具有多次拦截时机的防空火力分配建模及其优化方法研究

张蛟,王中许,陈黎,武兆斌,陆建锋

（1.南京理工大学计算机科学与工程学院,江苏南京 210094；2.中国人民解放军63961部队,北京 100012）

具有多次拦截时机的防空火力分配建模及其优化方法研究

张蛟1,2,王中许2,陈黎2,武兆斌2,陆建锋1

（1.南京理工大学计算机科学与工程学院,江苏南京 210094；2.中国人民解放军63961部队,北京 100012）

防空火力分配采用一次性完全分配原则容易造成火力资源浪费,针对该问题,以来袭目标到火力单元的飞临时间为依据,筛选出具有多次拦截时机的火力单元组,并按照拦截时机的先后顺序逐步释放火力单元,以毁伤概率为优化目标,同时兼顾火力资源消耗,建立了一种具有多次拦截时机的防空火力分配模型。在此基础上,采用混沌离散粒子群混合优化（CDPSO）算法对模型进行求解,以提高算法的全局搜索能力,避免陷入局部极值。通过仿真验证了模型及算法的合理性和有效性,为防空火力分配问题的求解提供了一条新思路。

兵器科学与技术；整数规划；火力分配；多次拦截时机；混沌优化；离散粒子群优化

0 引言

防空火力分配是防空指挥当中的重要环节,是决定作战效果的关键因素之一[1]。防空火力分配的目的就是适时、合理地将来袭目标分配给各防空火力单元,尽量使防空火力资源发挥最大的作战效能,以确保保卫目标的安全。

目前,传统防空火力分配模型往往单纯基于联合毁伤概率越大越好的分配准则[2-4],一次性将所有火力资源完全分配。在火力资源相对充足、目标数目相对较少的情况下,这种模型会导致火力资源的浪费,而且当有后续目标到来时,无法持续提供火力资源进行拦截。针对这种情况,文献[5]将联合毁伤概率除以消耗的火力单元数量定义为联合毁伤概率平均值,火力分配模型是基于最大化联合毁伤概率平均值进行的,即在最大化联合毁伤概率的同时,尽量少地消耗火力资源。但由于联合毁伤概率平均值往往是在消耗的火力单元数为1时达到最大值,所以只选择毁伤概率最大的火力单元进行拦截在防空火力分配中往往是不够的。文献[6]提出了一种匹配推理模型,在最大化联合毁伤概率的同时,最小化火力资源的消耗,但是这两个指标往往不能同时到达极值,因此分配结果的优劣,还取决于对指标的评价。文献[7-9]对拦截同一目标的火力单元数量进行了限制,并以此为约束条件进行火力优化分配,分配结果往往会选择相距较近的火力单元拦截同一目标,这样容易引起火力单元间的相互干扰,如果目标到这些火力单元的飞临时间还比较长,则容易贻误战机。另外,防空火力分配问题实质上是一种整数型非线性组合优化决策问题,属于N-P难题,求解算法已有多种,各有优势,具体包括：匈牙利算法[2]、遗传算法[3,10]、蚁群算法[7]、粒子群优化（PSO）算法[5,8-9]等,其中PSO算法的应用最为广泛,特别是以PSO算法为基础的混合优化算法更是当前的研究热点[11]。

基于此,为了解决防空火力分配中采用一次性完全分配原则容易造成资源浪费的问题,本文提出了一种具有多次拦截时机的防空火力分配新模型。该模型根据目标到各火力单元的飞临时间（即目标进入火力单元拦截区的时间）差,筛选出由飞临时间差大于预设门限的火力单元构成的火力单元组,优先分配威胁度大的目标且选择能最大化毁伤概率的火力单元组进行拦截,在拦截过程中按拦截时机逐步释放火力单元组内的火力资源。并且进一步提出采用混沌和离散粒子群混合优化（CDPSO）算法来求解基于新模型的防空火力分配问题,以提高算法对全局最优解的搜索能力。

1 具有多次拦截时机的防空火力分配数学模型

在防空作战中,火力优化分配遵循的主要原则是：优先分配目标威胁度大且选择毁伤概率高的火力单元进行拦截,整体上达到最优分配,同时兼顾火力资源的消耗情况。本文在传统防空火力分配模型的基础上,提出了一种改进的防空火力分配模型,该模型很好地遵循了这一原则。

假设在某次防空作战中,空中m批来袭目标,进入了n个火力单元的防区,每个来袭目标的编号为Tj,j=1,2,…,m,每个火力单元的编号为Wi,i= 1,2,…,n.令xij表示决策变量,若分配第i个火力单元拦截第j个目标,则xij=1,否则xij=0,pij表示第i个火力单元对第j个目标的毁伤概率,则所分配火力对第j个目标的联合毁伤概率为

式中：Cj表示第j个目标的威胁度。

这个模型是基于求联合毁伤概率越大越好的一次性分配准则,没有考虑火力资源的消耗问题,在火力资源相对充足、目标数目相对较少的情况下,基于这个模型的防空火力分配会导致火力资源浪费,而当后续目标到来时,无法持续提供火力。因此,本文在此基础上提出了一种具有多次拦截时机的防空火力分配模型,数学描述如下：

式中：i1、i2为任意两个火力单元；表示目标j到第i1个火力单元的飞临时间与到第i2个火力单元的飞临时间之差是否大于预设的门限Γt,若||≥,并且和均大于火力分配时间环带的上界小于时间环带的下界,即满足火力分配环带的时间窗口要求,则=1,否则=0.这里飞临时间定义为目标进入火力单元拦截区的时间。

模型（3）式具体分析如下：

1）模型中的目标函数3（a）式保证优先拦截威胁度大的目标,并且选择联合毁伤概率高的火力单元组进行拦截,火力单元组中的火力单元满足约束3（b）和约束3（c）的要求。

2）模型中的约束3（b）式表示一个火力单元最多只能拦截一个目标。当某火力单元能够拦截多个目标时,则应对该火力单元进行分解,将其分解成若干个只能拦截一个目标的子火力单元后,再让这些子火力单元作为独立的火力单元参与火力分配。

3）模型中的约束3（c）式保证目标到拦截该目标的任意两个火力单元的飞临时间之差大于预设的门限由于的存在,拦截同一目标的火力单元往往不在同一时刻开火,即拉开了各火力单元的拦截时间窗口,形成了具有多次拦截时机的防空火力分配。在拦截过程中,只有当前一火力单元在一段时间内没有成功拦截目标时,后一火力单元才有机会进行二次拦截,从而在毁伤目标的同时兼顾了火力资源的消耗情况,同时还避免了火力单元间的相互干扰。预设门限Γt的大小可以根据各火力单元的拦截时间窗口或者最佳拦截时间窗口以及战场态势由指挥员或者指挥系统确定。在火力资源相对充足、目标数目相对较少的情况下,提高门限Γt,避免火力单元的过饱和拦截,达到节省火力资源的目的；反之,在火力资源相对不足、目标数目相对较多的情况下,则降低门限,达到充分利用火力资源的目的,比如当火力单元数小于目标数时,可以设置门限=0.

综合上述分析可以看出,本文提出的防空火力分配模型（3）式通过筛选出具有多次拦截时机的火力单元组,同时比较各火力单元组对目标的联合毁伤概率,优先考虑威胁度大的目标,来进行火力优化分配。分配时综合考虑了毁伤概率和资源消耗问题,通过改变预设门限,能够实现在大毁伤和少消耗之间进行调整,达到既节省火力资源又使目标联合毁伤概率尽量大的效果。

此外,当某批目标有意强烈机动导致其到各火力单元的飞临时间均发生显著变化时,则应对所有目标重新进行火力分配。

由于模型（3）式带有非线性约束,不能用消元法将该问题化为无约束问题。为此,采用罚函数法将其转化为一个无约束优化问题来求解。定义函数

由于σ是很大的正数,（6）式的最优解必使得hj和gj等于0,即求解（6）式能够得到（3）式的解。同时, （6）式实质上是一个整数型非线性规划问题,属于N-P难题,这里采用CDPSO混合优化算法来求解。

2 求解防空火力分配的混沌离散粒子群混合优化算法

2.1 基本离散粒子群优化算法

基于连续空间离散粒子群优化（DPSO）算法保留了连续PSO算法的运算模式,具有计算简单、收敛速度快、鲁棒性好等优点,在求解整数型非线性规划问题中取得了不少成果[11]。基于此,本文采用该算法对火力优化分配问题进行研究。

用DPSO算法求解火力分配问题时,首先应该对解的位置进行编码,这里采用一种基于实数的编码方式,用粒子位置表示一种火力分配方案。设粒子位置矢量维度为n,即火力单元的数量,粒子总数为L,则第l个粒子的位置矢量为

式中：Xli（i=1,2,…,n）为0～m之间的整数,m表示目标的数量。Xli=j,表示第i个火力单元分配给了目标j；Xli=0表示第i个火力单元没有分配给任何目标。对粒子进行解码时,从左至右扫描粒子位置矢量,第i个分量的取值即表示火力单元i的分配结果。

进一步,设第l个粒子的速度矢量为式中：vli（i=1,2,…,n）为-（m-1）～（m-1）之间的整数。

第l个粒子在i维子空间的飞行速度和位置按下式进行更新：

式中：ω为惯性系数；r1和r2是介于（0,1）之间且服从均匀分布的独立随机变量；学习因子h1和h2为非负常数；表示第l个粒子当前时刻搜索到的最优位置,又称个体极值；表示整个种群当前时刻搜索到的最优位置,又称全局极值；[·]表示取整；这里取vmax=m-1,vmin=-m+1,Xmax=m,Xmin=0.

虽然该DPSO算法能够有效地解决火力分配问题,但是算法在寻优过程中存在两个不足：一是随机初始化过程不能保证粒子个体的质量；二是当个体极值和全局极值占优势时,算法存在容易陷入早熟收敛及局部极值的缺点。针对上述弊端,将混沌引入DPSO算法,利用混沌运动具有遍历性、随机性和对初始条件的敏感性等特点,产生大量初始群体,从中择优选出初始粒子,并且在寻优过程中对当前粒子个体产生混沌扰动,以使粒子跳出局部极值区间。

2.2 CDPSO混和优化算法

目前对混沌尚无严格的定义,一般将由确定性方程得到的具有随机性的运动状态称为混沌。Logistic映射就是一个典型的混沌系统,迭代公式为

式中：μ为控制变量,当μ=4,0≤z0≤1,Logistic完全处于混沌状态。利用混沌运动可以进行优化搜索,其基本思想是首先产生一组与优化变量相同数目的混沌变量,用类似载波的方式将混沌引入优化变量使其呈现混沌状态,同时把混沌运动的遍历范围放大到优化变量的取值范围,然后利用混沌变量进行优化搜索。

本文利用混沌运动改进基本DPSO算法,将混沌和DPSO相结合产生一种新的混合优化算法CDPSO.该算法的基本思想是采用混沌初始化改善粒子个体质量,并且利用混沌扰动避免DPSO算法陷入局部极值。这里取μ=4时的Logistic映射（11）式为混沌信号发生器。CDPSO混合优化算法的具体步骤如下所示：

步骤1混沌初始化。随机产生一个n维每个分量数值在0～1之间的向量z1=[z11,z12,…,z1n],根据（11）式,zl+1i=μzli（1-zli）,i=1,2,…,n；l=1, 2,…,N-1,得到N个z1,z2,…,zN.将zl的各个分量载波到粒子位置变量的取值范围：Xli=mzli,l=1, 2,…,N；i=1,2,…,n.计算目标函数（4）式,从N个初始群体中选择性能较好的L个粒子位置作为初始粒子位置,随机产生L个粒子速度。

步骤2随机产生一个n维每个分量数值在0～1之间的向量u0=[u01,u02,…,u0n].

步骤3如果迭代次数k＜规定迭代次数kmax,则执行步骤4,否则转步骤10.

步骤4对l=1,2,…,L,执行步骤5～7.

步骤5按（9）式,更新粒子的速度。

步骤8l=l+1,如果l≤L,则转步骤5,否则执行步骤9.

步骤9k=k+1.对每个粒子,计算其适应值优于原来的个体极值,设置当前适应值为个体极值,设置当前粒子位置为个体极值位置；进一步根据各个粒子的个体极值找到全局极值和全局极值位置转步骤3.

3 算例仿真及结果分析

为了验证本文提出的具有多次拦截时机的防空火力分配模型的优点,以及CDPSO混合优化算法求解该防空火力分配问题的有效性和优越性,下面进行算例仿真。

算例1：假设在某次防空作战中,1架敌机进入我方防区,在敌机来袭方向有4个火力单元,战场态势如图1所示。各火力单元对敌机的毁伤概率为P=[P1,P2,P3,P4]=[0.75,0.7,0.9,0.8]；敌机对保卫目标的威胁度为C=0. 9；敌机到各火力单元的飞临时间为t=[t1,t2,t3,t4]=[40 s,45 s,65 s,73 s],火力分配的时间环带为（20 s,100 s）,即目标进入了各火力单元的时间分配环带。

图1 战场态势图Fig.1 Battlefield situation

这里分别采用本文提出的防空火力分配模型M1、传统防空火力分配模型M2、文献[5]提出的火力分配模型M3以及文献[7]提出的防空火力分配模型M4进行火力优化分配。其中M1中的预设门限Γt=20 s；M3中的毁伤概率门限为0. 9；M4中的资源约束为：攻击同一目标的火力单元数不超过2个。4种模型的最优分配方案及对目标的毁伤概率如表1所示。

表1 4种模型的最优分配方案及毁伤概率Tab.1 Optimal assignment solutions and damage probability of four models

从表1可以看出,基于一次性完全分配原则的传统防空火力分配模型M2采用4个火力单元拦截同一个目标,尽管取得了对目标的最高毁伤概率,但是也造成了火力资源的浪费；文献[5]提出的火力分配模型M3只采用毁伤概率最高的火力单元拦截目标,尽管极大地节省了火力资源,但是对目标的毁伤概率明显低于M2模型对目标的毁伤概率；文献[7]提出的火力分配模型M4采用了毁伤概率最高的两个火力单元拦截目标,在毁伤概率没有明显下降的情况下,极大节省了火力资源,但是拦截目标的两个火力单元相距较近,在拦截同一目标时容易产生相互干扰,并且目标距离这两个火力单元还比较远,容易贻误战机；本文提出的防空火力模型M1采用了相距较远的两个火力单元拦截目标,同样在毁伤概率没有明显下降的情况下,极大节省了火力资源,同时还避免了火力单元间的相互干扰,并且不会贻误战机。

算例2：假设在某次防空作战中,6架敌机进入我方防区,在敌机来袭方向有10个火力单元。各火力单元对敌机的毁伤概率为

火力分配的时间环带为（40 s,120 s）,即目标进入了各火力单元的时间分配环带。

这里采用本文提出的防空火力分配模型进行火力优化分配,其中预设门限=30 s,并且分别采用本文提出的CDPSO混合优化算法、基本DPSO算法以及遗传算法（GA）分别对该火力分配问题进行求解。其中,基本DPSO算法中的惯性系数ω由最大惯性系数ωmax=0.9线性递减到最小惯性系数ωmin=0.4,递减步长由最大迭代次数kmax以及ωmax、ωmin共同确定,学习因子h1=h2=1. 496；混沌信号发生器中的μ=4,初始种群数N=100,混沌扰动范围为[-2,2]；GA中的选择运算使用比例选择算子,交叉运算使用单点交叉算子,交叉概率取0.8,变异运算使用基本位变异算子,变异概率取0.1.粒子数目L=50个,每个粒子代表一种火力分配方案,火力最优分配方案如表2所示。

表2 最优分配方案Tab.2 Optimal assignment solutions

从表2可以看出,本文提出的防空火力分配模型,筛选出了具有多次拦截时机的火力单元组,比如W1和W7、W2和W9、W3和W10,并且比较各火力单元组对目标的联合毁伤概率,优先考虑威胁度大的目标,比如T3、T5和T6,来进行火力优化分配,最终选用了10个火力单元中的9个对来袭的6个目标进行了拦截,对每个目标的联合毁伤概率P= [0.880.870.970.90.9730.976].

为了检验本文提出的CDPSO混合优化算法的性能,进一步对本文提出的CDPSO混合优化算法、基本DPSO算法以及GA分别进行了50次仿真,每次仿真的最大迭代次数kmax=100.将3种算法的平均最优解以及达到最优解的迭代次数进行比较,比较结果如表3和表4所示。

表3 3种算法的平均最优解Tab.3 Average optimal solutions of three algorithms

表4 3种算法达到最优解的迭代次数Tab.4 The number of iterations of three algorithms for optimal solution

从表3和表4可以看出,CDPSO混合优化算法的平均最优解等于全局最优解,并且达到最优解的迭代次数也是最少的,这表明CDPSO混合优化算法每次仿真均能够找到全局最优解,并迅速收敛至全局最优解；基本DPSO算法和GA不仅收敛速度慢,而且在迭代过程中常陷入局部最优解。通过比较可以看出,本文提出的CDPSO混合优化算法是快速且有效的。

4 结论

提出了一种具有多次拦截时机的防空火力分配模型。该模型根据目标到各火力单元的飞临时间差,筛选出由飞临时间差大于预设门限的火力单元构成的火力单元组,在拦截过程中,只有当前一火力单元在一段时间内没有成功拦截目标时,后一火力单元才有机会进行二次拦截,从而在毁伤目标的同时兼顾了火力资源的消耗情况,同时还避免了火力单元间的相互干扰。在火力资源相对充足的情况下,提高预设门限,能够避免火力单元的过饱和拦截,达到节省火力资源的目的。反之,在火力资源相对不足的情况下,则降低预设门限,达到充分利用火力资源的目的。为解决一次性完全分配原则容易造成资源浪费的问题提供了一条新思路。在此基础上,采用CDPSO算法对模型进行求解。仿真结果表明,所提防空火力分配模型能够在优化毁伤概率的同时,有效节省火力资源；CDPSO算法能够有效提高对全局最优解的搜寻效率。

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Modeling and Optimization on Antiaircraft Weapon-target Assignment at Multiple Interception Opportunity

ZHANG Jiao1,2,WANG Zhong-xu2,CHEN Li2,WU Zhao-bin2,LU Jian-feng1
（1.School of Computer Science and Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,Jiangsu,China； 2.PLA Unit 63961,Beijing 100012,China）

In antiaircraft weapon-target assignment,the weapon resources could be wasted if all weapons are fully assigned at a time.In view of this situation,a weapon-target assignment model of multiple interception opportunity is proposed.The model is used to screen the weapon groups for multiple interception based on flying time of target approaching to a weapon unit,and the weapon units in the weapon group intercept the target according to the time order.The model not only optimizes the target damage probability, but also considers the consumption of weapon resources.Based on the model,a mixed chaos and discrete particle swarm optimization algorithm is presented to solve the weapon-target assignment problem.The proposed algorithm improves the seeking ability for the global optimal solution so that the local extremum is avoided.Simulation results show the rationality of the weapon-target assignment model and the effectiveness of the proposed mixed optimization algorithm,which is a new thought for antiaircraft weapon-target assignment.

ordnance science and technology；integer programming；weapon-target assignment；multiple interception opportunity；chaos optimization；discrete particle swarm optimization

TP301.6

A

1000-1093（2014）10-1644-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.10.019

2013-11-23

中国博士后科学基金项目（2012M521833）

张蛟（1979—）,男,工程师,博士研究生。E-mail：jjall999@sina.com；王中许（1964—）,男,高级工程师,博士。E-mail：wangzhongxu1001@163.com