二元一次方程整数解及其应用浅析

2014-07-18 20:33王亮
新课程·上旬 2014年4期
关键词:每辆消元租车

王亮

在人教版七年级下册数学课本第112页的拓广探索训练中有一个题目为:现有1角、5角、1元硬币各10枚。从中取出15枚,共值7元。1角、5角、1元硬币各取多少枚?

初看这道题目,可能绝大部分学生能比较顺利的列出两个等量关系式:1角硬币数量+5角硬币数量+1元硬币数量=15,1角硬币钱数+5角硬币钱数+1元硬币钱数=7,进而可以列出两个三元一次方程:x+y+z=15①;0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解,可能是很多学生所未曾遇到过的。如何求解呢?这儿就不可避免的应用到二元一次方程的非负整数解。

二元一次方程的解有无数组,但在实际应用中,我们往往只需要求出其非负整数解。下面试举几例以供参考:

例1.小虎子有一张面值为10元的人民币,他想换成1元或2元的人民币,请你想一想,可能有几种兑换方法?

解:设可换成1元的人民币x张,2元的人民币y张,则x+2y=10。

∵x、y只能取非负整数。

∴其非负整数解为:x=0y=5,x=2y=4,x=4y=3,x=6y=2,x=8y=1,x=10y=0。

所以有6种兑换方法,分别为5张2元;2张1元和4张2元;4张1元和3张2元;6张1元和2张2元;8张1元和1张2元;10张1元。

例2.如果x、y为不等于0的自然数,且3x·3y=27,试求xy的值。

分析:由27=33,可得3x·3y=33,根据幂的性质可得x+y=3,再由x、y为不等于0的自然数可确定x、y的值。

解:因为3x·3y=27,即3x+y=33,所以x+y=3;又因为x、y为不等于0的自然数,所以有x=1y=2或x=2y=1;所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。综上所得:xy=2。

点评:因为x、y为不等于0的自然数,所以本题实际上是求x+y=3的整数解。

在近几年的中考题目中,也已经出现了类似题型的考查。

例3.(2013·绥化)某班组织20名同学去春游,同时租用两种型号的车辆,一种车每辆有8个座位,另一种车每辆有4个座位.要求租用的车辆不留空座,也不能超载。有_______种租车方案。

解:设租用每辆8个座位的车x辆,每辆有4个座位的车y辆,

根据题意得,8x+4y=20,

整理得,2x+y=5,

∵x、y都是正整数,

∴x=1时,y=3,

x=2时,y=1,

x=3时,y=-1(不符合题意,舍去),

所以,共有2种租车方案。

点评:本题考查了二元一次方程的应用,解题的关键在于车辆数是正整数。

由此我们可以看出,二元一次方程虽然具有无数组解,但在特定条件下整数解是可以求出的,从而可以用来解决一些生活中的实际问题。同样,借鉴“消元”思想和二元一次方程整数解我们就可以顺利解出刚才的硬币问题。

我们可以将方程x+y+z=15①,0.1x+0.5y+z=7②通过消x得到一个二元一次方程:4y+9z=55,利用题目中隐含的x、y、z只能取非负整数解条件,我们可以求出:y=7,z=3,进而求出x=5,至此我们就可以求出该题的答案为:1角硬币5枚、5角硬币7枚、1元硬币3枚。

对于此类题目,我们可以采用以下解题过程:列两个三元一次方程→(消元)二元一次方程→求整数解→求该实际问题解,通过消元思想和二元一次方程整数解,进而求出该问题的解。

(作者单位 山东省日照市东港区西湖中心初中)

?誗编辑 鲁翠红

在人教版七年级下册数学课本第112页的拓广探索训练中有一个题目为:现有1角、5角、1元硬币各10枚。从中取出15枚,共值7元。1角、5角、1元硬币各取多少枚?

初看这道题目,可能绝大部分学生能比较顺利的列出两个等量关系式:1角硬币数量+5角硬币数量+1元硬币数量=15,1角硬币钱数+5角硬币钱数+1元硬币钱数=7,进而可以列出两个三元一次方程:x+y+z=15①;0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解,可能是很多学生所未曾遇到过的。如何求解呢?这儿就不可避免的应用到二元一次方程的非负整数解。

二元一次方程的解有无数组,但在实际应用中,我们往往只需要求出其非负整数解。下面试举几例以供参考:

例1.小虎子有一张面值为10元的人民币,他想换成1元或2元的人民币,请你想一想,可能有几种兑换方法?

解:设可换成1元的人民币x张,2元的人民币y张,则x+2y=10。

∵x、y只能取非负整数。

∴其非负整数解为:x=0y=5,x=2y=4,x=4y=3,x=6y=2,x=8y=1,x=10y=0。

所以有6种兑换方法,分别为5张2元;2张1元和4张2元;4张1元和3张2元;6张1元和2张2元;8张1元和1张2元;10张1元。

例2.如果x、y为不等于0的自然数,且3x·3y=27,试求xy的值。

分析:由27=33,可得3x·3y=33,根据幂的性质可得x+y=3,再由x、y为不等于0的自然数可确定x、y的值。

解:因为3x·3y=27,即3x+y=33,所以x+y=3;又因为x、y为不等于0的自然数,所以有x=1y=2或x=2y=1;所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。综上所得:xy=2。

点评:因为x、y为不等于0的自然数,所以本题实际上是求x+y=3的整数解。

在近几年的中考题目中,也已经出现了类似题型的考查。

例3.(2013·绥化)某班组织20名同学去春游,同时租用两种型号的车辆,一种车每辆有8个座位,另一种车每辆有4个座位.要求租用的车辆不留空座,也不能超载。有_______种租车方案。

解:设租用每辆8个座位的车x辆,每辆有4个座位的车y辆,

根据题意得,8x+4y=20,

整理得,2x+y=5,

∵x、y都是正整数,

∴x=1时,y=3,

x=2时,y=1,

x=3时,y=-1(不符合题意,舍去),

所以,共有2种租车方案。

点评:本题考查了二元一次方程的应用,解题的关键在于车辆数是正整数。

由此我们可以看出,二元一次方程虽然具有无数组解,但在特定条件下整数解是可以求出的,从而可以用来解决一些生活中的实际问题。同样,借鉴“消元”思想和二元一次方程整数解我们就可以顺利解出刚才的硬币问题。

我们可以将方程x+y+z=15①,0.1x+0.5y+z=7②通过消x得到一个二元一次方程:4y+9z=55,利用题目中隐含的x、y、z只能取非负整数解条件,我们可以求出:y=7,z=3,进而求出x=5,至此我们就可以求出该题的答案为:1角硬币5枚、5角硬币7枚、1元硬币3枚。

对于此类题目,我们可以采用以下解题过程:列两个三元一次方程→(消元)二元一次方程→求整数解→求该实际问题解,通过消元思想和二元一次方程整数解,进而求出该问题的解。

(作者单位 山东省日照市东港区西湖中心初中)

?誗编辑 鲁翠红

在人教版七年级下册数学课本第112页的拓广探索训练中有一个题目为:现有1角、5角、1元硬币各10枚。从中取出15枚,共值7元。1角、5角、1元硬币各取多少枚?

初看这道题目,可能绝大部分学生能比较顺利的列出两个等量关系式:1角硬币数量+5角硬币数量+1元硬币数量=15,1角硬币钱数+5角硬币钱数+1元硬币钱数=7,进而可以列出两个三元一次方程:x+y+z=15①;0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解,可能是很多学生所未曾遇到过的。如何求解呢?这儿就不可避免的应用到二元一次方程的非负整数解。

二元一次方程的解有无数组,但在实际应用中,我们往往只需要求出其非负整数解。下面试举几例以供参考:

例1.小虎子有一张面值为10元的人民币,他想换成1元或2元的人民币,请你想一想,可能有几种兑换方法?

解:设可换成1元的人民币x张,2元的人民币y张,则x+2y=10。

∵x、y只能取非负整数。

∴其非负整数解为:x=0y=5,x=2y=4,x=4y=3,x=6y=2,x=8y=1,x=10y=0。

所以有6种兑换方法,分别为5张2元;2张1元和4张2元;4张1元和3张2元;6张1元和2张2元;8张1元和1张2元;10张1元。

例2.如果x、y为不等于0的自然数,且3x·3y=27,试求xy的值。

分析:由27=33,可得3x·3y=33,根据幂的性质可得x+y=3,再由x、y为不等于0的自然数可确定x、y的值。

解:因为3x·3y=27,即3x+y=33,所以x+y=3;又因为x、y为不等于0的自然数,所以有x=1y=2或x=2y=1;所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。综上所得:xy=2。

点评:因为x、y为不等于0的自然数,所以本题实际上是求x+y=3的整数解。

在近几年的中考题目中,也已经出现了类似题型的考查。

例3.(2013·绥化)某班组织20名同学去春游,同时租用两种型号的车辆,一种车每辆有8个座位,另一种车每辆有4个座位.要求租用的车辆不留空座,也不能超载。有_______种租车方案。

解:设租用每辆8个座位的车x辆,每辆有4个座位的车y辆,

根据题意得,8x+4y=20,

整理得,2x+y=5,

∵x、y都是正整数,

∴x=1时,y=3,

x=2时,y=1,

x=3时,y=-1(不符合题意,舍去),

所以,共有2种租车方案。

点评:本题考查了二元一次方程的应用,解题的关键在于车辆数是正整数。

由此我们可以看出,二元一次方程虽然具有无数组解,但在特定条件下整数解是可以求出的,从而可以用来解决一些生活中的实际问题。同样,借鉴“消元”思想和二元一次方程整数解我们就可以顺利解出刚才的硬币问题。

我们可以将方程x+y+z=15①,0.1x+0.5y+z=7②通过消x得到一个二元一次方程:4y+9z=55,利用题目中隐含的x、y、z只能取非负整数解条件,我们可以求出:y=7,z=3,进而求出x=5,至此我们就可以求出该题的答案为:1角硬币5枚、5角硬币7枚、1元硬币3枚。

对于此类题目,我们可以采用以下解题过程:列两个三元一次方程→(消元)二元一次方程→求整数解→求该实际问题解,通过消元思想和二元一次方程整数解,进而求出该问题的解。

(作者单位 山东省日照市东港区西湖中心初中)

?誗编辑 鲁翠红

猜你喜欢
每辆消元租车
“消元——解二元一次方程组”能力起航
灵活思考多种方法
送水
抢占消费者心智
汽车牌照
租车背后的“学问”
观察特点 巧妙消元
“消元
网络“卖”豪车为骗钱 租车玩倒卖被判刑
“消元——解二元一次方程组”