斯图姆的轮船相遇问题

蒋明玉

斯图姆是法国数学家，在数学的许多领域都做过开创性的工作。一次，斯图姆去参加一个国际学术会议，一位朋友向他请教下面这个问题：

每天中午有一艘轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中均要航行七天七夜。试问，每条从哈佛开出的轮船在到达纽约前能遇上几艘从纽约开来的轮船？

同学们，请你们尝试解决这个问题。你们想到方法了吗？不知道你们有没有想到过采用下面这些方法：

一、游戏法

你可以组织班上的同学一起来做个解题游戏：你站在学校操场的一边，扮成从哈佛开出的那艘轮船，其他同学站在操场的另一边，扮成从纽约开往哈佛的轮船，中间用六张小凳均匀分成七等份（相邻两张小凳间的距离约两步长），用来表示一个昼夜的航程（白天一步，夜晚一步）。在你的口令声中，他们一个接一个地用相同的步幅向你这边走过来，前一位同学刚走到小凳处，后一位同学就开始出发，犹如每天中午从纽约开出的轮船。当第一位同学走到你这边，你就立刻匀速向对面走去，并记下迎面碰到的同学数。当你走到对面的时候，结果就出来了，一共遇到了15位同学。这就是说，将会遇到15艘同一公司的轮船从对面开来。

不仅如此，如果你注意记录下与每一位同学相遇的地点的话，你会发现每到小凳处就会遇到一位同学，每到两张相邻小凳之间处也会遇到一位同学，加上出发时遇到的那位同学，一算便知在途中遇到了15位同学。

同学们，你们说这样的解题游戏是不是很有趣啊？

二、算术法

在做解题游戏的过程中，如果设每艘轮船的速度是x海里/昼夜，一艘轮船刚与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程（想一想，为什么），即为x海里。因此，同下一艘轮船相遇的时间应是x÷（x+x）=0.5（昼夜），也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘迎面驶来的轮船。那么，七昼夜一共可以遇到7×2=14（艘）从对面开来的轮船，加上出港时遇到的一艘，一共15艘轮船。

同学们，你们说这样的算术解法是不是既简单又有趣呢？

三、图示法

如下图所示，如果我们用两条平行线分别表示哈佛和纽约这两座城市，把从纽约出发的轮船的出发日期和到达哈佛的日期连成线段，这些线段都是长度相同的平行线段，表示它们各自的航行路程的图线。最后我们假设这艘从哈佛出发的轮船的出发时间为7号，把它的出发时间与它的到达时间也用线段相连，不难发现这根线段的长度与上面的平行线段是等长的，这与条件“轮船都在同一航线上航行”相吻合。看！奇迹出现了，这条线段与从纽约出发的轮船航行路程的图线产生了15个交点，这15个交点的位置就是它们相遇的具体地点，因此“斯图姆的轮船相遇问题”的解应为15艘轮船。

四、转化法

我们先来考虑一个问题：“如果该轮船公司要维持哈佛与纽约之间的正常航行，至少需要配备多少艘轮船？”要解决这一问题，可设一艘轮船第一天中午从哈佛出发，经过七天，第八天中午到达纽约，第九天中午从纽约出发，再过七天，第十六天又回到了哈佛，开始准备下一个来回的航行。这十六天中，每天中午需从哈佛发出一艘轮船，所以，要想维持正常航行至少需要16艘轮船。

那么，如果该轮船公司的16艘轮船都在航线上，其中一艘轮船从哈佛出发时，它后面一艘轮船正好回到哈佛，它们之间没有其他的轮船；这艘轮船到达纽约时，它前面一艘轮船正好从纽约出发，它们之间也没有其他的轮船。这样，在从哈佛到纽约的航程中，该轮船与本公司的其他15艘轮船都要相遇一次。因此，从哈佛出发的轮船沿途将会遇到15艘同一公司的轮船从对面开来。

同学们，让我们进一步思考，分析以上几种方法，提炼出一种最适合你们自己的方法。

游戏法可以帮助我们理解题目并得到答案，但显得十分麻烦，因为它需要很多同学一起参加，不能一个人完成。

算术法显得简单，只要一个简单的式子就解决问题了，但对题目意义的理解要求很高，只有在充分理解题意，掌握必要的方法后，才能列出正确的算式，否则很容易出错。

图示法的优点比较明显：不仅有游戏法的特点，容易得到结果，还能帮助我们理解题意，用起来也十分简单，不容易出错。

转化法虽然比较简单，但其局限性也很突出，一般很少有人会想到运用这种方法。

同学们，不管你们选择使用哪种方法，只要你们记住：数学来源于生活，生活中到处都有有趣的数学问题，它们正等待着聪明的你们去发现并加以解决。

（编辑 孙世奇）