平面极坐标系在高中物理竞赛中的应用

殷正徐

(江苏省沭阳高级中学,江苏 沭阳 223600)

1 极坐标系简介

为了描述质点平面运动,可以在该平面建立极坐标系,如图1所示.在参考系上取点O,引有刻度的射线Ox称为极轴,即构成极坐标系.设质点运动至A点,引,称为质点的矢径;质点位置矢量与极轴所夹的角φ称为质点的幅角,通常规定自极轴逆时针转至位置矢量的幅角为正,反之为负.r和φ与平面上质点的位置一一对应,称为质点的极坐标.

在极坐标系中亦可对矢量进行正交分解.质点在A处,沿位置矢量方向称为径向,沿此方向所引单位矢量叫径向单位矢量,记作;与此方向垂直指向φ增加的方向称为横向,沿此方向的单位矢量叫横向单位矢量,记作

图1

图2

2 质点在极坐标系中运动的描述

(1)质点的运动方程:r＝r(t),φ＝φ(t).

(2)质点的轨迹方程:r＝r(φ).

如图2,质点在Δt时间发生一段位移Δr,速度的变化量为Δ

3 极坐标系在高中物理竞赛中的应用

3.1 绕定点转动

例1.如图3所示,拖车A在水平的河岸上,通过定滑轮拖动河中的船B,当拖车A的速度达到vA时,它的加速度为aA,此时OB绳与水平方向的夹角为θ,B到O的距离为L.求:此时船B的速度vB及加速度aB.

图3

解析:如图4所示,以O点为极点,水平向左方向建立极坐标系Ox,小船B的运动可看成两个分运动的合成:一是B沿绳方向靠近O点的分运动,即径向运动;另一个是垂直于OB绳方向的运动,即横向运动.B的径向运动应与拖车的运动有相同大小的各个运动量.

图4

将B的运动沿径向和横向分解可知,

图5

对加速度,如图5所示,B沿绳方向的分运动的加速度由两部分组成,其中表示物体沿径向运动产生的加速度,等于沿绳方向的加速度aA,而表示由于矢径的转动所产生的加速度,与aA方向相同,得由矢量运算法则可知

在求本题加速度时有一种典型的错误解法:认为船B沿绳方向的加速度就是拖车A的加速度,即ar＝aA,得aB＝aA/cosθ.错误原因就是死记拉船模型中船速度应该沿绳和沿绳垂直的方向分解的结论,而不清楚这样分解是依据极坐标系.并且想当然地认为加速度的分解应该与速度相同,于是犯了上述错误.

图6

例2.(2011年华约第2题)如图6所示,纸面内两根足够长的杆AB、CD都穿过小环M,杆AB两端固定,杆CD可以在纸面内绕过D点并与纸面垂直的固定轴转动.若杆CD从图示位置开始,按照图中箭头所示的方向,以均匀角速度转动,则小环M的加速度

(A)逐渐增加.(B)逐渐减小.

(C)先增加后减小.(D)先减小后增加.

图7

解析:如图7所示,设D到AB的距离为h,作Dx∥AB,以D点为极点、Dx为极轴建立平面极坐标系.设DC与Dx所成角度为φ,则小环M的极角为

小环M的极径为

将(1)式对时间求导得

小环M的速度分解为径向速度vr和横向速度vφ.

根据(2)、(3)两式得

根据矢量的合成与分解法则得

其中－φ为矢径r到速度的角度.

小环M的加速度a分解为径向加速度ar和横向加速度aφ,只需求出两者中的任意一个就可以求出小环M的加速度.由极坐标加速度公式可以看出本题求解相对简单.

由(4)式得

由(3)式对时间求导得

由(3)、(5)、(6)式得

由加速度的合成与分解得

由于图中φ变小,a变大,故正确答案是(A)选项.

本题的常见解法是先根据运动的合成与分解求出小环的速度v,然后利用加速度公式求解.虽说得出相同结果,却过分依赖数学,缺少必要的物理过程分析,不利于学生解题能力的提升.

这道题也可以先求解径向加速度ar然后进行合成,读者可以试试.

3.2 星体绕中心天体运动

例3.已知行星绕太阳沿椭圆轨道运动(开普勒第一定律),试证明行星所受太阳引力必定与距离平方成反比.

解析:行星绕太阳作椭圆运动时,在极坐标系中其轨迹方程为

其中p为半正焦弦、e为离心率,是两个常量.

由(1)式对时间t求导,得

再次对时间t求导,得

极坐标系中径向加速度ar为

得

根据牛顿第二定律,行星所受的径向力(即引力)为

对于固定的行星椭圆轨道,L和p均为常量,故引力与距离平方成反比.

讨论引力问题选用极坐标系时原点选在不动的引力源上,运动物体受的力均通过原点,是有心力,在极坐标中只有径向力,没有横向力.另外,天体在万有引力作用下的轨道是圆锥曲线,用极坐标系表示轨迹形式统一简单,计算比较容易.

例4.(第28届复赛题)如图8所示,哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动,其周期T为76.1年.1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0＝0.590AU,AU是天文单位,它等于地球与太阳的平均距离.经过一段时间,彗星到达轨道上的P点,SP与SP0的夹角θP＝72.0°.已知:1AU＝1.50×1011m,引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2,太阳质量mS＝1.99×1030kg,试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向(用速度方向与SP0的夹角表示).

图8

解析:取极坐标,极点位于太阳S所在的焦点处,由S引向近日点的射线Sx为极轴,极角为θ,取逆时针为正向,用r、θ表示彗星的椭圆轨道方程为

其中e为椭圆偏心率,p是过焦点的半正焦弦,若椭圆的半长轴为a,根据解析几何可知

将(2)式代入(1)式得

以TE表示地球绕太阳运动的周期,则TE＝1.00年,以aE表示地球到太阳的距离(认为地球绕太阳作圆周运动),则aE＝1.00AU,根据开普勒第三定律

在近日点θ＝0,由(3)式得

将θP、a、e的数据代入(3)式即得

可以证明,彗星绕太阳作椭圆运动的机械能

式中m为彗星的质量.以vP表示彗星在P点时速度的大小.根据机械能守恒定律有

可得

代入有关数据得

图9

设P点速度方向与极轴的夹角为φ,彗星在近日点的速度为v0,如图9,根据角动量守恒定律有

根据(8)式,同理可得

由(6)、(10)、(11)、(12)式并代入其他有关数据,可得φ＝127°.

解决天体运动问题常用两个守恒方程,即机械能守恒(如8式)和角动量守恒(如11式),两式中均含有星体运动半径(如本题中rP),极坐标系方程中正好包含此半径,故可以方便地表示两个守恒方程,而若应用直角坐标系来表示就很麻烦了.

3.3 平面内的追击问题

例5.(犬狼追击题)1只狼沿半径为R的圆形岛边缘以逆时针方向匀速跑动,如图10所示,狼过A点时,1只猎犬以相同的速率从O点出发追击狼.若追击过程中,狼、犬、O点始终在同一条直线上,则猎犬是沿什么轨迹运动的？在何处追上了狼？

解析:如图11,以OA方向建立极坐标系,设某一时刻猎犬和狼的位置分别为B和C,猎犬到圆心O点距离为r,幅角为φ,设此时猎犬速度为v,与OB方向的夹角为α.

图10

图11

由猎犬与狼绕O点角速度相同,得

由上式得

上式两边对时间求导

猎犬的径向速度为

由(2)、(3)式解得

又狼的角速度为

由(4)、(5)式得dα＝dφ,积分得α＝φ＋C.当t＝0时,α＝0,φ＝0,所以有

由(1)、(6)式得r＝Rsinφ.

综上,狼跑过1/4圆后被猎犬追上.

猎犬追狼问题是高中物理竞赛的一个经典例题.该题有很多解法,但有的解法比较繁琐高中学生不易理解,有的解法看似简洁却不够严密.用极坐标解决本题,思路清晰,过程简洁,体现出极坐标系在解决平面追击类问题的优势.

例6.如图12所示,在外接圆半径为R的正方形ABCD的4个顶点分别站有一个人,这4个人同时以相同的速率运动.在此过程中,从A点出发者的速度始终指向从B点出发者,从B点出发者的速度始终指向从C点出发者,从C点出发者的速度始终指向从D点出发者,从D点出发者的速度始终指向从A点出发者.试求4个人的运动轨迹.

图12

图13

解析:如图13所示,在某一时刻,从A、B、C、D4点出发的人分别运动到A′、B′、C′、D′点.根据对称性可知,四边形A′B′C′D′为正方形.以OA为极轴建立坐标系,则A′点的极坐标为(r,φ).设从A点出发的运动者运动到A′点时的速度为v(矢径到速度v方向的角度为径向速度为vr,横向速度为vφ,则将代入上式并化简,得对上式积分,得r＝Ce－θ,其中C为积分常数.

由上式可以看出,从A点出发的人的轨迹为一对数螺线.根据对称性,其他3个人的运动轨迹也为同样的对数螺线.

例5中物体是从极点出发,例6中物体是最终到达极点,两个都是平面内追击问题.此问题初看起来好像无法下手,然而利用极坐标系中径向速度与横向速度的大小关系,不仅可以十分方便地解决此问题,而且物理图像特别清晰.实际上我们可以将此问题中的正方形推广到正n边形的情况下,运动者的轨迹为其中R为正n边形的外接圆半径.

4 结语

上面6道例题是物理竞赛中的常见题型,题中物体的共同点都绕着某个固定点运动,应用极坐标系是解决此类问题的系统方案.最新全国中学生物理竞赛内容提要(2013年开始实行)已经明确将极坐标纳入考试范围,可见其重要性和基础性.除了增加极坐标系之外,内容提要还增加了初等函数的微分和积分,这是非常必要的——没有微积分的相关数学基础就无法真正应用极坐标系.

1 漆安慎,杜婵英.力学［M］.北京:高等教育出版社,1999.

2 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程(力学篇)［M］.合肥:中国科学技术大学出版社,2012.

3 舒幼生.物理学难题集萃(增订本)［M］.北京:高等教育出版社,1999.

4 钟小平.高中物理竞赛解题方法(力学部分)［M］.杭州:浙江大学出版社,2007.