伪球面运动与孤子方程及其Backlund变换

房春梅,樊彩虹

（集宁师范学院 数学系，内蒙古 乌兰察布 012000）

伪球面运动与孤子方程及其Backlund变换

房春梅,樊彩虹

（集宁师范学院 数学系，内蒙古 乌兰察布 012000）

本文在伪球面的两种不同的运动下获得了两个新的孤子方程，并利用孤子方程的2×2线性表示在规范变换下的不变性获得了这两个方程的Backlund变换.

伪球面运动；孤子方程；Backlund变换

1 前言

从静止的伪球面自然地获得了Sine-Gordon方程，那么运动的伪球面必然能够产生一系列的孤子方程.这些孤子方程均包含Sine-Gordon方程.本文主要考虑伪球面的两种不同的运动，从而导出两个新的孤子方程，最后构造这两个方程的Backlund变换.

2 伪球面运动

其中η=η(t),ø=ø(u,v,t)是关于u,v,t的函数.

由正交标架{A,B,C}，可以得到保持正交性质的时间演化：

其中e,f,g是关于u,v,t的实函数.

已知，Gauss-Weingarten系统与（2.1）之间满足相容性条件可得：

将上式展开后

假设伪球面∑的运动速度在正交标架{A,B,C}下的形式为

则由A=ru,B=-rucosø+rvcosecø,C=N可得到：

利用正交标架{A,B,C}上的时间演化保持正交性获得如下式子

将（2.9）代入（2.2），（2.3）可得到如下条件

因此可以得出伪球面的运动需要满足的可行的演化条件是（2.8），（2.10）-（2.12）.

取满足上述演化条件（2.8）以及（2.10）-（2.12）的两种不同的运动如下所示

从而可以得出如下两个新的孤子方程为：

其中η˙=0,σ(t),ω(t)为任意函数.

3 Backlund变换

本小节从方程（2.1）的2×2线性表示出发，利用一个规范变换来获得孤子方程（2.14）与（2.15）的Backlund变换[3].具体如下：

由关系式

由规范变换Ψ2=QΨ1以及（3.1）-（3.3）可以得出

其中

同样利用伪球面∑2上的正交标架{E2,F2,G2}以及条件E2=r2,u,F2=-r2,u×N2,G2=N2,可以设Γ2=ΛΓ1,其中

已知Γ1,Γ2∈SO(3),从而Λ∈SO(3).再利用同构关系so(3)↔su(2)，能得到一个包含于SU(2)的转换矩阵[4]为如下所示：

由规范变换Ψ2,=Q(θ,ξ)Ψ1以及（3.1）-（3.3）能得到如下式子

其中

由关系式（3.4）可以得出上述两个新的孤子系统的Backlund变换.

对于孤子方程

利用关系式（2.9），（3.4）可以得到如下式子：

从而可以得出其Backlund变换为：

对于孤子方程

利用关系式（2.9），（3.4）可以得到如下式子：

从而可以得出其Backlund变换为：

〔1〕Doliwa A,Santini P.An elementary geometric characterization of the integrable motions of a curve[J].Phys.Lett.A 1994,185:373-384.

〔2〕Rodica Cimpoiasu,Rodu Constantinescu.Lie symmetries and invariants for a 2D nonlinear heat equation[J].Nonlinear Analysis,2008,68:2261-2268.

〔3〕Rogers C,Schief W K.Backlund and Darboux transformations[M].New York:Cambridge University Press,2002.

〔4〕Fan EG,Zhang HQ.A new approach to Backlund transformation of nonlinear evolution equations[J].Appl Math Mech 1998;19(7):645-650.

O175

A

1673-260X（2014）10-0009-02

内蒙古高等学校科学研究资助项目（NJZC13283）