多角度解决高考题中平面向量问题

胡小平

教师上课前，都要求写备课计划，上课时按计划进行教学.进行公开课教学评价时也将教学计划是否完成做为评价标准之一.但课堂教学计划一定要当堂完成吗？今天的一节复习课让我明白了课堂教学计划应该围绕学生的思维活动进行相应的调整，只要是有利于学生提高学习能力的课堂，即使教学计划受到影响，同样也是一节成功的课.

2013年10月18日下午第一节课，我在高三（1）班复习平面向量基本定理，课堂的前半部分一切按计划正常地进行着，顺利地完成了平面向量基本定理的复习和两道例题的讲评，而第三题抛出之后，情况发生了很大的变化，在让学生独立思考之后，提问学生的解题方法时，大大出乎我的意料，教学计划中我只准备了两种常见的解题方法，而学生你一言我一语争相发言，一道四年前普普通通的高考题顿时变得生动起来.

题目 （2009年安徽理14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB其中x，y∈R，则x+y的最大值是.

解析 设∠AOC=α，

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，

OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，

cos（120°-α）=-12x+y.

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

这是高考参考答案，为了让学生能有自已的想法，我并没有在给出题目之后直接讲解，而是让学生自已独立思考并解答，再提问学生，结合学生的方法进行讲解.发现除参考答案以外还有很多巧妙的方法，总结如下.

方法一：吴丽君同学作法

如图，做CE∥OA，CD∥OB交OA延长线于D.在△OCD中，设∠AOC=θ，由正弦定理可知： ODsin∠OCD=DCsinθ=COsin60°.

所以x+y=OD+DC=sin（θ+60°）sin60°+sinθsin60°=2sin（θ+30°），0°<θ<120°，当θ=60°时，（x+y）max=2.

方法二：黄雨婷同学作法

以O点为坐标原点，设∠AOC=θ，所以A（1，0），B（-12，32），C（cosθ，sinθ）

.因为OC=xOA+yOB，所以

x-12y=cosθ，

32y=sinθ （1）

（2）

x=cosθ+33sinθ，

y=233sinθ.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sin（θ+

π6），0<θ<2π3.

当θ=π6时，（x+y）max=2.

注：（1）（2）式平方相加可以得到方法三的（3）式，再用不等式

求x+y的最大值.

方法三：郑悦同学作法

将OC=xOA+yOB两边同时平方得：

|OC|2=x2|OA|2+y2|OB|+2xyOA·OB，化简得：

1=x2+y2-xy，（3）

（x+y）2-1=3xy.

因为xy≤x+y2，所以3xy≤3（x+y）24，所以（x+y）2-1≤3（x+y）24，故（x+y）2≤4，（x+y）max =2.

方法四：章新颖同学作法

连接AB， OC相交于E点，设OE=aOA+bOB，因为A ， B ， E 三点共线，所以有a+b=1.

OC=tOE=t（aOA+bOB）=taOA+tbOB，

所以x+y=ta+tb=t（a+b）=t.

故当t取最大值时，x+y取最大.又因为t=|OC||OE|=1|OE|，所以当|OE|取最小时，t取最大值.

即OE⊥AB时|OE|取最小，此时，∠AOE=12∠AOB=60°，OE=OAcos60°=12，所以tmax=1|OE|min，即（x+y）max=2.

方法五：李奇同学作法

过C作OB的平行线交OA于D，所以DO=x，DC=y，∠ODC=60°，OC=1，由余弦定理可得：cos60°=x2+y2-12xy=12，化简得：（x+y）2-1=3xy.（以下同方法三，略）

综上可见：学生在独立思考后所展现的力量非常大，先后运用了正弦定理、余弦定理、平面向量的坐标运算、三点共线性质、点到直线最短距离、不等式等知识点，从多个角度很好地解决了这道高考填空题.当然，本节课我的教学计划没有得以完成，但尊重学生的思维活动，让学生畅所欲言，使全体同学所获得的知识更多更全面.这是一节没有完成教学计划但却超额完成计划的复习课.

教师上课前，都要求写备课计划，上课时按计划进行教学.进行公开课教学评价时也将教学计划是否完成做为评价标准之一.但课堂教学计划一定要当堂完成吗？今天的一节复习课让我明白了课堂教学计划应该围绕学生的思维活动进行相应的调整，只要是有利于学生提高学习能力的课堂，即使教学计划受到影响，同样也是一节成功的课.

2013年10月18日下午第一节课，我在高三（1）班复习平面向量基本定理，课堂的前半部分一切按计划正常地进行着，顺利地完成了平面向量基本定理的复习和两道例题的讲评，而第三题抛出之后，情况发生了很大的变化，在让学生独立思考之后，提问学生的解题方法时，大大出乎我的意料，教学计划中我只准备了两种常见的解题方法，而学生你一言我一语争相发言，一道四年前普普通通的高考题顿时变得生动起来.

题目 （2009年安徽理14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB其中x，y∈R，则x+y的最大值是.

解析 设∠AOC=α，

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，

OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，

cos（120°-α）=-12x+y.

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

这是高考参考答案，为了让学生能有自已的想法，我并没有在给出题目之后直接讲解，而是让学生自已独立思考并解答，再提问学生，结合学生的方法进行讲解.发现除参考答案以外还有很多巧妙的方法，总结如下.

方法一：吴丽君同学作法

如图，做CE∥OA，CD∥OB交OA延长线于D.在△OCD中，设∠AOC=θ，由正弦定理可知： ODsin∠OCD=DCsinθ=COsin60°.

所以x+y=OD+DC=sin（θ+60°）sin60°+sinθsin60°=2sin（θ+30°），0°<θ<120°，当θ=60°时，（x+y）max=2.

方法二：黄雨婷同学作法

以O点为坐标原点，设∠AOC=θ，所以A（1，0），B（-12，32），C（cosθ，sinθ）

.因为OC=xOA+yOB，所以

x-12y=cosθ，

32y=sinθ （1）

（2）

x=cosθ+33sinθ，

y=233sinθ.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sin（θ+

π6），0<θ<2π3.

当θ=π6时，（x+y）max=2.

注：（1）（2）式平方相加可以得到方法三的（3）式，再用不等式

求x+y的最大值.

方法三：郑悦同学作法

将OC=xOA+yOB两边同时平方得：

|OC|2=x2|OA|2+y2|OB|+2xyOA·OB，化简得：

1=x2+y2-xy，（3）

（x+y）2-1=3xy.

因为xy≤x+y2，所以3xy≤3（x+y）24，所以（x+y）2-1≤3（x+y）24，故（x+y）2≤4，（x+y）max =2.

方法四：章新颖同学作法

连接AB， OC相交于E点，设OE=aOA+bOB，因为A ， B ， E 三点共线，所以有a+b=1.

OC=tOE=t（aOA+bOB）=taOA+tbOB，

所以x+y=ta+tb=t（a+b）=t.

故当t取最大值时，x+y取最大.又因为t=|OC||OE|=1|OE|，所以当|OE|取最小时，t取最大值.

即OE⊥AB时|OE|取最小，此时，∠AOE=12∠AOB=60°，OE=OAcos60°=12，所以tmax=1|OE|min，即（x+y）max=2.

方法五：李奇同学作法

过C作OB的平行线交OA于D，所以DO=x，DC=y，∠ODC=60°，OC=1，由余弦定理可得：cos60°=x2+y2-12xy=12，化简得：（x+y）2-1=3xy.（以下同方法三，略）

综上可见：学生在独立思考后所展现的力量非常大，先后运用了正弦定理、余弦定理、平面向量的坐标运算、三点共线性质、点到直线最短距离、不等式等知识点，从多个角度很好地解决了这道高考填空题.当然，本节课我的教学计划没有得以完成，但尊重学生的思维活动，让学生畅所欲言，使全体同学所获得的知识更多更全面.这是一节没有完成教学计划但却超额完成计划的复习课.

教师上课前，都要求写备课计划，上课时按计划进行教学.进行公开课教学评价时也将教学计划是否完成做为评价标准之一.但课堂教学计划一定要当堂完成吗？今天的一节复习课让我明白了课堂教学计划应该围绕学生的思维活动进行相应的调整，只要是有利于学生提高学习能力的课堂，即使教学计划受到影响，同样也是一节成功的课.

2013年10月18日下午第一节课，我在高三（1）班复习平面向量基本定理，课堂的前半部分一切按计划正常地进行着，顺利地完成了平面向量基本定理的复习和两道例题的讲评，而第三题抛出之后，情况发生了很大的变化，在让学生独立思考之后，提问学生的解题方法时，大大出乎我的意料，教学计划中我只准备了两种常见的解题方法，而学生你一言我一语争相发言，一道四年前普普通通的高考题顿时变得生动起来.

题目 （2009年安徽理14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB其中x，y∈R，则x+y的最大值是.

解析 设∠AOC=α，

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，

OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，

cos（120°-α）=-12x+y.

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

这是高考参考答案，为了让学生能有自已的想法，我并没有在给出题目之后直接讲解，而是让学生自已独立思考并解答，再提问学生，结合学生的方法进行讲解.发现除参考答案以外还有很多巧妙的方法，总结如下.

方法一：吴丽君同学作法

如图，做CE∥OA，CD∥OB交OA延长线于D.在△OCD中，设∠AOC=θ，由正弦定理可知： ODsin∠OCD=DCsinθ=COsin60°.

所以x+y=OD+DC=sin（θ+60°）sin60°+sinθsin60°=2sin（θ+30°），0°<θ<120°，当θ=60°时，（x+y）max=2.

方法二：黄雨婷同学作法

以O点为坐标原点，设∠AOC=θ，所以A（1，0），B（-12，32），C（cosθ，sinθ）

.因为OC=xOA+yOB，所以

x-12y=cosθ，

32y=sinθ （1）

（2）

x=cosθ+33sinθ，

y=233sinθ.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sin（θ+

π6），0<θ<2π3.

当θ=π6时，（x+y）max=2.

注：（1）（2）式平方相加可以得到方法三的（3）式，再用不等式

求x+y的最大值.

方法三：郑悦同学作法

将OC=xOA+yOB两边同时平方得：

|OC|2=x2|OA|2+y2|OB|+2xyOA·OB，化简得：

1=x2+y2-xy，（3）

（x+y）2-1=3xy.

因为xy≤x+y2，所以3xy≤3（x+y）24，所以（x+y）2-1≤3（x+y）24，故（x+y）2≤4，（x+y）max =2.

方法四：章新颖同学作法

连接AB， OC相交于E点，设OE=aOA+bOB，因为A ， B ， E 三点共线，所以有a+b=1.

OC=tOE=t（aOA+bOB）=taOA+tbOB，

所以x+y=ta+tb=t（a+b）=t.

故当t取最大值时，x+y取最大.又因为t=|OC||OE|=1|OE|，所以当|OE|取最小时，t取最大值.

即OE⊥AB时|OE|取最小，此时，∠AOE=12∠AOB=60°，OE=OAcos60°=12，所以tmax=1|OE|min，即（x+y）max=2.

方法五：李奇同学作法

过C作OB的平行线交OA于D，所以DO=x，DC=y，∠ODC=60°，OC=1，由余弦定理可得：cos60°=x2+y2-12xy=12，化简得：（x+y）2-1=3xy.（以下同方法三，略）

综上可见：学生在独立思考后所展现的力量非常大，先后运用了正弦定理、余弦定理、平面向量的坐标运算、三点共线性质、点到直线最短距离、不等式等知识点，从多个角度很好地解决了这道高考填空题.当然，本节课我的教学计划没有得以完成，但尊重学生的思维活动，让学生畅所欲言，使全体同学所获得的知识更多更全面.这是一节没有完成教学计划但却超额完成计划的复习课.