一次函数中考考点例析

2014-07-25 19:25洪飞
初中生之友·中旬刊 2014年6期
关键词:正比例文具店关系式

洪飞

一次函数是初中数学的重要内容,也是每年中考数学的重点考查内容。下面对一次函数的常见考点分类例析。

考点1一次函数关系式的确定

例1正比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图像都经过点A(1,2),且一次函数的图像交x轴于点B(4,0)。求正比例函数和一次函数的表达式。

解析 由正比例函数y=kx的图像过点(1,2) 得2=k。

所以正比例函数的表达式为y=2x。

由一次函数y=ax+b的图像经过点(1,2)和(4,0)得

a+b=2,4a+b=0。

解得:a=-■,b=■。

所以一次函数的表达式为y=-■x+■。

考点2一次函数的图像及性质

例2 如图1,一次函数y=(m-1)x-3的图像分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B两点,则m的取值范围是()

A. m>1 B. m<1

C. m<0 D. m>0

解析 因为函数图像经过二、四象限,所以m-1<0,解得m<1。故答案选B。

例3 如图2,一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行且经过点A(1,-2),则kb=_________。

解析 因为y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行,所以k=2。

因为y=kx+b的图像经过点A(1,-2),所以2+b=-2。

解得b=-4,所以kb=2×(-4)=-8。

考点3 一次函数与方程(组)、不等式(组)的综合问题

例4 如图3,一次函数y=k1x+b1的图像l1与y=k2x+b2的图像l2相交于点P,则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是()

A. x=-2y=3 B. x=3y=-2 C. x=2y=3 D. x=-2y=-3

解析 由图3可知,P点坐标是(-2,3),所以方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是x=-2y=3,故答案选A。

例5 如图4,直线y=kx+b经过A(3,1)和B(6,0)两点,则不等式0<kx+b<■x的解集为________。

解析过点A(3,1)和原点的直线表达式为y=■x,即直线y=kx+b和y=■x交点为A,由图像可知,当x<6时,y=kx+b的值大于0,即0<kx+b,当x>3时,y=kx+b的值小于y=■x的值,综上所述,3<x<6是不等式0<kx+b<■x的解集。故答案填3<x<6。

考点4一次函数的应用

例6 某文具店准备购进甲、乙两种钢笔,若购进甲种钢笔100支,乙种钢笔50支,需要1 000元,若购进甲种钢笔50支,乙种钢笔30支,需要550元。

(1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元?

(2)若该文具店准备拿出1 000元全部用来购进这两种钢笔,考虑顾客需求,要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍,且不超过乙种钢笔数量的8倍,那么该文具店共有几种进货方案?

(3)若该文具店销售一支甲种钢笔可获利润2元,销售一支乙种钢笔可获利润3元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元?

解析(1)设购进甲、乙两种钢笔每支各需x元和y元,根据题意得:100x+50y=1 000,50x+30y=550。 解得 x=5,y=10。

答:购进甲、乙两种钢笔每支各需5元和10元。

(2)设购进甲种钢笔a支,乙种钢笔b支,根据题意可得:5a+10b=1 000,6b≤a≤8b。解得:20≤b≤25。因为a、b为整数,所以b=20,21,22,23,24,25共六种方案,因为5a=1000-10b>0,所以0<b<100,所以该文具店共有6种进货方案。

(3)设利润为W元,则W=2a+3b,因为5a+10b=1 000,所以a=200-2b,所以代入上式得:W=400-b。

因为-1<0,所以W随着b的增大而减小,所以当b=20时,W最大,此时a=160时,W最大。

所以W的最大值为400-20=380(元)。

答:当购进甲钢笔160支,购进乙钢笔20支时获利最大,最大利润为380元。

练习

1.函数y=■中,自变量x的取值范围是( )

A.x>-1 B.x<-1 C.x≠-1 D.x≠0

2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图像如图5所示,当y>0时,x的取值范围是( )

A.x<0 B.x>0

C.x<2 D.x>2

3.如图6,已知一次函数y=kx+b(k≠0)图像过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,求此一次函数的解析式。

4.某超市以10元/件的价格调进一批商品,根据前期销售情况,每天销售量y(件)与该商品定价x(元)是一次函数关系,如图7所示。

(1)求销售量y与定价x之间的函数关系式;

(2)如果超市将该商品的销售价定为13元/件,不考虑其他因素,求超市每天销售这种商品所获得的利润。

练习参考答案

1.C 2.C

3.解:设一次函数y=kx+b(k≠0)图像与x轴交点为D(d,0),因一次函数y=kx+b(k≠0)图像过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,则■×2d=2,得d=±2。

将两点坐标(0,2)、(2,0)代入一次函数y=kx+b中,得b=2,2k+b=0,k=-1。因此一次函数的解析式为y=-x+2。

4.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),由图像可知,

11k+b=10,15k+b=2。解得k=-2,b=32。

所以销售量y与定价x之间的函数关系式是:y=-2x+32。

(2)超市每天销售这种商品所获得的利润是:

W=(-2x+32)(13-10)=-6x+96。

一次函数是初中数学的重要内容,也是每年中考数学的重点考查内容。下面对一次函数的常见考点分类例析。

考点1一次函数关系式的确定

例1正比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图像都经过点A(1,2),且一次函数的图像交x轴于点B(4,0)。求正比例函数和一次函数的表达式。

解析 由正比例函数y=kx的图像过点(1,2) 得2=k。

所以正比例函数的表达式为y=2x。

由一次函数y=ax+b的图像经过点(1,2)和(4,0)得

a+b=2,4a+b=0。

解得:a=-■,b=■。

所以一次函数的表达式为y=-■x+■。

考点2一次函数的图像及性质

例2 如图1,一次函数y=(m-1)x-3的图像分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B两点,则m的取值范围是()

A. m>1 B. m<1

C. m<0 D. m>0

解析 因为函数图像经过二、四象限,所以m-1<0,解得m<1。故答案选B。

例3 如图2,一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行且经过点A(1,-2),则kb=_________。

解析 因为y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行,所以k=2。

因为y=kx+b的图像经过点A(1,-2),所以2+b=-2。

解得b=-4,所以kb=2×(-4)=-8。

考点3 一次函数与方程(组)、不等式(组)的综合问题

例4 如图3,一次函数y=k1x+b1的图像l1与y=k2x+b2的图像l2相交于点P,则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是()

A. x=-2y=3 B. x=3y=-2 C. x=2y=3 D. x=-2y=-3

解析 由图3可知,P点坐标是(-2,3),所以方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是x=-2y=3,故答案选A。

例5 如图4,直线y=kx+b经过A(3,1)和B(6,0)两点,则不等式0<kx+b<■x的解集为________。

解析过点A(3,1)和原点的直线表达式为y=■x,即直线y=kx+b和y=■x交点为A,由图像可知,当x<6时,y=kx+b的值大于0,即0<kx+b,当x>3时,y=kx+b的值小于y=■x的值,综上所述,3<x<6是不等式0<kx+b<■x的解集。故答案填3<x<6。

考点4一次函数的应用

例6 某文具店准备购进甲、乙两种钢笔,若购进甲种钢笔100支,乙种钢笔50支,需要1 000元,若购进甲种钢笔50支,乙种钢笔30支,需要550元。

(1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元?

(2)若该文具店准备拿出1 000元全部用来购进这两种钢笔,考虑顾客需求,要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍,且不超过乙种钢笔数量的8倍,那么该文具店共有几种进货方案?

(3)若该文具店销售一支甲种钢笔可获利润2元,销售一支乙种钢笔可获利润3元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元?

解析(1)设购进甲、乙两种钢笔每支各需x元和y元,根据题意得:100x+50y=1 000,50x+30y=550。 解得 x=5,y=10。

答:购进甲、乙两种钢笔每支各需5元和10元。

(2)设购进甲种钢笔a支,乙种钢笔b支,根据题意可得:5a+10b=1 000,6b≤a≤8b。解得:20≤b≤25。因为a、b为整数,所以b=20,21,22,23,24,25共六种方案,因为5a=1000-10b>0,所以0<b<100,所以该文具店共有6种进货方案。

(3)设利润为W元,则W=2a+3b,因为5a+10b=1 000,所以a=200-2b,所以代入上式得:W=400-b。

因为-1<0,所以W随着b的增大而减小,所以当b=20时,W最大,此时a=160时,W最大。

所以W的最大值为400-20=380(元)。

答:当购进甲钢笔160支,购进乙钢笔20支时获利最大,最大利润为380元。

练习

1.函数y=■中,自变量x的取值范围是( )

A.x>-1 B.x<-1 C.x≠-1 D.x≠0

2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图像如图5所示,当y>0时,x的取值范围是( )

A.x<0 B.x>0

C.x<2 D.x>2

3.如图6,已知一次函数y=kx+b(k≠0)图像过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,求此一次函数的解析式。

4.某超市以10元/件的价格调进一批商品,根据前期销售情况,每天销售量y(件)与该商品定价x(元)是一次函数关系,如图7所示。

(1)求销售量y与定价x之间的函数关系式;

(2)如果超市将该商品的销售价定为13元/件,不考虑其他因素,求超市每天销售这种商品所获得的利润。

练习参考答案

1.C 2.C

3.解:设一次函数y=kx+b(k≠0)图像与x轴交点为D(d,0),因一次函数y=kx+b(k≠0)图像过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,则■×2d=2,得d=±2。

将两点坐标(0,2)、(2,0)代入一次函数y=kx+b中,得b=2,2k+b=0,k=-1。因此一次函数的解析式为y=-x+2。

4.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),由图像可知,

11k+b=10,15k+b=2。解得k=-2,b=32。

所以销售量y与定价x之间的函数关系式是:y=-2x+32。

(2)超市每天销售这种商品所获得的利润是:

W=(-2x+32)(13-10)=-6x+96。

一次函数是初中数学的重要内容,也是每年中考数学的重点考查内容。下面对一次函数的常见考点分类例析。

考点1一次函数关系式的确定

例1正比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图像都经过点A(1,2),且一次函数的图像交x轴于点B(4,0)。求正比例函数和一次函数的表达式。

解析 由正比例函数y=kx的图像过点(1,2) 得2=k。

所以正比例函数的表达式为y=2x。

由一次函数y=ax+b的图像经过点(1,2)和(4,0)得

a+b=2,4a+b=0。

解得:a=-■,b=■。

所以一次函数的表达式为y=-■x+■。

考点2一次函数的图像及性质

例2 如图1,一次函数y=(m-1)x-3的图像分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B两点,则m的取值范围是()

A. m>1 B. m<1

C. m<0 D. m>0

解析 因为函数图像经过二、四象限,所以m-1<0,解得m<1。故答案选B。

例3 如图2,一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行且经过点A(1,-2),则kb=_________。

解析 因为y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行,所以k=2。

因为y=kx+b的图像经过点A(1,-2),所以2+b=-2。

解得b=-4,所以kb=2×(-4)=-8。

考点3 一次函数与方程(组)、不等式(组)的综合问题

例4 如图3,一次函数y=k1x+b1的图像l1与y=k2x+b2的图像l2相交于点P,则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是()

A. x=-2y=3 B. x=3y=-2 C. x=2y=3 D. x=-2y=-3

解析 由图3可知,P点坐标是(-2,3),所以方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是x=-2y=3,故答案选A。

例5 如图4,直线y=kx+b经过A(3,1)和B(6,0)两点,则不等式0<kx+b<■x的解集为________。

解析过点A(3,1)和原点的直线表达式为y=■x,即直线y=kx+b和y=■x交点为A,由图像可知,当x<6时,y=kx+b的值大于0,即0<kx+b,当x>3时,y=kx+b的值小于y=■x的值,综上所述,3<x<6是不等式0<kx+b<■x的解集。故答案填3<x<6。

考点4一次函数的应用

例6 某文具店准备购进甲、乙两种钢笔,若购进甲种钢笔100支,乙种钢笔50支,需要1 000元,若购进甲种钢笔50支,乙种钢笔30支,需要550元。

(1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元?

(2)若该文具店准备拿出1 000元全部用来购进这两种钢笔,考虑顾客需求,要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍,且不超过乙种钢笔数量的8倍,那么该文具店共有几种进货方案?

(3)若该文具店销售一支甲种钢笔可获利润2元,销售一支乙种钢笔可获利润3元,在第(2)问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元?

解析(1)设购进甲、乙两种钢笔每支各需x元和y元,根据题意得:100x+50y=1 000,50x+30y=550。 解得 x=5,y=10。

答:购进甲、乙两种钢笔每支各需5元和10元。

(2)设购进甲种钢笔a支,乙种钢笔b支,根据题意可得:5a+10b=1 000,6b≤a≤8b。解得:20≤b≤25。因为a、b为整数,所以b=20,21,22,23,24,25共六种方案,因为5a=1000-10b>0,所以0<b<100,所以该文具店共有6种进货方案。

(3)设利润为W元,则W=2a+3b,因为5a+10b=1 000,所以a=200-2b,所以代入上式得:W=400-b。

因为-1<0,所以W随着b的增大而减小,所以当b=20时,W最大,此时a=160时,W最大。

所以W的最大值为400-20=380(元)。

答:当购进甲钢笔160支,购进乙钢笔20支时获利最大,最大利润为380元。

练习

1.函数y=■中,自变量x的取值范围是( )

A.x>-1 B.x<-1 C.x≠-1 D.x≠0

2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图像如图5所示,当y>0时,x的取值范围是( )

A.x<0 B.x>0

C.x<2 D.x>2

3.如图6,已知一次函数y=kx+b(k≠0)图像过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,求此一次函数的解析式。

4.某超市以10元/件的价格调进一批商品,根据前期销售情况,每天销售量y(件)与该商品定价x(元)是一次函数关系,如图7所示。

(1)求销售量y与定价x之间的函数关系式;

(2)如果超市将该商品的销售价定为13元/件,不考虑其他因素,求超市每天销售这种商品所获得的利润。

练习参考答案

1.C 2.C

3.解:设一次函数y=kx+b(k≠0)图像与x轴交点为D(d,0),因一次函数y=kx+b(k≠0)图像过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,则■×2d=2,得d=±2。

将两点坐标(0,2)、(2,0)代入一次函数y=kx+b中,得b=2,2k+b=0,k=-1。因此一次函数的解析式为y=-x+2。

4.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),由图像可知,

11k+b=10,15k+b=2。解得k=-2,b=32。

所以销售量y与定价x之间的函数关系式是:y=-2x+32。

(2)超市每天销售这种商品所获得的利润是:

W=(-2x+32)(13-10)=-6x+96。

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