱所受的轴向力，We为单位长度的管柱在井眼中的浮重，FN为井壁对管柱的接触力。XYZ是整体坐标系，UVW为局部坐标系。局部坐标系的原点随着井眼轴向移动，U的方向始终在竖直平面内并与井眼轴线相切，方向V始终位于竖直面内并与井眼轴向垂直，方向W垂直于图示平面向外。

图1 造斜段下凹弯曲管柱受力示意图Fig．1 Force diagram of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well

假设管柱在轴向压力F作用下发生弯曲失稳，管柱轴线的位移分别为

式中:V(s)为管柱在V方向上的位移，m;W(s)为管柱在W方向上的位移，m;δ为管柱截面形心与井眼形心的径向距离，m;θ为管柱屈曲后形心相对下井壁偏离的角度，rad;K为造斜段井眼曲率，K=1/R，R为造斜段井眼曲率半径，m。

2 定向井造斜段下凹管柱屈曲微分方程建立

管柱弯曲应变能为

式中:EI为管柱的抗弯刚度，N·m2;L为造斜段管柱总长度，m。

管柱自重所做的功为

式中:qe为管柱单位长度的浮重，N/m;α为井眼平均井斜角，rad。

作用在管柱上的轴向力所做的功为

管柱系统的外力势能为

管柱系统的总势能为

3 定向井造斜段下凹管柱屈曲临界载荷的求解

假设造斜段管柱两端为铰支，管柱屈曲后形成整数n个半波，则可令

由式(8)可见，造斜段管柱屈曲临界载荷Fcrs与管柱屈曲时的波形数有关。当n达到某一值时，Fcrs的值最小(即为管柱的屈曲临界载荷)。为了得到使Fcrs为最小值时的n值，将Fcrs看成是n的连续函数，即n的定义域扩展为正实数。根据最小势能原理，∂Fcrs/dn=0，可得

根据n的定义，n应取正整数，故应取与计算出的n值相邻的2个整数，将这2个整数带入式(8)，其中较小的Fcrs为该管柱的屈曲临界载荷。当管柱较长时，可直接将n的计算值带入式(8)中。将式(9)代入式(8)中化简得定向井造斜段下凹管柱屈曲临界载荷

4 不同因素对定向井造斜段下凹管柱屈曲临界载荷的影响分析

由式(10)可见，井眼曲率半径、平均井斜角、管柱与井眼径向间隙等因素均对屈曲临界载荷有影响。以下以常见管柱参数为例，编制相应的MATLAB程序，分析了各因素对定向井中造斜段下凹管柱屈曲临界载荷的影响。

4．1 井眼曲率半径对管柱屈曲临界载荷的影响

设造斜段平均井斜角为30°，设(3+1/2)″API油管下入(5+1/2)″×9．17 mm 的井眼中，则油套管径向间隙为 16．23 mm。取 77．92 mm、76．00 mm、74．22 mm、69．86 mm、67．06 mm、64．72 mm、61．98 mm等7个不同内径(壁厚)的油管进行分析，得到造斜段下凹管柱初始屈曲正弦波数随井眼曲率半径的变化如表1所示，曲率半径对管柱的屈曲临界载荷的影响如图2所示。

表1 造斜段下凹管柱初始屈曲正弦波数随井眼曲率半径变化表Tab．1 Varying of initial buckling sine wave number of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well with borehole curvature radius

图2 造斜段下凹管柱屈曲临界载荷与井眼曲率半径的关系Fig．2 Relationship between buckling critical load of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well and borehole curvature radius

由表1可见，定向井造斜段管柱初始屈曲波数受井眼曲率半径影响，且井眼曲率半径越大，管柱初始屈曲波数越多。由图2可以看出，定向井造斜段管柱屈曲临界载荷随井眼曲率半径的增大呈指数递减趋势;管柱壁厚的增加会提高管柱抵抗屈曲变形的能力，但这种影响会随井眼曲率半径的增大而逐渐减小。

4．2 平均井斜角对管柱屈曲临界载荷的影响

设造斜段曲率半径为500 m，井眼轨迹的平均井斜角分别为 10°、15°、20°、25°、30°、35°、40°、45°，则造斜段下凹管柱初始屈曲正弦波数随井眼轨迹平均井斜角的变化如表2所示，平均井斜角对管柱的屈曲临界载荷的影响如图3所示。

由表2可见，定向井造斜段管柱初始屈曲波数受平均井斜角的影响，且平均井斜角越大，管柱初始屈曲波数越多。由图3可以看出，定向井造斜段管柱屈曲临界载荷随平均井斜角的增大缓慢线性递增;定向井造斜段管柱壁厚的增加会提高管柱抵抗屈曲变形的能力;管柱壁厚对定向井造斜段管柱屈曲临界载荷的影响不随造斜段平均井斜角的变化而变化。

表2 造斜段下凹管柱初始屈曲正弦波数随井眼轨迹平均井斜角变化表Tab．2 Varying of initial buckling sine wave number of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well with average deviation angle of borehole trajectory

图3 造斜段下凹管柱屈曲临界载荷与井眼平均井斜角的关系Fig．3 Relationship between buckling critical load of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well and average deviation angle of borehole trajectory

4．3 油套径向间隙对管柱屈曲临界载荷的影响

取造斜段井眼的曲率半径为500 m，套管内径分别为 124．12 mm、121．08 mm、115．44 mm、107．98 mm、101．62 mm、95．28 mm，平均井斜角为30°，则油套管径向间隙对管柱的屈曲临界载荷的影响如图4所示。

由图4可以看出，定向井造斜段管柱屈曲临界载荷随套管内径增大，即油套管径向间隙增大呈指数递减趋势;定向井造斜段管柱壁厚增加会提高管柱抵抗屈曲变形的能力，但该影响随径向间隙的增大而逐渐减小。

5 结论与认识

(1)定向井造斜段下凹弯曲管柱的屈曲临界载荷比直井中的大，即相同轴向压力作用下，造斜段下凹井眼中管柱不易弯曲。

图4 造斜段下凹管柱屈曲临界载荷与套管内径的关系Fig．4 Relationship between buckling critical load of concave curved pipe string in the deflecting section of a directional well and inner diameter of casing

(2)定向井造斜段管柱初始屈曲波数与井眼曲率半径、平均井斜角有关，井眼曲率半径、平均井斜角越大，管柱初始屈曲波数越多。

(3)井眼曲率半径、平均井斜角、油套管径向间隙是影响定向井造斜段下凹管柱屈曲临界载荷的主要因素。定向井造斜段管柱屈曲临界载荷随井眼曲率半径的增大而指数递减;随平均井斜角的增大而指数递增;随油套管径向间隙的增大而指数递减。

(4)定向井造斜段管柱壁厚的增加会提高管柱抵抗屈曲变形的能力，但这种影响会随井眼曲率半径、油套管径向间隙的增大而减小。

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