柱锥斜交相贯线解析性质分析与特殊点图解方法

刘 敏， 林 犀， 冯 涓

(1. 清华大学机械工程系，北京 100084；2. 清华大学土木工程系，北京 100084)

柱锥斜交相贯线解析性质分析与特殊点图解方法

刘 敏1， 林 犀2， 冯 涓1

(1. 清华大学机械工程系，北京 100084；2. 清华大学土木工程系，北京 100084)

轴线相交的圆柱和圆锥两立体相交时，一般情况下会产生两条相贯线。文章分析了在圆柱、圆锥正交和圆柱、圆锥斜交情况下，相贯线随圆柱半径变化而形成的不同形状和特殊点性质。进一步结合解析形式分析，推导了圆柱、圆锥轴线相交并产生左右两条相贯线时，两条相贯线上最里点的分布规律；相贯线形状与圆柱半径取值范围的精确对应关系；并给出了确定相贯线上最里点的辅助球半径公式。最后，文章依据以上结果提出了圆柱、圆锥斜交时相贯线上所有特殊点的图解方法。

画法几何；圆柱、圆锥相贯线；斜交；解析证明；图解法

轴线相交的圆柱和圆锥两曲面立体相贯是工程上较为常见的形体相贯形式(如图1所示)。一般情况下，其相贯线是盘绕在圆柱面和圆锥面上的两支空间曲线。本文将轴线相交的圆柱和圆锥相贯简称为柱锥相贯，它们的交线简称为柱锥相贯线。精确地找到柱锥相贯线上的所有特殊点位置是柱锥相贯投影作图的关键问题。本文重点讨论圆柱和圆锥轴线倾斜相交情况下，左右两侧相贯线上所有特殊点的分布规律和精确作图问题。在下文的讨论中，圆柱的半径记作R柱，圆柱圆锥轴线交点处圆锥的内切球半径记作R球。θ为圆柱圆锥轴线的夹角，α为圆锥的半顶角，h为圆柱圆柱轴线交点到圆锥锥顶的距离。为了研究方便，本文将圆锥轴线竖直放置，圆锥和圆柱轴线平行于正立投影面进行投影作图。

图1 柱锥相贯

1 柱锥相贯线的分类

柱锥相贯一般可分为柱锥正交和柱锥斜交两大类。当圆柱和圆锥轴线垂直相交时(θ=90°)，本文简称柱锥正交，当圆柱和圆锥轴线倾斜相交时(θ≠90°且θ≠0°)，本文简称柱锥斜交。柱锥正交时，假设圆锥形状不变，圆柱圆锥轴线的相对位置和倾斜角度不变，当圆柱半径变化时，柱锥相贯线形状和特殊点位置发生变化，分为以下4种形式：

图2 柱锥正交时相贯线的四类形式

(1) 当R柱≤R球sinα时，柱锥左右两侧相贯线上的最高点H1和H2与分别与左侧相贯线的最右点R和以及右侧相贯线最左点 L重合，如图 2(a)所示[1]。相贯线上的所有特殊点均可通过辅助平面法或辅助球面法作图得到[2]。

(2) 当R球sinα＜R柱＜R球时，柱锥左右两侧相贯线上的最里点可借助辅助球法获得，通过半径为R球的圆锥内切球，即最小辅助球，可作图获得最里点R和L，如图2(b)所示。相贯线上的所有特殊点均可通过辅助平面法或是辅助球面法作图得到。

(3) 当R柱=R球时，两回转体具有公共的内切球。根据蒙日定理[2]，相贯线变化为两条平面曲线——椭圆，在正面投影上，两条相贯线的投影积聚在轮廓线交点的连线上，左右两侧的相贯线上的最里点重合于一点，如图2(c)所示。

(4) 当R柱＞R球时，柱锥相贯线转变为上下两部分，上方相贯线上的最低点U1，以及下方相贯线上的最高点U2，借助侧面投影，通过图解容易得到，这里不再详述。

由上可见，在柱锥正交的情况下，柱锥相贯线上的所有特殊点都可以通过辅助平面法或辅助球面法直接作图确定。在柱锥斜交时，不失一般性，讨论圆柱从左上向右下倾斜，即柱锥轴线夹角θ＜90°时相贯线的形状。根据圆柱半径R柱的变化，柱锥左右两侧的相贯线均可分为四类形式，但两侧分类形成的圆柱半径略有不同。图3给出了左侧相贯线的四类形式以及分类条件。

(1) 当R柱≤Rmin时，左侧相贯线上的最高点H1就是它的最右点R，如图3(a)所示。其左右两侧相贯线上的最前点F1和最后点F2无法直接通过辅助平面法或辅助球面法作图获得，见图3(a)。

(2) 当Rmin＜R柱＜R球时，左侧相贯线上的最右点R并不对应最高点H1，也不对应半径为R球最小球作为辅助球面法所确定的相贯线上的点。该点无法应用一般的辅助平面法或辅助球面法直接求作。其左右两侧相贯线上的最前和最后点也无法使用一般作图方法确定，如图3(b)所示。

(3) 当R柱=R球时，如图3(c)所示，相贯线变化为两条平面曲线——椭圆，在正面投影上，两条相贯线的投影积聚在圆柱和圆锥轮廓线交点的对角连线上。左右两侧相贯线的最里点重合，所有特殊点均可直接作图得到。

(4) 当R柱＞R球时，柱锥相贯线变成上下两部分，上方相贯线上的最低点U1，以及下方相贯线上的最高点U2，可借助最小辅助球，即圆柱的内切球确定，如图3(d)所示。

柱锥斜交时右侧相贯线和左侧相贯线具有类似的性质，亦可分为四类形式(这里不再单独给出图例)，但是其第(1)类形式和第(2)类形式分类的临界圆柱半径尺寸与左侧不同，具体如下：

(1) 当R柱≤Rmax时，柱锥右侧相贯线上的最高点H2就是它的最左点L。

(2) 当Rmax＜R柱＜R球时，柱锥右侧相贯线上的最左点L不对应最高点H2，也不对应最小辅助球所确定的相贯线上的点。

右侧相贯线的第(3)类和第(4)类形式的分类条件与左侧相同，Rmin和Rmax的取值大小将在下节结合解析法分析详细讨论。由此可见，在柱锥斜交时，若左右两侧相贯线处在第(1)或第(2)类形式下，该相贯线上的某些特殊点无法通过辅助平面法或是辅助球面法直接作图确定。而当圆柱从左下向右上倾斜，即柱锥轴线夹角θ＞0°，其两条相贯线具有和图3示例左右对称的性质，文中不再单独讨论。

2 柱锥斜交时相贯线的解析形式分析

本节结合解析形式分析，重点分析柱锥斜交情况下，左右两侧相贯线为第(2)类形式时，左侧相贯线上最右点 R和右侧相贯线上最左点 L的分布规律，以及柱锥斜交两侧相贯线第(1)和第(2)形式分类的两个临界尺寸Rmin和Rmax的取值。

2.1 柱锥相贯线的解析方程

建立如图1所示的空间直角坐标系O-ΧYZ, 在此坐标系中，圆锥曲面的方程为：

而倾斜圆柱面的方程为：

联立式(1)～(2)并消去y后，可以得到柱锥相贯线正面投影的方程[3]：

由式(3)可知，柱锥相贯线的正面投影方程在一般情况下为双曲线[4-5]。

欲求式(3)所表达的方程在 Χ轴方向极值点(即左右两侧相贯线的最里点)，需根据极值法对其求导。将式(3)表达为隐式 f(x,z)= 0，则其极值点应满足：

即，

整理得到：

式(6)为一斜截式直线方程，容易看出这是一条与圆柱半径R柱无关的直线。它既是式(3)具有Χ方向极值点的条件关系式，也具有特定的几何意义,即R柱在一定范围内变化时，左右两侧相贯线上最里点的正面投影变化规律。

将z=h带入式(6)，可得到x=htgθ，即点Α (htgθ, h)在该直线上。点Α位置见图4，它是正面投影中倾斜圆柱轴线和过圆锥锥顶的水平线的交点位置[6]。

讨论特殊点Β( −hsin2αctgθ ，h sin2α)，该点为R柱=R球时，左右两侧相贯线相重合的最里点投影位置，见图3(c)中r′≡l′点位置。将z= h sin2α带入式(6)，可得到 x= −hsin2αctgθ ，即特殊点B( −hsin2αctgθ，h sin2α)也在式(6)所表达的直线上。

图4 极值点分布直线及其上的四点Α、Β、C、D位置

因此，过点Α和点Β的直线满足式(6)，它是柱锥相贯线上极值点的正面投影分布轨迹。若令点C和点D分别为直线ΑΒ与圆锥左右两侧V面外形轮廓线的交点(见图4)，由于直线上的ΑC段已超出圆柱面投影范围，仅CD线段是柱锥相贯线上最里点的有效分布轨迹。由此我们可得到如下结论：

结论 1.式(6)所表达的直线是柱锥斜交，相贯线Χ方向极值点随R柱变化时的理论分布轨迹。直线上点 C到倾斜圆柱轴线的距离对应临界圆柱半径Rmin，点D到倾斜圆柱轴线的距离对应的临界圆柱半径 Rmax。当Rmin＜R柱＜R球时，左侧相贯线上的最右点R位于直线段CΒ之上。当Rmax＜R柱＜R球时，右侧相贯线上的最左点L位于直线段ΒD之上。

2.2 Rmin和Rmax值的推导

为计算两圆柱半径Rmin和Rmax值的大小，需沿倾斜圆柱轴线建立新坐标系O-ΧY′Z′，如图4中蓝色的倾斜坐标轴所示。在坐标系O-Χ′Y′Z′中，式(6)在 Z′轴上的截距为在 Χ′轴上的截距为O-Χ′Y′Z′坐标系中式(6)可表示为：

根据坐标旋转变换，圆锥左侧的V面外形轮廓线方程为：

联立式(7)～(8)并消去 z′，并且由于R球=h sin α，可得到

因此，

用类似的方法可以推导Rmax。圆锥面右侧的V面外形轮廓线方程为：

联立式(7)、(11)并消去 ′z，可得到：

若将θ=90°带入式(10)、(12)，可得到柱锥正交时，与上文中讨论的柱锥正交时的第(1)类和第(2)类形式的临界尺寸相符。若θ＜90°，则Rmin＜Rmax。若 θ＞90°，则Rmin＞Rmax。若令θ′=180°−θ，则θ＞90°时，而这是圆柱从左下向右上倾斜时，取θ′角为柱锥轴线所夹锐角时的情形。

结论 2.柱锥轴线倾斜相交时，若则左侧相贯线为 交 线 第 (1)类 形 式 。 若则左侧相贯 线 为 交 线 第 (2)类 形 式 。 若则右侧相贯线为 交 线 第 (1)类 形 式 。 若则右侧相贯线为交线第(2)类形式。

2.3 柱锥斜交第(2)类形式相贯线上最里点位置

本节讨论柱锥斜交第(2)类形式中如何利用辅助球法确定左侧相贯线的最右点R以及右侧相贯线的最左点位置L。首先讨论如何确定这两个最里点所对应的辅助球半径R。

上文已经得到最里点R和L随圆柱半径变化时其正面投影的分布轨迹直线段CD，点R的正面投影r′应位于轨迹直线ΒC上。确定点R的辅助球与圆锥的交线圆的正面投影和该辅助球与圆柱的交线圆的正面投影之交点r′。同理，确定点L的辅助球与圆锥的交线圆，以及该辅助球和倾斜圆柱交线圆的交点为L，点L的正面投影l′应位于轨迹直线BD上。

图5 极值点R和L对应的辅助球

球心位于点O，半径为Ra的辅助球方程为：

辅助球与圆锥面的交线为两个水平圆，其正面投影为两条水平直线1′2′和3′4′，如图5所示。联立式(1)、(13)，消去y，1′2′以及3′4′直线上的点应满足：

辅助球与圆柱面交线为两个正垂圆，其正面投影为倾斜直线5′6′和7′8′，联立式(2)、(13)，消去y，5′6′和7′8′直线上的点应满足方程：

联立式(5)、(15)，消去x，得到两个解：

将式(16)中两个z值分别代入式 (14)， 得到相同的辅助球半径Ra:

注意到式(17)中若R柱=R球，则Ra=R球，符合柱锥斜交时左右两侧相贯线第(3)类形式中最里点的情况。若θ=90°，则Ra=R球，符合柱锥正交时左右两侧相贯线上最里点所对应的辅助球半径。

此外，图5中轴线交点O到直线5′6′和直线7′8′的距离，即线段Om1′和Om2′的长度为：

结论 3.柱锥轴线倾斜相交，左右两侧相贯线若为第(2)类形式，左侧相贯线上最右点R和右侧相贯线的最左点 L对应的辅助球半径为在正面投影中，该辅助球与圆柱的交线到柱锥轴线交点的距离为

3 特殊点的精确作图步骤

3.1 相贯线上最里点图解方法

根据柱锥相贯线的解析形式分析，以及柱锥斜交相贯线上最里点分布规律的3个结论，采用辅助球面法图解左侧相贯线上最右点R和右侧相贯线最左点L的精确位置。具体作图步骤如下：

(1) 确定最里点分布轨迹直线如图6所示。在正面投影中过圆锥锥顶作与圆锥轴线垂直的水平直线，与圆柱轴线交于点A。过点O作半径为R球的圆锥内切球，找到该辅助球与圆锥交线的正面投影1′2′。过点O作直线O3′垂直于圆柱轴线，交半径为R球的辅助球的正面投影于点3′，O3′交直线1′2′于点B。过AB两点作直线，与圆锥正面投影左侧外形轮廓线交于点C，与圆锥右侧外形轮廓线交于点D。CD即为柱锥相贯线第(2)类形式中最里点的分布轨迹。

(2) 确定左右两侧相贯线形式。柱锥相贯线的具体形式取决于R柱和R球之间的大小关系。如图6所示，过点3′作直线p′q′平行于圆柱轴线并与圆柱内切球正面投影相切，交圆锥左侧外形轮廓线于点p′，交圆锥右侧外形轮廓线于点 q′。根据圆柱上方的外形轮廓线与圆锥左侧外形轮廓线交点s′的位置可以确定左侧相贯线的形式：①若点s′与点C重合或点 s′位于点 C之下，则柱锥左侧相贯线属于(1)类形式，点S为左侧相贯线上的最右点。②若点s′位于点C和点p′之间，左侧相贯线属于(2)类形式。左侧相贯线上的最右点位于线段BC上。③若点s′与点p′重合，则左侧相贯线属于第(3)类形式。点B为左侧相贯线上的最右点。④若点s′位于点p′的上方，则柱锥相贯线属于第(4)类形式，相贯线分为上下两支。

右侧相贯线的最左点分析方法类似(见图 6)：①若圆柱上方的V面外形轮廓线与圆锥右侧外形轮廓线交点t′与点D重合或位于点D之下，则柱锥右侧相贯线属于第(1)类形式。点T为右侧相贯线的最左点。若点t′位于点D和点q′之间，则右侧相贯线属于第(2)类形式。右侧相贯线上的最左点位应于线段BD上。③若点t′与点q′重合，两侧相贯线均属于第(3)类形式。点B为右侧相贯线上的最左点。④若点t′在点q′的上方，两侧相贯线均属于第(4)类形式，相贯线分为上下两支。

图6 图解极值点分布轨迹并确定柱锥相贯线的形式

(3) 求作第(2)类形式两侧相贯线最里点位置。完成左右两侧相贯线形式分类后，若左侧或右侧相贯线属于第(2)类形式，则需作图确定其最里点R或L所对应的辅助球与圆柱交线的正面投影，即图 5中直线5′6′或直线7′8′的位置。

由式(18)，可以得到：

图7 ?以及?图解方法

①利用R球作为直角三角形斜边，R柱作为直角三角形一条直角边，构造直角三角形，则另一条直角边长度为如图7所示。时，首先图解h cosa c osq 的长度，如图 7所示：线段|v′2′|= h cosa。在圆柱轴线上截取线段长度 |Og′|=| v′2′|，过点g′向圆锥轴线作垂线，交圆锥轴线于点k′，则|O k ′|= h cosac osq 。利用长度为h的线段作为斜边，长度为 h cosac osq的线段作为一条直角边，构造直角三角形，则另一条直角边的长度为如图7所示。

图8 图解m1′和m2′的位置及r′和l′位置

在圆柱轴线上截取线段|Om1′ |=|Om2′ |=|RM|确定点m1′和m2′位置，过m1′点作直线5′6′垂直圆柱轴线交圆柱V面外形轮廓线于点5′和点6′，直线5′6′为左侧相贯线上最右点对应辅助球与圆柱交线的正面投影。直线5′6′与直线BC的交点r′即为柱锥左侧相贯线上最右点的正面投影。类似的，过 m2′点作直线7′8′垂直圆柱轴线交圆柱V面外形轮廓线于点7′和点8′，直线7′8′为右侧相贯线上最左点所对应辅助球与圆柱的交线的正面投影。直线 7′8′与直线BD的交点l′即为柱锥右侧相贯线上最左点的正面投影。

到此，柱锥斜交且左右两侧相贯线为第(2)类形式时，左侧相贯线上最右点和右侧相贯线的最左点的图解方法已给出。注意此图解方法也适用于θ＞90°时，即圆柱从左下向右上倾斜时，两侧相贯线上最里点的作图。

3.2 R柱＜R球时相贯线上最前(后)点图解方法

当R柱＜R球时，两侧相贯线上的最前和最后点位置是圆柱面上最前和最后的两条轮廓素线与圆锥面的交点。因此，要图解这两个点的位置，可使用直线与立体相交的作图方法求作[2]。以最前点F1和F2为例，其作图步骤如图9所示。在圆柱面最前方的素线上任取两点Ⅰ，ⅠⅠ。过圆锥顶点V和Ⅰ，ⅠⅠ两点构造辅助平面VⅠⅡ。辅助面VⅠⅡ与圆锥相交得到交线VS和VT。直线VS和VT与圆柱最前方素线的交点即为所求点F1和F2位置。同理可以求作相贯线上的最后点。

图9 相贯线上最前点F1和F2图解方法

4 结 论

通过解析方法详细推导了柱锥轴线相交，相贯线四类形式的分类条件。证明了交线为第(2)类形式时，即相贯线分为左右两支，且最里点和最高点不重合时，左侧相贯线上的最右点及右侧相贯线上最左点的分布轨迹，并给出了该轨迹的图解方法。两侧相贯线上最里点的精确位置可以通过辅助球面法作图确定。结合解析分析，在相贯线第(2)类形式中，确定最里点所对应的辅助球半径应为基于这个结论，给出了相贯线第(2)类形式中最里点的图解方法。利用直线和立体相交的作图方法，还给出了相贯线第(1)、(2)类形式中最前最后点的图解法。因此，在柱锥正交或斜交时，相贯线上的所有特殊点位置都可以精确图解。

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Analytical Characteristics of Intersection Curve between a Cylinder and a Cone with Two Obliquely Intersected Axes and Graphical Method of Locating Special Points

Liu Min1, Lin Xi2, Feng Juan1
(1. Mechanical Engineering Department, Tsinghua University, Beijing 100084 China; 2. Civil Engineering Department, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

In general situations, there will be two spatial intersection curves generated when a cylinder and a cone are intersected with each other. This paper analyzes the various cases of the intersection curves and their special point locations when the axes of the cylinder and the cone are obliquely or perpendicularly intersected. If the intersecting curves are separated as two branches on the left and right, the distribution equation of the innermost points on the two intersection curves is obtained through theoretical analysis. The paper also analyzes the exact geometric conditions for classifying the four forms of the intersection curves and their corresponding cylinder radius distributions. The auxiliary sphere radius corresponding to the inner most point is also obtained. Finally, a graphical method of locating all the special points on the intersection curve is proposed in the paper.

descriptive geometry; intersection curve of a cylinder and a cone; oblique intersection; analytical proof; graphical method

TB 23

A

2095-302X(2014)05-0682-08

2013-07-23；定稿日期：2013-10-31

刘 敏(1976–)，女，湖南衡阳人，讲师，博士。主要研究方向为CAD/CAM、工程图学、计算机图形学。E-mail：minliu@tsinghua.edu.cn