n-Gorenstein环上的Gorenstein投射复形的一些性质*

张 齐

(铜陵学院 数学计算机系，安徽 铜陵 244000)

1 引言及预备知识

E.Enochs和Garcia Rozas J.R.在文献[1]中将Gorenstein投射模概念推广到复范畴中，在n-Gorenstein环上研究了它的一些性质，在这里将研究它更好的一些性质.

定义1 设R为环，如果它为左、右自内射维数均有限的双边Noether环，则称R为Gorenstein环.如果它自内射维数为n，则称为n-Gorenstein环.

定义2 设R为环，C为左R-模复形，如果存在复形的正合列

…→P1→P0→P-1→…

(1)

满足：1)每个Pi都为投射复形.

2)对任意的投射复形P，用函子Hom(-，P)作用于正合列(1)后仍正合.

3)C=ker(P0→P-1).

则称C为Gorenstein投射的.

定义3 若C为任一复形，有

1) 如果每个Pi是投射复形，且对任意的投射复形Q，将函子HomR(-，Q)作用于正合列

…→P2→P1→P0→C→O

(2)

后仍正合，则称式(2)为C的一个投射分解.

2) 如果每个Pj是投射复形，且对任意的投射复形Q，将函子HomR(-，Q)作用于正合列

O→C→P0→P1→P2→…

(3)

后仍正合，则称式(3)为C的一个预解式.

n-Gorenstein环上的Gorenstein投射复形已经有以下几个很好的性质：

性质1[1]设R为n-Gorenstein环，C为左R模复形，则下列表述等价：

1) proj.dim(C)<∞.

2) proj.dim(C)

3) inj.dim(C)<∞.

4) inj.dim(C)

其中proj.dim(C)，inj.dim(C)表示C的投射维数与内射维数.

O→C→P0→G→O

其中C→P0为C的投射预包络，因此对任意投射复形P1，有正合列

O→HomR(G，P1)→HomR(P0，P1)→HomR(C，P1)→O

另一方面，由复形的长正合列定理，对任意投射复形L，有

O→C→P0→P1→…

(4)

且对任意投射复形P，用函子HomR(-，P)作用于正合列(4)后仍正合，即C存在投射预分解.

2 主要结果

引理1 设R为n-Gorenstein环，

R′=…→RR→RR→RR→…

其中RR为正则模.

证明先证必要性.若C为Gorenstein投射复形，则存在复形的正合列

…→P2→P1→P0→P0→P1→P2→…

其中Pi和Pj都为投射复形，且C=ker(P0→P0)，从而有正合列

O→C→P0→P1→P2→…→Pn-1→D→O

其中D=coker(Pn-2→Pn-1)，所以对任意复形P，有

又因为R为n-Gorenstein环，所以inj.dim(P)≤n，则

0→HomR(C，Q1)→HomR(C，Q2)→…

O→C→Q0→Q1→Q2→…

其中Qi为投射复形.由投射预解式的定义可知，有正合列

…→HomR(Q2，L)→HomR(Q1，L)→HomR(Q0，L)→HomR(C，L)→O

从而得到复形的复形

(5)

推论1n-Gorenstein环上的Gorenstein投射复形对直和与取直和项封闭.

定理2 设R为n-Gorenstein环，C为左R模复形，则C为Gorenstein投射复形当且仅当存在正合列O→C→P0→P1→P2→…→Pn-1，其中Pi(0≤i≤n-1)是投射复形.

证明必要性显然成立，下证充分性.考虑正合列

O→C→P0→P1→P2→…→Pn-1→N→O

对任意具有有限投射维数的复形P，有

下面给出Gorenstein同调代数中普遍存在的定理：

定理3 设R为n-Gorenstein环，且存在复形的短正合列0→C′→C→C″→0.

1) 如果C′和C″是Gorenstein投射复形，则C是Gorenstein投射复形.

2) 如果C和C″是Gorenstein投射复形，则C′是Gorenstein投射复形.

3) 如果C和C′是Gorenstein投射复形，则C″是Gorenstein投射复形.

证明1) 对任意具有有限投射维数的复形P，根据复形的长正合列定理知

因为C′和C″都是Gorenstein投射复形，由定理1知

定理3的2)和3) 同理可证.

最后给出Gorenstein投射维数的定义，并研究了具有有限Gorenstein投射维数的复形性质.

定义4[3]设C为任一左R模复形，记Gpd(C)=inf{n|0→Pn→…→P1→P0→C}，其中Pi(0≤i≤n)为Gorenstein投射复形，且称之为C的Gorenstein投射维数，若n不存在，规定Gpd(C)=∞.

定理4 设C为具有有限Gorenstein投射维数的复形，n为任一正整数，则下列表述等价：

1) Gpd(C)≤n.

证明1)⟹2).设Gpd(C)≤n，由定义2可知存在复形的正合列

O→Gn→Gn-1→…→G0→C→O

其中Gi(1≤i≤n)为Gorenstein投射复形.

2)⟹3)显然.

3)⟹1).考虑复形的正合列

O→Kn→Gn-1→…→G0→C→O

O→Dm→Dm-1→…→D1→D0→Kn→O

其中Dj(0≤j≤m)为Gorenstein投射复形.考虑短正合列

0→Ej→Dj-1→0(1≤j≤m)

由定理3 中3)知，E0，…，Em为Gorenstein投射复形，所以Kn为Gorenstein投射复形，从而Gpd(C)≤n.

参考文献：

[1] ENOCHS E，GARCIA J R. Gorenstein Injective and Projective Complexes [J]. Comm Algebra，1998(26)：1657-1674

[2] HOLM H.Gorenstein Homological Dimensions [J].Pure Appl Algebra，2004(189)：167-193

[3] ENOCHS E，JENDA O M G. Gorenstein Injective and Projective Modules [J]. Math 2，1995(220)：611-633

[4] 宋杨，杜先能. Gorenstein环上的Gorenstein投射模[J]. 安徽大学学报：自然科学版，2010，34(3)：24-27

[5] 江声远. 超同调代数[M]. 南昌：江西高校出版社，1991

[6] 佟文廷.同调代数引论[M].北京：高等教育出版社，1998