电磁感应中几类“形似神非”的问题

刘子玉+李兴

电磁感应是高中物理中的重要内容，也是高考物理中的重点和难点.笔者在教学实践中发现，电磁感应中经常会出现一些“形似神非”的问题，学生对于这样的问题容易发生混淆，感到束手无策，久而久之就会在物理学习上产生畏惧心理.现对这类问题举例加以说明.

例 如图1中的甲、乙、丙图所示，图中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动.乙图中电容器原来不带电，设导体棒、导轨、和直流电源的电阻均可忽略不计，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均置于水平面内且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长，现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情况下，导体棒ab最终的运动状态是：

A.三种情形下，导体棒ab都做匀速运动

B.乙丙中，ab棒最终以不同速度做匀速运动，甲中棒最终静止

c.乙丙中，ab棒最终以不同速率做匀速运动，甲中棒最终静止

D.丙图中，ab棒最终的速率可能大于v0

解析 甲乙丙三图貌似相同，其实不然，它们经历的物理过程、适用的物理规律、最终的运动状态都不尽相同.

甲图中的情形最为简单.在电磁感应现象中，由于安培力的存在总要阻碍导体间的相对运动，故ab棒做加速度越来越小的减速运动，最终静止， 棒的动能最终全部转化为电阻 上的电热，在数值上还等于棒克服安培力所做的功.

写成表达式为：QR=

12mv20.

乙图中，由于最初电容器不带电，ab棒在最初的一段时间内给电容器充电，只要棒ab的瞬时感应电动势大于电容器两极板间的电压，电路中就存在充电电流，但是充电电流的数值逐渐减小，表达式为i=BLv-uCR，当uc0=BLv1时，i=0，充电完毕，此时棒不再受安培力，棒以速度v1（v1

丙图中，在ab棒向右运动过程中，由右手定则知棒中的感应电动势方向由b指向a，与电源E

的电动势彼此加强，电路中的总电流i=E+BLvR，在向左的变力安培力F=iLB的作用下，棒做加速度越来越小的减速运动；棒减速到零的瞬间，由于电源的作用，电路中仍然有电流，导体棒仍然要受到向左的安培力，故导体棒开始向左做变加速运动，由于i′=E-BLvR，所以加速度仍然越来越小.当BLv0′=E时，电路中的电流减小为零，安培力消失，ab棒最后以速度v0′向左匀速运动.棒最终的速度v0′与初速度v0的大小关系取决于E和BLv0的大小关系.若E>BLv0，则v0′>v0′；若E=BLv0，则v0′=v0；若E

综上所述，甲图中，棒最终静止；乙图中，棒最终仍向右匀速运动，只是速率变小；丙图中，棒最终要反向，即向左匀速运动，速率可能变大、不变或者变小.故答案选B、D.

有兴趣的读者可以将丙图中的电动势反向接入电路，再进行相应的分析.

（参考答案：当E=BLv0时，棒一直以速度v0向右匀速运动；当EBLv0时，棒向右加速至EBL时匀速运动.）

例2 水平面内有一竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B.

⑴如图2所示，一边长为 的正方形金属线框水平放置，并正以速度v匀速向右运动，当导体框刚好有一半处于磁场中时，试求F、H两点间的电势差.

⑵若完全相同的导体框仍垂直于磁场放置，且刚好有一半的导体框处于磁场中，如图3所示，若磁场的磁感应强度正以ΔBΔt=K （K为定值）均匀增强，导体框各边的电阻均为r.试求这种情况下F、H两点间的电势差.

解析 根据电磁感应的相关知识可以知道，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两类.它们产生的机理不相同.当导体在磁场中做切割磁感线运动时，导体中大量自由电荷也随导体一起定向移动，微观上要受到洛伦兹力的作用，从而使这些自由电荷相对于导体要向导体的某一端聚集，导体的另外一端显示出相反的电性，这样在导体的两端就会出现电势差，这就是动生电动势的由来.感生电动势的产生原因是因为变化的磁场会在周围的空间里产生电场，这种电场被称为涡旋电场，在涡旋电场的作用下会使导体中的自由电荷发生定向移动，从而在导体中产生感应电流或使导体的不同部分之间存在电势差.从能量转化的角度来看，动生电动势是导体棒克服安培力做功将自身的动能或其他形式的能量转化为电能的过程；感生电动势是将磁场中隐藏的磁场能向电场能转化的过程.

⑴图2所示为动生电动势情形

AE边相当于等效电源，感应电动势大小为E1=BLv，回路中的总电流I1=BLv4r，另外AC、CD、DE相当于外电路，R外=3r，故FH间的电压U1=I1·rRCDH=BLv4r×2r=12BLv.

⑵图3所示为感生电动势情形

根据法拉第电磁感应定律，闭合电路感应电动势与穿过这一电路磁通量的变化率成正比.而且整个回路都产生感应电动势，且不可把回路分成内外电路，也不可错误的认为只有处在磁场中的那部分导体才是电源、处在磁场之外的那部分就是外电路.这是因为变化的磁场产生的涡旋电场并不仅仅存在于有界的那部分磁场之中，没有磁场的地方仍然有涡旋电场，涡旋电场会对整个回路中的电荷都做功.但是在 公式中的E=nΔΦΔt=nsΔBΔt应该用回路在磁场中的那部分有效面积，因为磁通量的变化只存在于这部分面积上，公式中的E为整个回路的电动势，包括磁场内外两部分电动势之和.简而言之，回路中的各个部分都可以当成含源电路来处理.

根据上面的分析可知，回路的总电动势

E2=ΔBΔt·s有效=12KL2.

如图所示，图4和图5的闭合回路的感应电动势完全相同，即图FCDH中的部分的感应电动势与图FH中的部分完全相同.由于图4中的FH部分电阻为总电阻的13，涡旋电场对这部分上的电荷做功数值也为整个回路的13，故FH部分感应电动势大小E3=13E2=16KL2.

故FCDH部分产生的感应电动势大小E4=E3=16KL2.

图3回路中的总电流I2=E24r=KL28r.

FCDH部分的等效电路如图5所示：

UHF=U2r-E4=I2×2r-E4=14KL2-16KL2=112KL2.

电磁感应是高中物理中的重要内容，也是高考物理中的重点和难点.笔者在教学实践中发现，电磁感应中经常会出现一些“形似神非”的问题，学生对于这样的问题容易发生混淆，感到束手无策，久而久之就会在物理学习上产生畏惧心理.现对这类问题举例加以说明.

例 如图1中的甲、乙、丙图所示，图中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动.乙图中电容器原来不带电，设导体棒、导轨、和直流电源的电阻均可忽略不计，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均置于水平面内且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长，现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情况下，导体棒ab最终的运动状态是：

A.三种情形下，导体棒ab都做匀速运动

B.乙丙中，ab棒最终以不同速度做匀速运动，甲中棒最终静止

c.乙丙中，ab棒最终以不同速率做匀速运动，甲中棒最终静止

D.丙图中，ab棒最终的速率可能大于v0

解析 甲乙丙三图貌似相同，其实不然，它们经历的物理过程、适用的物理规律、最终的运动状态都不尽相同.

甲图中的情形最为简单.在电磁感应现象中，由于安培力的存在总要阻碍导体间的相对运动，故ab棒做加速度越来越小的减速运动，最终静止， 棒的动能最终全部转化为电阻 上的电热，在数值上还等于棒克服安培力所做的功.

写成表达式为：QR=

12mv20.

乙图中，由于最初电容器不带电，ab棒在最初的一段时间内给电容器充电，只要棒ab的瞬时感应电动势大于电容器两极板间的电压，电路中就存在充电电流，但是充电电流的数值逐渐减小，表达式为i=BLv-uCR，当uc0=BLv1时，i=0，充电完毕，此时棒不再受安培力，棒以速度v1（v1

丙图中，在ab棒向右运动过程中，由右手定则知棒中的感应电动势方向由b指向a，与电源E

的电动势彼此加强，电路中的总电流i=E+BLvR，在向左的变力安培力F=iLB的作用下，棒做加速度越来越小的减速运动；棒减速到零的瞬间，由于电源的作用，电路中仍然有电流，导体棒仍然要受到向左的安培力，故导体棒开始向左做变加速运动，由于i′=E-BLvR，所以加速度仍然越来越小.当BLv0′=E时，电路中的电流减小为零，安培力消失，ab棒最后以速度v0′向左匀速运动.棒最终的速度v0′与初速度v0的大小关系取决于E和BLv0的大小关系.若E>BLv0，则v0′>v0′；若E=BLv0，则v0′=v0；若E

综上所述，甲图中，棒最终静止；乙图中，棒最终仍向右匀速运动，只是速率变小；丙图中，棒最终要反向，即向左匀速运动，速率可能变大、不变或者变小.故答案选B、D.

有兴趣的读者可以将丙图中的电动势反向接入电路，再进行相应的分析.

（参考答案：当E=BLv0时，棒一直以速度v0向右匀速运动；当EBLv0时，棒向右加速至EBL时匀速运动.）

例2 水平面内有一竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B.

⑴如图2所示，一边长为 的正方形金属线框水平放置，并正以速度v匀速向右运动，当导体框刚好有一半处于磁场中时，试求F、H两点间的电势差.

⑵若完全相同的导体框仍垂直于磁场放置，且刚好有一半的导体框处于磁场中，如图3所示，若磁场的磁感应强度正以ΔBΔt=K （K为定值）均匀增强，导体框各边的电阻均为r.试求这种情况下F、H两点间的电势差.

解析 根据电磁感应的相关知识可以知道，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两类.它们产生的机理不相同.当导体在磁场中做切割磁感线运动时，导体中大量自由电荷也随导体一起定向移动，微观上要受到洛伦兹力的作用，从而使这些自由电荷相对于导体要向导体的某一端聚集，导体的另外一端显示出相反的电性，这样在导体的两端就会出现电势差，这就是动生电动势的由来.感生电动势的产生原因是因为变化的磁场会在周围的空间里产生电场，这种电场被称为涡旋电场，在涡旋电场的作用下会使导体中的自由电荷发生定向移动，从而在导体中产生感应电流或使导体的不同部分之间存在电势差.从能量转化的角度来看，动生电动势是导体棒克服安培力做功将自身的动能或其他形式的能量转化为电能的过程；感生电动势是将磁场中隐藏的磁场能向电场能转化的过程.

⑴图2所示为动生电动势情形

AE边相当于等效电源，感应电动势大小为E1=BLv，回路中的总电流I1=BLv4r，另外AC、CD、DE相当于外电路，R外=3r，故FH间的电压U1=I1·rRCDH=BLv4r×2r=12BLv.

⑵图3所示为感生电动势情形

根据法拉第电磁感应定律，闭合电路感应电动势与穿过这一电路磁通量的变化率成正比.而且整个回路都产生感应电动势，且不可把回路分成内外电路，也不可错误的认为只有处在磁场中的那部分导体才是电源、处在磁场之外的那部分就是外电路.这是因为变化的磁场产生的涡旋电场并不仅仅存在于有界的那部分磁场之中，没有磁场的地方仍然有涡旋电场，涡旋电场会对整个回路中的电荷都做功.但是在 公式中的E=nΔΦΔt=nsΔBΔt应该用回路在磁场中的那部分有效面积，因为磁通量的变化只存在于这部分面积上，公式中的E为整个回路的电动势，包括磁场内外两部分电动势之和.简而言之，回路中的各个部分都可以当成含源电路来处理.

根据上面的分析可知，回路的总电动势

E2=ΔBΔt·s有效=12KL2.

如图所示，图4和图5的闭合回路的感应电动势完全相同，即图FCDH中的部分的感应电动势与图FH中的部分完全相同.由于图4中的FH部分电阻为总电阻的13，涡旋电场对这部分上的电荷做功数值也为整个回路的13，故FH部分感应电动势大小E3=13E2=16KL2.

故FCDH部分产生的感应电动势大小E4=E3=16KL2.

图3回路中的总电流I2=E24r=KL28r.

FCDH部分的等效电路如图5所示：

UHF=U2r-E4=I2×2r-E4=14KL2-16KL2=112KL2.

电磁感应是高中物理中的重要内容，也是高考物理中的重点和难点.笔者在教学实践中发现，电磁感应中经常会出现一些“形似神非”的问题，学生对于这样的问题容易发生混淆，感到束手无策，久而久之就会在物理学习上产生畏惧心理.现对这类问题举例加以说明.

例 如图1中的甲、乙、丙图所示，图中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动.乙图中电容器原来不带电，设导体棒、导轨、和直流电源的电阻均可忽略不计，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均置于水平面内且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长，现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情况下，导体棒ab最终的运动状态是：

A.三种情形下，导体棒ab都做匀速运动

B.乙丙中，ab棒最终以不同速度做匀速运动，甲中棒最终静止

c.乙丙中，ab棒最终以不同速率做匀速运动，甲中棒最终静止

D.丙图中，ab棒最终的速率可能大于v0

解析 甲乙丙三图貌似相同，其实不然，它们经历的物理过程、适用的物理规律、最终的运动状态都不尽相同.

甲图中的情形最为简单.在电磁感应现象中，由于安培力的存在总要阻碍导体间的相对运动，故ab棒做加速度越来越小的减速运动，最终静止， 棒的动能最终全部转化为电阻 上的电热，在数值上还等于棒克服安培力所做的功.

写成表达式为：QR=

12mv20.

乙图中，由于最初电容器不带电，ab棒在最初的一段时间内给电容器充电，只要棒ab的瞬时感应电动势大于电容器两极板间的电压，电路中就存在充电电流，但是充电电流的数值逐渐减小，表达式为i=BLv-uCR，当uc0=BLv1时，i=0，充电完毕，此时棒不再受安培力，棒以速度v1（v1

丙图中，在ab棒向右运动过程中，由右手定则知棒中的感应电动势方向由b指向a，与电源E

的电动势彼此加强，电路中的总电流i=E+BLvR，在向左的变力安培力F=iLB的作用下，棒做加速度越来越小的减速运动；棒减速到零的瞬间，由于电源的作用，电路中仍然有电流，导体棒仍然要受到向左的安培力，故导体棒开始向左做变加速运动，由于i′=E-BLvR，所以加速度仍然越来越小.当BLv0′=E时，电路中的电流减小为零，安培力消失，ab棒最后以速度v0′向左匀速运动.棒最终的速度v0′与初速度v0的大小关系取决于E和BLv0的大小关系.若E>BLv0，则v0′>v0′；若E=BLv0，则v0′=v0；若E

综上所述，甲图中，棒最终静止；乙图中，棒最终仍向右匀速运动，只是速率变小；丙图中，棒最终要反向，即向左匀速运动，速率可能变大、不变或者变小.故答案选B、D.

有兴趣的读者可以将丙图中的电动势反向接入电路，再进行相应的分析.

（参考答案：当E=BLv0时，棒一直以速度v0向右匀速运动；当EBLv0时，棒向右加速至EBL时匀速运动.）

例2 水平面内有一竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B.

⑴如图2所示，一边长为 的正方形金属线框水平放置，并正以速度v匀速向右运动，当导体框刚好有一半处于磁场中时，试求F、H两点间的电势差.

⑵若完全相同的导体框仍垂直于磁场放置，且刚好有一半的导体框处于磁场中，如图3所示，若磁场的磁感应强度正以ΔBΔt=K （K为定值）均匀增强，导体框各边的电阻均为r.试求这种情况下F、H两点间的电势差.

解析 根据电磁感应的相关知识可以知道，感应电动势分为动生电动势和感生电动势两类.它们产生的机理不相同.当导体在磁场中做切割磁感线运动时，导体中大量自由电荷也随导体一起定向移动，微观上要受到洛伦兹力的作用，从而使这些自由电荷相对于导体要向导体的某一端聚集，导体的另外一端显示出相反的电性，这样在导体的两端就会出现电势差，这就是动生电动势的由来.感生电动势的产生原因是因为变化的磁场会在周围的空间里产生电场，这种电场被称为涡旋电场，在涡旋电场的作用下会使导体中的自由电荷发生定向移动，从而在导体中产生感应电流或使导体的不同部分之间存在电势差.从能量转化的角度来看，动生电动势是导体棒克服安培力做功将自身的动能或其他形式的能量转化为电能的过程；感生电动势是将磁场中隐藏的磁场能向电场能转化的过程.

⑴图2所示为动生电动势情形

AE边相当于等效电源，感应电动势大小为E1=BLv，回路中的总电流I1=BLv4r，另外AC、CD、DE相当于外电路，R外=3r，故FH间的电压U1=I1·rRCDH=BLv4r×2r=12BLv.

⑵图3所示为感生电动势情形

根据法拉第电磁感应定律，闭合电路感应电动势与穿过这一电路磁通量的变化率成正比.而且整个回路都产生感应电动势，且不可把回路分成内外电路，也不可错误的认为只有处在磁场中的那部分导体才是电源、处在磁场之外的那部分就是外电路.这是因为变化的磁场产生的涡旋电场并不仅仅存在于有界的那部分磁场之中，没有磁场的地方仍然有涡旋电场，涡旋电场会对整个回路中的电荷都做功.但是在 公式中的E=nΔΦΔt=nsΔBΔt应该用回路在磁场中的那部分有效面积，因为磁通量的变化只存在于这部分面积上，公式中的E为整个回路的电动势，包括磁场内外两部分电动势之和.简而言之，回路中的各个部分都可以当成含源电路来处理.

根据上面的分析可知，回路的总电动势

E2=ΔBΔt·s有效=12KL2.

如图所示，图4和图5的闭合回路的感应电动势完全相同，即图FCDH中的部分的感应电动势与图FH中的部分完全相同.由于图4中的FH部分电阻为总电阻的13，涡旋电场对这部分上的电荷做功数值也为整个回路的13，故FH部分感应电动势大小E3=13E2=16KL2.

故FCDH部分产生的感应电动势大小E4=E3=16KL2.

图3回路中的总电流I2=E24r=KL28r.

FCDH部分的等效电路如图5所示：

UHF=U2r-E4=I2×2r-E4=14KL2-16KL2=112KL2.