高考试题中的约束临界问题例析

罗建明

(浙江省宁波市鄞州区姜山中学,浙江 宁波 315191)

约束临界问题是指物理过程需要满足一定约束条件的临界问题.根据约束条件限制的个数,可以把约束临界问题分为单条件约束与双条件约束.根据约束条件的隐蔽性,又可以把约束临界问题分为显性约束与隐性约束.有些物理过程受到的约束条件比较明显,可以在原题中直接找到临界条件,我们通常把这类约束叫做显性约束.有些物理过程受到的“约束”条件比较隐蔽,需要通过分析推理后,才能找到临界条件,我们通常把这类“约束”叫做隐性约束.

虽然现行的物理教科书没有明确提出“约束”的概念,但是在教科书《物理》必修2第7章第9节“实验:验证机械能守恒定律”的课后“问题与练习”第2题中已经将其特点展现出来.

原题.游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行,游客却不会掉下来(如图1).我们把这种情况抽象为图2的模型:弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接,使小球从弧形轨道上端滑下,小球进入圆轨道下端后沿原轨道运动.实验发现,只要h大于一定值,小球就可以顺利通过圆轨道的最高点.如果已知圆轨道的半径为R,h至少要等于多大？不考虑摩擦等阻力.

解析:设小球的质量为m,小球运动到圆弧最高点时的速度为v,受到圆轨道的压力为FN.小球下滑过程中只有重力做功,机械能守恒.取圆轨道最低点为重力势能的零参考平面,则在这个过程中,根据机械能守恒定律,有

图1

图2

在圆轨道的最高点处,根据牛顿第二定律,有

欲使小球顺利地通过圆轨道的最高点,则小球在最高点处时,必须满足条件FN≥0,即

因此,为了使小球顺利地通过圆轨道的最高点,h至少应为

点评:要让小球顺利通过圆轨道的最高点,从机械能守恒的角度来说,只要小球初始高度满足h≥2R,小球在圆轨道最高点的速度v≥0,就可以顺利通过圆轨道的最高点.但是小球在运动过程中同时还需要满足牛顿第二定律.根据牛顿第二定律而小球在最高点受到的合力F合≥mg,即可见,小球要顺利通过圆轨道的最高点,必须同时受到机械能守恒定律和牛顿第二定律这2条物理规律的约束限制.通过此类问题能够很好地考查学生思维的严密性,所以在平时的习题或者高考题中时有涉及.

类型1:单隐性约束条件临界问题.

图3

例1.(2013年上海卷第31题)如图3所示,质量为M,长为L、高为h的矩形滑块置于水平地面上,滑块与地面间动摩擦因数为μ;滑块上表面光滑,其右端放置一个质量为m的小球.用水平外力击打滑块左端,使其在极短时间内获得向右的速度v0,经过一段时间后小球落地.求小球落地时距滑块左端的水平距离.

解析:小球在滑块表面上时,由于不受摩擦力作用,所以小球保持静止状态.对滑块应用动能定理,有

滑块继续向右滑动的加速度大小为a＝μg,继续向右滑动的时间为

若t＜t′,小球落地时滑块尚未停止运动,在时间t内滑块运动的距离,即小球落地时距滑块左端的水平距离为

若t＞t′,小球落地前滑块已经停止运动,在时间t′内滑块运动的距离,即小球落地时距滑块左端的水平距离为

点评:从表面上看,小球离开滑块后的自由落体运动和滑块的匀减速直线运动是相互独立的.由于滑块做匀减速运动的时间是有限的,在小球做自由落体运动的时间内,滑块可能一直在做匀减速直线运动也可能已经停止运动,所以滑块运动的水平距离还受到小球自由落体运动时间的制约.

类型2:双显性约束条件临界问题.

图4

例2.(2009年浙江卷第24题)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛.比赛路径如图4所示,赛车从起点A出发,沿水平直线轨道运动L后,由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道,离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点,并能越过壕沟.已知赛车质量m＝0.1kg,通电后以额定功率P＝1.5W工作,进入竖直圆轨道前受到的阻力为0.3N,随后在运动中受到的阻力均可不计.图中L＝10.00m,R＝0.32m,h＝1.25m,s＝1.50m.问:要使赛车完成比赛,电动机至少工作多长时间？(取g＝10m/s2)

解析:设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1,由平抛运动的规律解得

设赛车恰好越过圆轨道,对应圆轨道最高点的速度为v2,最低点的速度为v3.由牛顿第二定律可得由机械能守恒定律可得解得

通过分析比较,赛车要完成比赛,在进入圆轨道前的速度最小应该是vmin＝4m/s.

设电动机工作时间至少为t,根据动能定理由此可得t＝2.53s.

点评:本题中赛车要完成比赛,赛车不仅受到竖直平面内圆周运动规律的约束,同时还受到平抛运动规律的约束.将一个物体的几个过程通过两个显性约束条件有机拼接在一起,很好地考查平抛运动、圆周运动和功能关系等知识.

类型3:一显一隐双约束条件临界问题.

图5

例3.(2010年上海卷第30题)如图5所示,ABC和ABD为两个光滑固定轨道,A、B、E在同一水平面上,C、D、E在同一竖直线上,D点距水平面的高度为h,C点的高度为2h,一滑块从A点以初速度v0分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出.

(1)求滑块落到水平面时,落点与E点间的距离sC和sD;

(2)为实现sC＜sD,v0应满足什么条件？

(2)为实现sC＜sD,即得但滑块从A点以初速度v0分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出,要求所以

点评:根据题目中给出的显性约束条件sC＜sD,考生根据平抛运动的规律可以比较容易得出但还必须满足滑块沿两轨道滑行到C或D处后能水平抛出这个前提条件,这个约束条件很隐蔽,需要通过分析推理后,才能找到.如果不仔细分析,会很容易遗漏掉这个隐性约束条件,造成解题失误.