P-M与TV模型在加性高斯白噪声去噪中的比较研究

杨 巧,李五强,韩国栋

(陕西师范大学数学与信息科学学院,西安 710062)

【数学与应用数学研究】

P-M与TV模型在加性高斯白噪声去噪中的比较研究

杨 巧,李五强,韩国栋

(陕西师范大学数学与信息科学学院,西安 710062)

噪声是图像获取、传输和储存过程中不可避免的现象.去噪作为图像处理的首要步骤与基本问题是后续的高层次图像处理的基础.以加性高斯白噪声为例,综述了P-M扩散方程及TV模型的原理,并从视觉与定量指标两个方面比较了去噪效果.最后,在热扩散方程模型预处理条件下比较了两种模型的去噪效果.

图像去噪;P-M扩散方程;TV模型;热扩散方程

图像在采集、传输与存储过程中,由于受到各种噪声的干扰,常出现失真现象.图像去噪作为图像预处理的基础,直接影响着后续高层次的处理效果[1].根据噪声特点不同,已给出多种去噪算法.去噪算法主要分为空域去噪算法和频域去噪算法[2],本文不讨论频域算法.传统的空域去噪方法有：均值滤波器、中值滤波器等[1-3].均值滤波器在一定程度上对高斯噪声能加以抑制,但不能很好地保护细节数据,使得图像出现模糊现象;中值滤波器对椒盐噪声的抑制效果较好,而对于高斯噪声的抑制效果并不理想,同样会出现模糊现象.这些传统的去噪算法去噪的同时不能保持图像的边缘特征,从20世纪80年代以来,偏微分方程与变分方法的图像去噪方法得到不断发展[4].1990年,Perona与Malik证明了传统的图像去噪模型是各向同性的,在去噪的同时会使图像边界模糊[5].而偏微分方程可以实现各向异性扩散,在去噪的同时可以保持边缘特征.1992年,Rudin等人提出了TV模型,将Tikhonov正则化中的范数改为L1范数,即偏微分方程实现各向异性扩散,因此,TV模型去噪的同时可以保持边缘特征[6].

本文将以加性高斯白噪声为例,比较P-M扩散方程与TV模型的去噪与边缘保持效果,并且在热扩散方程模型预处理的条件下,再次比较两种模型的去噪效果.

1 预备知识

1.1 加性噪声模型

设Ω是实平面R2上图像的支撑集,f是失真或退化图像,含有加性噪声数字图像模型可描述如下：

其中：u表示理想图像,n表示噪声.本文将探讨均值为0,方差为σ2的加性高斯白噪声的去噪问题.

1.2 热扩散方程模型

热扩散方程作为最典型的被用于加性噪声去除的偏微分方程[7],它的形式为

当它被用于图像去噪时,u的初始值f就是含有噪声的图像,热扩散过程就是去噪过程.

热扩散方程的初值问题可以使用有限差分法进行求解,其离散格式为：

1.3 P-M扩散模型

因热扩散方程模型在去噪同时不能保持图像的原有边缘,其实用性受到较大的限制.1990年,Perona 与Malik提出了著名的P-M图像去噪模型[5],这一模型的提出开辟了偏微分方程在图像领域中的新应用.Perona与Malik证明了传统的图像去噪模型是各向同性的,在去噪的同时会使图像边缘模糊.因此,可以利用恰当的偏微分方程实现各向异性扩散,从而在去噪的同时保持图像的边缘特征.P-M各向异性扩散方程是：

Perona与Malik建议系数函数g取如下两种：

这时所得的结果最为理想.由于式(4)(5)的本质相同,经试验在相同条件下去噪效果基本相同.因此,在下面数值实验中我们选取的系数函数为式(5).

P-M模型的离散格式为：

其中各方向的差分梯度为：

1.4 Total Variation模型

前述两种去噪方法以某类扩散方程为工具,噪声图像被视为方程的初值,经方程的演化得到理想图像.处理加性噪声模型(1)的另一个思路是,在某个恰当的函数空间内寻找u,使得噪声

尽可能地小.最小二乘法是函数逼近最常用的方法,可表示为：

其中等式右边第一项为保真项,反映真实解与近似解的接近度,其作用是保证图像恢复前后变化不大;第二项为光滑项,估计图像能量,保证图像光滑.参数λ越大,保真项所起的作用就越大,解就越接近初值;λ越小,那么扩散作用就越大,相应的图像就越光滑.如果λ=0,图像就过于光滑,图像边缘就会出现严重的模糊现象;如果λ=∞,图像会出现剧烈震荡.这样就要求λ的取值要适当.式(8)被称为全变差(Total Varitation)去噪模型,简称为TV模型.与Sobolev范数相比,全变差范数对图像的光滑性要求低[11-12],符合图像处理问题的实际.

TV降噪模型相应的Euler-Lagrange方程为

对式(9)使用最速下降法,加上∂Ω上的Neumann边界条件和初始值u(x;0),得到反应扩散方程的初边值问题：

利用有限差分法,初边值问题式(10)可离散化成

其中：

2 数值实验

2.1 定量指标

我们将通过数值实验,从视觉和定量指标两个方面比较热扩散方程模型、P-M扩散模型以及TV模型对于高斯白噪声的去噪效果.用到的定量指标如下：

峰值信噪比测度：

均方差测度：

结构相似性测度：

其中：u是原图像;u忆是去噪后的图像;M和N是图像的尺寸;i,j是图像在i,j的像素;σu忆与σu是u忆与u的标准差;μu忆与μu是u忆与u的均值;σu忆u是u忆与u的协方差.在以上3个指标中,PSNR越大,表明去噪效果越好,而MSE则相反,SSIM的值越接近于1,表明去噪后的图像与原图像越接近.

在以下实验中,对“Barara”图像加入均值为0,方差为0.002的高斯白噪声.我们将以此噪声图像为处理对象,比较两种去噪模型的效果.

2.2 两种模型的数值分析

P-M方程模型的去噪效果不仅和步长Δt、迭代次数N有关,还和参数K有关.我们首先固定N(N分别取20,40,50,55,60,70,100),再固定K(K分别取10,15,25,30,35,40,45,50),随着Δt的增加,从中找出同一迭代次数N,在不同K处,P-M模型去噪的最佳步长Δt,比较实验数值给出相同迭代次数下最佳的K值与步长Δt.经过大量实验,得到的定量指标数据如表1所示.

表1 P-M模型下不同迭代次数下最优定量指标比较

从表1可以看出,P-M方程模型的去噪效果在N=60,K=30,Δt=0.01附近达到最佳.

TV模型的去噪效果不仅和步长Δt、迭代次数N有关,还和参数λ有关.我们首先固定N(N分别取5, 10,20,40,50,70,100),再固定λ(λ分别取5,6,7,8,9,10),随着Δt的增加,从中找出相同迭代次数下,在不同λ处,TV模型去噪的最佳步长Δt;接下来比较相同迭代次数下不同λ处的最佳去噪效果,最终找出每个迭代次数下最佳的λ与Δt.经过大量实验,得到的定量指标数据如表2所示.

表2 TV模型下不同迭代次数下最优定量指标比较

由表2可知,TV方程模型的去噪效果在N=40,λ=7,Δt=0.16附近达到最佳.

通过对上述两模型的分析,我们把两个模型处理加性高斯噪声的相对最佳效果列出,得到表3.

表3 两种模型最优状态定量指标比较

在均得出最佳去噪效果的条件下,二者的运行时间差别不大,P-M与TV模型用时分别为：0.597 166 s和0.545 507 s.

以下是两个模型最佳效果图的局部扩大图与边缘提取图的展示,其效果如图1所示.

图1 Barara图像实验结果

由图1的第一行局部扩大图可以看出：P-M模型与TV模型的去噪图效果在视觉上相差不大.但是,从定量指标的分析上可以看出,TV模型相比P-M模型的去噪效果要好.此外,由图1的第二行边缘提取图可以看出：在长方形分割区域内可以看出,TV模型的边缘保持能力比P-M模型好一些.综合视觉与定量指标的TV模型对于加性高斯白噪声的去噪效果优于P-M模型.

3 热扩散方程处理下两种模型的数值比较图像

表4 热扩散模型下两种模型最优状态定量指标比较

众所周知,P-M模型与TV模型可以在去噪同时保持图像的边缘.然而,保持边缘的能力在某种程度上也影响了它们的去噪效果.一种常用的手段是,在应用P-M模型与TV模型之前进行滤波预处理.显然,为保证后续处理的效果,应采用迭代次数少、步长小的滤波.我们首先利用热扩散方程模型(迭代次数N=2,步长Δt=0.005)对噪声图像进行去噪处理,接下来再应用表1与表2中P-M模型与TV模型相对的最佳数值进行处理,最后得到的定量指标如表4所示.

显然,经热扩散模型预处理后,两种模型的定量指标分别优于这两种模型的单独使用;同时,热扩散模型预处理后的TV模型效果优于热扩散模型预处理后的P-M模型.

4 结论

本文比较了传统的P-M模型与TV模型的降噪效果,得到的结论是：从视觉和定量指标两个方面来看,TV模型的效果优于P-M模型;并且在P-M模型与TV模型之前使用热扩散模型预处理,分别优于单独应用P-M模型与TV模型,而热扩散模型预处理之后,TV模型仍优于P-M模型.

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【责任编辑 牛怀岗】

A Comparative Study between P-M and TV Models In Additive White Gaussian Noise Denoising

YANG Qiao,LI Wu-qiang,HAN Guo-dong
(Institute of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi'an 710062,China)

Noise is inevitable phenomenon in the process of image acquisition,transmission and storage.As the first step and the basic problem of image processing,denoising is the foundation of subsequent high level image processing.This paper,taking the additive white Gaussian noise as an example,summarizes the principle of the P-M diffusion equation and TV model,and compared the denoising effect from two aspects of visual and quantitative indicators.Finally,under the condition of pretreatment of thermal diffusion equation model,it compared the effect of denoising of the two models.

image denoising;P-M diffusion equation;Total Variation(TV)model;thermal diffusion equation

O175.23

A

1009-5128(2014)15-0005-06

2014-05-29

国家自然科学基金项目：非线性算子方程变号解的局部与全局特性(11101253);中央高校基本科研业务费：非线性算子方程的变号解与分歧(GK201301007)

杨巧(1989—),女,河南鹤壁人,陕西师范大学数学与信息科学学院硕士研究生;韩国栋(1978—),男,山西祁县人,陕西师范大学数学与信息科学学院副教授,理学博士,主要从事非线性泛函分析及其应用研究.