浅谈变式训练

王小飞

新课程标准把培养和发展学生的数学思维，激发学生学习数学的兴趣作为重要目标.实践告诉我们，适当的变式训练有助于培养数学思维，激发学生的兴趣.传统的填鸭式教学不仅不能培养数学思维，而且让更多的学生厌恶数学、恐惧数学.那么什么是变式训练呢？变式训练就是在数学学习过程中对概念、性质、定理、公式，以及提问的方式做出适当的变化.有目的、有计划地改变命题中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种环境.但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性，使其形变而神不变.引起学生思考，激发学生兴趣，逐步培养发散性思维能力.下面我们就结合实际的课堂教学实践来谈谈“公式”的变式训练.比如说苏教版必修2上所讲到的“k=tanα”：

例 直线的倾斜角为135°，则斜率k为 .

解 k=tan135°=-1.

变式一 直线的倾斜角α的变化范围为30°～150°，则斜率k的取值范围为 .

分析 本题在原题目的基础上把单一的α变成了α的范围，由定变动，利用k=tanα的图象解题.

解

如图可知k的取值范围是[

33，+∞）∪（-∞，-33].

变式二 直线斜率的变化范围为[-1，3]，则倾斜角α的取值范围为

分析 本题在变式一的基础上把已知条件和目标进行了互换，增加了解题的难度，但本质还是k=tanα的图象.

解

如图可知α的取值范围是

α∈[0，π3]∪[3π4，π）.

变式三 已知直线l∶xcosθ+y+1=0，则直线的倾斜角α的取值范围是 .

分析 本题在变式二的基础上隐含了k的范围，从而进一步增加了难度

解 k=-cosθ∈[-1，1]参照变式二可知α的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π）.

通过上述三个变式的求解，我们不难发现变式训练就是从一个简单问题入手，由浅入深，层层深入，从特殊到一般，从抽象到直观，使学生在不知不觉中就了解并掌握了问题的内涵和外延的教学模式.当然变式训练的形式多种多样：有概念的变式，有性质的变式，有公理的变式，还有方法技巧的变式等等.

尽管变式教学是一种培养思维能力的教学方式和有效手段.但我们也要适当使用、科学使用，因“材”施教，因“时”施教.根据教学目标和学生的学习现状，在适当的范围内变式.实践证明，我们有很多老师在变式教学中陷入了很多误区.如变式脱离基础，脱离本质，形变神也变，偏离目标，本末倒置，最终得不偿失；或者变式不能做到循序渐进，为变式而变式，不遵循学生的认知规律，一下子“变”得过难，这样更容易挫伤学生的学习积极性，起不到很好的教学效果，反而会事倍功半；还有些人对变式过于热衷，简单的问题重复变，每个问题都试图变，我觉得这并不是科学的变式教学，并不能激起学生学习的兴趣，反而造成审美疲劳；还有我们的变式都是老师在变，学生只是一个观众，而不是演员.所以要鼓励学生主动参与变题，积极思考，主动参与，使其成为课堂的主体.

新课程标准把培养和发展学生的数学思维，激发学生学习数学的兴趣作为重要目标.实践告诉我们，适当的变式训练有助于培养数学思维，激发学生的兴趣.传统的填鸭式教学不仅不能培养数学思维，而且让更多的学生厌恶数学、恐惧数学.那么什么是变式训练呢？变式训练就是在数学学习过程中对概念、性质、定理、公式，以及提问的方式做出适当的变化.有目的、有计划地改变命题中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种环境.但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性，使其形变而神不变.引起学生思考，激发学生兴趣，逐步培养发散性思维能力.下面我们就结合实际的课堂教学实践来谈谈“公式”的变式训练.比如说苏教版必修2上所讲到的“k=tanα”：

例 直线的倾斜角为135°，则斜率k为 .

解 k=tan135°=-1.

变式一 直线的倾斜角α的变化范围为30°～150°，则斜率k的取值范围为 .

分析 本题在原题目的基础上把单一的α变成了α的范围，由定变动，利用k=tanα的图象解题.

解

如图可知k的取值范围是[

33，+∞）∪（-∞，-33].

变式二 直线斜率的变化范围为[-1，3]，则倾斜角α的取值范围为

分析 本题在变式一的基础上把已知条件和目标进行了互换，增加了解题的难度，但本质还是k=tanα的图象.

解

如图可知α的取值范围是

α∈[0，π3]∪[3π4，π）.

变式三 已知直线l∶xcosθ+y+1=0，则直线的倾斜角α的取值范围是 .

分析 本题在变式二的基础上隐含了k的范围，从而进一步增加了难度

解 k=-cosθ∈[-1，1]参照变式二可知α的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π）.

通过上述三个变式的求解，我们不难发现变式训练就是从一个简单问题入手，由浅入深，层层深入，从特殊到一般，从抽象到直观，使学生在不知不觉中就了解并掌握了问题的内涵和外延的教学模式.当然变式训练的形式多种多样：有概念的变式，有性质的变式，有公理的变式，还有方法技巧的变式等等.

尽管变式教学是一种培养思维能力的教学方式和有效手段.但我们也要适当使用、科学使用，因“材”施教，因“时”施教.根据教学目标和学生的学习现状，在适当的范围内变式.实践证明，我们有很多老师在变式教学中陷入了很多误区.如变式脱离基础，脱离本质，形变神也变，偏离目标，本末倒置，最终得不偿失；或者变式不能做到循序渐进，为变式而变式，不遵循学生的认知规律，一下子“变”得过难，这样更容易挫伤学生的学习积极性，起不到很好的教学效果，反而会事倍功半；还有些人对变式过于热衷，简单的问题重复变，每个问题都试图变，我觉得这并不是科学的变式教学，并不能激起学生学习的兴趣，反而造成审美疲劳；还有我们的变式都是老师在变，学生只是一个观众，而不是演员.所以要鼓励学生主动参与变题，积极思考，主动参与，使其成为课堂的主体.

新课程标准把培养和发展学生的数学思维，激发学生学习数学的兴趣作为重要目标.实践告诉我们，适当的变式训练有助于培养数学思维，激发学生的兴趣.传统的填鸭式教学不仅不能培养数学思维，而且让更多的学生厌恶数学、恐惧数学.那么什么是变式训练呢？变式训练就是在数学学习过程中对概念、性质、定理、公式，以及提问的方式做出适当的变化.有目的、有计划地改变命题中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种环境.但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性，使其形变而神不变.引起学生思考，激发学生兴趣，逐步培养发散性思维能力.下面我们就结合实际的课堂教学实践来谈谈“公式”的变式训练.比如说苏教版必修2上所讲到的“k=tanα”：

例 直线的倾斜角为135°，则斜率k为 .

解 k=tan135°=-1.

变式一 直线的倾斜角α的变化范围为30°～150°，则斜率k的取值范围为 .

分析 本题在原题目的基础上把单一的α变成了α的范围，由定变动，利用k=tanα的图象解题.

解

如图可知k的取值范围是[

33，+∞）∪（-∞，-33].

变式二 直线斜率的变化范围为[-1，3]，则倾斜角α的取值范围为

分析 本题在变式一的基础上把已知条件和目标进行了互换，增加了解题的难度，但本质还是k=tanα的图象.

解

如图可知α的取值范围是

α∈[0，π3]∪[3π4，π）.

变式三 已知直线l∶xcosθ+y+1=0，则直线的倾斜角α的取值范围是 .

分析 本题在变式二的基础上隐含了k的范围，从而进一步增加了难度

解 k=-cosθ∈[-1，1]参照变式二可知α的取值范围是[0，π4]∪[3π4，π）.

通过上述三个变式的求解，我们不难发现变式训练就是从一个简单问题入手，由浅入深，层层深入，从特殊到一般，从抽象到直观，使学生在不知不觉中就了解并掌握了问题的内涵和外延的教学模式.当然变式训练的形式多种多样：有概念的变式，有性质的变式，有公理的变式，还有方法技巧的变式等等.

尽管变式教学是一种培养思维能力的教学方式和有效手段.但我们也要适当使用、科学使用，因“材”施教，因“时”施教.根据教学目标和学生的学习现状，在适当的范围内变式.实践证明，我们有很多老师在变式教学中陷入了很多误区.如变式脱离基础，脱离本质，形变神也变，偏离目标，本末倒置，最终得不偿失；或者变式不能做到循序渐进，为变式而变式，不遵循学生的认知规律，一下子“变”得过难，这样更容易挫伤学生的学习积极性，起不到很好的教学效果，反而会事倍功半；还有些人对变式过于热衷，简单的问题重复变，每个问题都试图变，我觉得这并不是科学的变式教学，并不能激起学生学习的兴趣，反而造成审美疲劳；还有我们的变式都是老师在变，学生只是一个观众，而不是演员.所以要鼓励学生主动参与变题，积极思考，主动参与，使其成为课堂的主体.