连通气球实验结果及其定性解释

潘才连，蔡志东

(镇江高等专科学校丹阳师范学院，江苏 丹阳 212300)

连通气球是小学生非常喜欢的一个自主探究实验，一些中学生也喜欢这个实验。一些学生和小学科学教师认为，大小不同的2个气球连通后只出现一种结果，即“大的更大，小的更小”。实际上，还存在另外2种现象，即“大的、小的都不变”和“大的变小，小的变大”。原因何在?迄今为止，还没有人对此作出合理的解释。网上有不少人采用肥皂泡模型(即把气球视作肥皂泡)来解释现象——“大的更大，小的更小”，这是错误的。笔者对实验方法作了适当的改进，使得实验操作省时省力，效果显著，并根据橡胶的应力-应变关系曲线对此作出了合理的解释。

1 连通气球实验方法的改进

1.1 传统的实验方法

连通气球取材方便，操作简单，现象奇特，是小学生自主探索实验项目之一，深受小学生的喜欢。文献［1］详细介绍了实验过程。简单地说，就是用2个气球、1根管子、几条棉线，让学生自主探究2个大小不同的气球连通后的变化，培养学生的观察和实验能力。实验装置和步骤如图1所示。

实验过程:1)吹起2个气球，一大一小，分别用棉线扎住(不要打死结);2)把2个气球分别绑在空心管的两端，注意扎紧别漏气;3)打开2个活结，让气球里的空气连通;4)观察气球的变化。

图1 传统的连通气球实验

笔者发现，按照传统的做法，操作起来相当麻烦，而且容易漏气。首先，直接用嘴对着气球吹气不卫生，有些肺活量较小的学生不能一次性把气球吹得很大(一不小心，气球中的气体会反冲回口腔)。其次，直接把气球口套在管子上会因套不紧而漏气，如果用线把它系在管子上，则相当于每个气球上有2个结，共有4个结。多次实验时，需要反复系、解4个结，非常麻烦。再次，不能做到同时打开气球阀门，让气体同时相向而行(左、右2个活结同时打开很难做到)。

1.2 改进后的实验方法

为克服这些不足，笔者做了较大的改进，如图2所示，把原来的1根管子改成3根(较短的)玻璃管，中间用2根较短的乳胶管(乳胶管事先清洗干净)相连，气体的通、断由乳胶管上的2个弹簧夹控制。左、右2根玻璃管的一端和2个气球相连(可以用线扎成死结或活结，非常紧密)，另一端和乳胶管相连，中间玻璃管是活动的，可以很方便地套上或取下(左、右2个)乳胶管。实验时，先把中间玻璃管取下，松开夹子，用嘴或气筒通过乳胶管向气球吹气或打气。若用嘴吹气，一口气吹完后立即用夹子夹住乳胶管，休息片刻，再松开夹子，吹第二口气并夹住。反复多次，可以把气球吹得很大，同时避免气球内的气体反冲。吹到需要的大小之后，把它们和中间的玻璃管相连。然后，2个弹簧夹同时打开，观察气球大小的变化。此法省时省力，效果非常好。

图2 改进后的连通气球实验

2 实验结果

2.1 实验数据、图片及结论

有不少教师和文献认为，实验的结果只有一种:即大、小不同的2个气球连通后大的更大，小的更小。但笔者的实验结果有3种(事实上，一些学生分组实验中也出现过3种现象，只不过被忽视了)。具体结果见表1。

表1 大、小不同的2个气球连通后半径或体积的变化

为了使数据更加可信，笔者用数码相机拍摄了测量过程(注:直尺的起点刻度为10 cm)。以实验1为例(实验2和实验3，略)，图3，图4，图5，图6显示，确实有“大的变小，小的变大”现象存在。

图3 实验1中大气球连通前的直径(21 cm)

图4 实验1中小气球连通前的直径(9 cm)

图5 实验1中2个气球连通后，大气球的直径(19.5 cm)

图6 实验1中2个气球连通后，小气球的直径(13 cm)

2.2 中学生的实验曲线

笔者的实验结论不是孤立的，台湾台南县私立兴国高级中学的许翰棕等4个学生也做了类似的实验［6］，得出了同样的结论，即3种现象都有可能出现。他们还绘出了气球内外压强差(由构成气球的橡胶皮膨胀所引起的张力产生)与半径之间的关系曲线，如图7所示(该设计获台湾第44届中小学科学展览会高中组最佳创意奖)。原图中，纵轴表示压力用T表示。图7中，上面曲线所示为充气曲线，下面曲线所示为放气曲线(从图中可见，与充气曲线形状相似，但压强有所减弱)，压强差ΔP单位是厘米水柱高(cmH2O)，半径R为3个方向半径的平均值(单位为cm)。由图7可知，气球内部的压强(等于压强差与大气压之和)先迅速增大，接着减小，然后增大，这一结果和笔者的实验结论一致。图7中的R1，R2分别为最大压强半径和最小压强半径(可以称之为第一临界半径和第二临界半径)。如果把气球的膜看成是一薄膜(实际上是有一定厚度的)，则可以像液体表面那样引进“等效表面张力系数”，即作用在气球表面单位长度的张力，用γ表示，则

由此可依据ΔP－R关系曲线(图7)画出γ－R关系曲线(图8)。图8中，γ的单位为cm·cmH2O(长度单位cm和压强单位之积)，未用国际单位(国际单位制中，张力系数的单位为N/m)。

图7 气球内外压强差与半径的关系

图8 气球等效表面张力系数与半径的关系曲线

如图9所示，取气球表面的一部分(球冠，其底面圆半径为r，球半径为R)，它对圆心的张角为θ，气球的张力沿球冠的切平面作用在半径为r的圆周上，张力的大小为2πr·γ，它在竖直方向的分力为2πr·γ·sinθ，而气球内部气体和外部大气的压力都垂直于球的表面，由于对称性，沿水平方向一周的合力为零，沿竖直方向的合力方向向上，等效作用在半径为r的平面上，其大小为ΔP·πr2，两者相等，所以

即

由图9可知，

所以

(文献［2］的推导是特例，相当于 θ=90°，r=R的特殊情况。)

图9 张力系数与半径的关系

3 定性解释

3.1 肥皂泡模型的缺陷

对于连通气球实验中出现“大的更大，小的更小”现象的原因，网上有不少人提出用肥皂泡模型来解释。根据文献［2］和［4］可知，肥皂泡内外压强差的公式为

其中，γ为肥皂水的表面张力系数(在一定温度下为常数)。设P0为大气压强，ΔP=P－P0，公式(1)可改写为

由此可知，半径越大的肥皂泡内部压强越小，当大、小2个肥皂泡连通时会出现“大的更大，小的更小”的现象。但这一模型无法解释2个大小不同的气球连通后会出现“大的变小，小的变大”和“大的、小的都不变”的现象。

事实上，液体的表面张力是由邻近分子的引力引起的［3］，而气球橡胶膜的张力是由弹性体的形变引起的，二者有显著的差异。液体的表面层极薄，气球橡胶膜相对较厚。液体的表面张力系数γ与半径无关(一定温度和杂质下不变)，而气球橡胶膜的张力系数γ是变化的。

3.2 气球薄膜的应力-应变曲线

气球的主要成分为橡胶(此外还有配合剂、稳定剂、硫化剂、防老化剂等非橡胶成分)，是典型的高分子弹性体。根据文献［5］，通用的典型橡胶应力-应变曲线如图10所示(不同弹性体的曲线是有差异的)。

图10 橡胶的应力-应变曲线

所谓“应力”是指单位面积上受到的弹力，其定义为

其中，F为载荷或弹力，A0为原始截面积。

所谓“应变”，就是相对形变量，其定义为

其中，L0为原始长度，L为形变后的长度。应变也叫做应变率，一般用百分比表示。

3.3 应力-应变曲线的主要特征

由图10可知，此曲线大致可以分为3个阶段:

第1阶段，ε约为50%(拉伸后的长度小于原长的1.5倍)，应力随应变的变化很快。在这一阶段，很小的形变就能产生比较大的应力。这一阶段，处于无规卷曲状态的网络链逐渐伸展。

第2阶段，ε约为60% ～260%(拉伸到原长的1.6到3.6倍之间)，曲线上升缓慢，即形变过程中应力增长非常缓慢，这一结论和台湾中学生的实验结论完全吻合。此阶段，除了无规卷曲线团伸展之外，还有一些小的网络链在发生形变。

第3阶段，即ε约为260% ～500%(即拉伸到原长的3.6～6倍)，曲线上升迅速(尤其ε＞400%时，上升极快)。此时，材料内部柔性网络链已充分伸直，较刚硬的结晶和有序微晶区也发生变形而解体，局部有缺陷和裂纹产生并伸展，直至材料的化学键在应力作用下断裂(气球爆裂)。

3.4 用应力-应变曲线解释压强差与半径的关系

由图10可知，在第1阶段，当R增大时，ΔP(本质上就是由弹性体的形变产生的弹力引起的)增大。第2阶段，气球的弹性有所减弱，应力变化极小，但是，气体压力作用的面积却急速增大(与图9中的r2成正比)。于是，ΔP随R的增大而减小。第3阶段，气球膜内部的柔性网络链已充分伸直，应力σ上升很快，总的张力增加得比r2还要快，所以ΔP再次增大，这样就定性地解释了图7。

3.5 由压强差-半径关系曲线得出的结论

由图7可知:

1)当气球的半径小于第一临界半径，即R＜R1时，2个大小不同的气球连通后，因半径大的压强大，出现“大的变小，小的变大”现象。但这一阶段，气球半径很小，充气量也少，变化不明显。

2)当R1＜R＜R2时，因为半径大的压强小，所以出现“大的更大，小的更小”现象。

3)当R＞R2时，因半径大的压强大，也会出现“大的变小，小的变大”现象。但容易出现爆裂状况。

4)若1个气球的半径处在第一区(R小＜R1)，另1个气球的半径处在第二区(R1＜R大＜R2)或第三区(R大＞R2)，或 R小处在第二区，R大处在第三区，则3种现象都可能出现(即也可能不变)。

5)要观察“小的更小，大的更大”的现象，较快的方法是将1个很小的气球和1个很大的气球(半径分别在第一区和第三区)连通。然后，在小的气球中再吹一些气进去，再连通(它们的半径大多仍在第一区和第三区)。

4 结束语

连通气球实验中之所以出现3种现象，是由于构成气球的橡胶有其独特的应力-应变特性。粗略地说，膨胀的气球膜开始时应力变化较快，压强随之增大，中期变化较慢，压强随之减小，后期变化又加快，压强再次变大。而这种变化的特性又由橡胶这种特殊材料中的分子在空间的特殊排列所致。

［1］张红霞.小学科学课程与教学［M］.北京:高等教育出版社，2010:178－183.

［2］赵凯华.新概念物理学教程:力学［M］.北京:高等教育出版社，2004:217－219.

［3］赵凯华.新概念物理学教程:热学［M］.北京:高等教育出版社，2005:54－55.

［4］李椿，章立源，钱尚武.热学［M］.北京:人民教育出版社，1978:314－325.

［5］何曼君，陈维孝，董西侠.高分子物理［M］.上海:复旦大学出版社，1991:295－343.

［6］许翰棕，柯韦廷，洪国渊，等.大的变大，小的变小?［EB/OL］.(2003 －12－27)［2013－12 －08］.http://www.docin.com/p －276549827.html.