高中数学课堂教学中的合作探究案例分析

汤林松

苏霍姆林斯基说过：“人的内心有一种根深蒂固的需要，人们总想感到自己是发现者、研究者、探寻者。”可见，学生都有着发现、探究知识并获得成功的强烈愿望。因此，一次高效的课堂探究活动，在激发学生的思维、提高学生的学习能力方面，具有不可估量的作用。那么，如何让学生在课堂的有限时间内完成对问题的深入探究？如何让不同层面的学生都积极参与到学习活动中来？这就要求教师能够精心地设计问题，充分考虑提出问题的时机，让各小组的学生之间能有合作和分享，在学生交流、互动的过程中教师能进行必要的点拨，把握好探究的方向和节奏，对于课堂生成教师能做到机智应对。笔者在2012年12月份参加了第八届“名师之路”大型教研活动暨南通市高中高效课堂推进会，对上课教师的课堂探究活动进行了认真的观察、分析，收获良多，在此，摘选几个优秀案例，供同行们参考。

一、精心创设问题情境，培养学生的探究欲望

【案例片段】苏教版必修5的正弦定理——对公式和定理的建构

如图1，Rt△ABC中的边角关系：（用边a，b，c，角A，B，C，外接圆半径R表示）

sin A= ；sin B= ；sin C = .

a= ；b= ；c= .

如图2、3，任意△ABC中的边角关系也可以如此表示吗？如何证明？（图2、3中线段BD和CD是在探究过程中逐步加上去的）

教师先用投影仪给出第一个问题让学生解答，因为是在熟悉的直角三角形中求解，学生们很快就得出结论：■=■=■=2R。接着，教师给出第二个问题让学生们分组合作探究，笔者观察了身旁一个小组的互动情况。

学生显得很好奇，探究欲望很强烈，跃跃欲试。

生1： 这个结论应该是成立的，在等边三角形中显然成立。

生2：是啊，可怎么证明呢？

师：看能不能把任意三角形问题转化为直角三角形问题来解决。

学生抬头看图1 。（沉思）

生3： 图1中有直径的，这里也作一条直径试试。

生4： 对啊！ 这样就可以有直角三角形了。（兴奋）

学生开始各自动手作图、研究、讨论，得出这个问题的证明方法，互相交流并完善，然后由小组代表交给教师，教师再用实物投影仪展示其中写得较好的几组作品并做适当的补充，最后用投影仪给出这个问题的证明过程如下：

证明：不妨设∠A为最大角。

（1）若∠A为直角（图1），我们已经证得结论成立。

（2）若∠A为锐角（图2），作△ABC的外接圆圆O，作直径BD交圆O于D，连结CD。因为直径所对的圆周角是直角，所以∠BCD=90°，因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D=∠A，所以■=■=BD（直径）=2R。同理可得■=2R，所以 ■=■=■=2R

（3）若∠A为钝角（图3），作ABC的外接圆圆O，作直径BD交圆O于D，连结CD。因为∠D=180°-∠A，所以■=■=■=2R，同理可得■=2R，所以■=■=■=2R。

由（1）（2）（3）知，结论成立。

狄更斯说过：“ 教学的艺术全在于如何恰当地提出问题和巧妙地引导学生作答。”在该案例中，教师没有照搬教材上的设计引入正弦定理，也没有按照教材上的两种证法给出证明，而是在习题的基础上精心设计问题情境，引发学生的认知冲突，体现了教师独具匠心的一面。首先，在直角三角形这个学生的“最近发展区”上建构新知，能有效地激发学生的思维，自然地唤起学生的探究欲望。其次，教师通过三角形的外接圆，引领学生把任意三角形问题转化为直角三角形问题，这不仅提高了学生分析问题和解决问题的能力，而且让学生从一开始就充分认识到正弦定理中的比值是三角形外接圆的直径，这样有助于学生更全面、更深刻地理解定理和公式。教材上的两种证法因为没有引入外接圆，故没有明确比值为直径，虽然在后面的习题中有所补充，但总有些“相见恨晚”的感觉。尤其是证法2利用了向量的数量积公式，方法虽好但门槛较高，笔者认为这种方法更适合课堂讲授或者课外探究。

二、设计课堂有效对话，引领学生深入探究

【案例片段】苏教版选修2-1的空间角的计算——对用向量法求二面角的进一步探究

如图4， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1的大小。

学生通过计算分别得到了平面A1BD的法向量n1和平面C1BD的法向量n2的坐标，由于选取法向量方向的不同，在求cos时出现了两个不同的结果■和-■，而二面角A1-BD-C1的余弦值是唯一的，应如何取舍呢？

师： 根据图形可知，二面角A1-BD-C1的余弦值为■。（书本上的做法）

同学们开始议论起来，表示有异议。

生1：为什么不是-■呢？图形上不好确定该二面角的平面角是钝角还是锐角。

师： 说得好，你很有想法，那有什么好的方法可以解决这个问题呢？

学生沉思。

生2 ：先确定两个法向量的方向。

师： 好的， 大家画一下二面角半平面法向量的所有情况，先独立思考，再分组研究，寻找规律。

全体学生开始动手画图，独立思考后把自己的想法和小组的同伴交流、分享。

生3：当两个法向量的方向同时指向半平面或同时离开半平面时，平面角和法向量的夹角互补；当其中一个法向量指向半平面，另一个法向量离开半平面时，平面角和法向量的夹角相等。

师：分析得好，能否用更简洁的语言描述这个规律呢？

生4： 同进同离则补，一进一离则等。

生5：我有更简洁的：同则补，异则等。（学生热列鼓掌）

德国教育家第斯多惠说过：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”在该案例中，教师没有把结论直接告诉学生，而是通过精心设计的师生对话，引导学生发现问题，激起学生生动、活泼的思考，激励学生通过自己的能力探究和解决问题，学生最终突破难点，获得了成功。

三、引入科学评价，促成师生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三复习课——对高考真题的数学课堂功能的挖掘

若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是 .

教师通过引导学生小组合作探究，得出如下三种解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，当且仅当2（x-1）=■即x=3时取等号.

∴xy的最小值为18.

方法二：∵x，y为正数，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值为18.

方法三：若设2xy=2t，则2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的两个正根. 从而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同时成立得t≥18.∴xy的最小值为18.

师：请同学们探究一下这三种方法的思想来源。

各小组同学展开热烈讨论。

生1：这三种方法分别从函数、不等式、方程的角度来解决问题 。

生2：解决不等式问题需要函数的帮助，解决函数问题需要方程、不等式的帮助。

师：说得很不错，函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，我们借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化难为易、化繁为简。

师：同学们在刚才合作交流的过程中，表现都很好，下面我想请同组的生3和生4两位同学互相点评一下对方。

生3：你在别人发言时能认真倾听；在交流时，把自己的想法和知道的信息都说出来，而且在合作交流的过程中你都在积极思考问题，值得我们学习。

生4： 你对问题有独到的见解，大家体会到了你丰厚的知识、扎实的基本功。我欣赏的不仅是你优异的成绩，还有你执着的精神。

美国著名心理学家威廉·詹姆士曾说过：“人类本质中最殷切的需求是渴望被肯定。”在本案例中，学生通过合作探究，自然地“悟”到了数学思想，完成了对学习方法的升华。同时，教师引入了学生间的相互评价，使学生在得到同伴肯定的同时，全面、正确地认识了自己，增强了自信心，获得了一次愉快的情感体验，并促使他们在以后的合作探究中有更好的表现。

三、引入科学评价，促成师生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三复习课——对高考真题的数学课堂功能的挖掘

若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是 .

教师通过引导学生小组合作探究，得出如下三种解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，当且仅当2（x-1）=■即x=3时取等号.

∴xy的最小值为18.

方法二：∵x，y为正数，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值为18.

方法三：若设2xy=2t，则2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的两个正根. 从而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同时成立得t≥18.∴xy的最小值为18.

师：请同学们探究一下这三种方法的思想来源。

各小组同学展开热烈讨论。

生1：这三种方法分别从函数、不等式、方程的角度来解决问题 。

生2：解决不等式问题需要函数的帮助，解决函数问题需要方程、不等式的帮助。

师：说得很不错，函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，我们借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化难为易、化繁为简。

师：同学们在刚才合作交流的过程中，表现都很好，下面我想请同组的生3和生4两位同学互相点评一下对方。

生3：你在别人发言时能认真倾听；在交流时，把自己的想法和知道的信息都说出来，而且在合作交流的过程中你都在积极思考问题，值得我们学习。

生4： 你对问题有独到的见解，大家体会到了你丰厚的知识、扎实的基本功。我欣赏的不仅是你优异的成绩，还有你执着的精神。

美国著名心理学家威廉·詹姆士曾说过：“人类本质中最殷切的需求是渴望被肯定。”在本案例中，学生通过合作探究，自然地“悟”到了数学思想，完成了对学习方法的升华。同时，教师引入了学生间的相互评价，使学生在得到同伴肯定的同时，全面、正确地认识了自己，增强了自信心，获得了一次愉快的情感体验，并促使他们在以后的合作探究中有更好的表现。

三、引入科学评价，促成师生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三复习课——对高考真题的数学课堂功能的挖掘

若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是 .

教师通过引导学生小组合作探究，得出如下三种解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，当且仅当2（x-1）=■即x=3时取等号.

∴xy的最小值为18.

方法二：∵x，y为正数，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值为18.

方法三：若设2xy=2t，则2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的两个正根. 从而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同时成立得t≥18.∴xy的最小值为18.

师：请同学们探究一下这三种方法的思想来源。

各小组同学展开热烈讨论。

生1：这三种方法分别从函数、不等式、方程的角度来解决问题 。

生2：解决不等式问题需要函数的帮助，解决函数问题需要方程、不等式的帮助。

师：说得很不错，函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，我们借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化难为易、化繁为简。

师：同学们在刚才合作交流的过程中，表现都很好，下面我想请同组的生3和生4两位同学互相点评一下对方。

生3：你在别人发言时能认真倾听；在交流时，把自己的想法和知道的信息都说出来，而且在合作交流的过程中你都在积极思考问题，值得我们学习。

生4： 你对问题有独到的见解，大家体会到了你丰厚的知识、扎实的基本功。我欣赏的不仅是你优异的成绩，还有你执着的精神。

美国著名心理学家威廉·詹姆士曾说过：“人类本质中最殷切的需求是渴望被肯定。”在本案例中，学生通过合作探究，自然地“悟”到了数学思想，完成了对学习方法的升华。同时，教师引入了学生间的相互评价，使学生在得到同伴肯定的同时，全面、正确地认识了自己，增强了自信心，获得了一次愉快的情感体验，并促使他们在以后的合作探究中有更好的表现。