(3+1)维ZK方程的孤波解、冲击波解和周期波解

康晓蓉，鲜大权

(西南科技大学理学院，四川绵阳621010)

本文研究如下形式的(3+1)维Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程

其中a、b、c、d为非零实数.20 世纪 80 年代末，Zakharov和Kuznetsov在描述磁化等离子体德尔演化过程中首次导出该模型，B.K.Shivamoggi等［1］用李群方法也得到该方程，A.M.Hamza［2］在强化等离子体的研究中则得到推广的(3+1)维ZK方程.该模型作为与波动现象密切相关的非线性方程，陆续出现在许多物理学领域，因此引起许多物理学家和数学家的关注.E.G.Fan等［3］用Jacobi椭圆函数法得到a=6，b=0，c=d=3时的N孤子解；杨红娟等［4］利用WTC方法讨论在一些特殊变系数情况下的一组精确孤波解；Z.Y.Yan［5］采用非线性方法得到系统的双周期波解、奇异波解等，并对所得解基于一些特殊参数值的非线性波传播特性进行分析，解释了相关物理现象；Z.Z.Dong等［6］应用经典Lie群方法获得方程的点对称，由此得到方程的一些精确解.但该方程作为高维系统的一个典型代表，它在不同可积性意义下的相应解结构有待研究的内容还很多，已尝试过的研究方法较少［1-6］，而可用的方法尚多，如F展开法［7-8］、双曲函数法［9-10］、试探函数法［11］、扩展的G'/G展开法［12-13］，等.

本文应用微分动力系统定性理论对方程(1)进行定性分析，并运用椭圆方程映射法寻求相应解的显式表达.

1 定性分析

容易看出λ1或为2不等实数，或为2共轭纯虚数，因此平衡点P1或为鞍点或为中心点.

则 λ2，3为2共轭复数，此时平衡点P2，3为焦点.

如果

则λ2，3或为2不等实数，或为2共轭纯虚数.此时平衡点P2，3或为鞍点或为中心点.

由(5)式可知，系统在相平面(ω，v)上的相轨线满足

积分(6)式得系统(5)的Hamiliton函数为

显然有，因此方程(4)所表达的系统为保守系统.

综上分析可得，系统(4)存在鞍-鞍同(异)宿轨和周期闭轨，(3+1)维ZK方程(1)相应地存在孤波解、冲击波解和周期波解［14］.

2 孤波解、冲击波解和周期波解

下面用椭圆方程映射法寻求(3+1)维ZK方程(1)的孤波解、冲击波解和周期波解.

将(4)式乘以v'后再对ξ积分一次，取积分常数为A得

2.3 周期波解

2.3.1 Jacobi椭圆函数周期波解

这是围绕中心点的闭轨，且当m→1时，v3→v1，相应得到(1)式的周期波解为

这是围绕中心点的闭轨，且m→1时，v3→v2.相应得到(1)式的周期波解

这是围绕中心点的闭轨，且m→1时，v5→v1，相应得到(1)式的周期波解为

2.3.2 三角函数周期解 当A=0，，b＜0且(4bc4-c1a2)c1＜0时，

这也是围绕中心点的闭轨，相应得到(1)式的周期波解为

3 结论

本文应用微分方程动力系统定性方法讨论了(3+1)维ZK方程的鞍-鞍行波同(异)宿轨和周期闭轨的存在性.运用椭圆方程映射法获得该方程的孤波解、冲击波解和周期波解.本文的结果进一步丰富了该方程的数学物理性态及其解的内容.

［1］Shivamoggi B K，Rollins D K.Generalized painleve formulation of lie group symmetries of the ZK equation［J］.Phys Lett，1991，A160:263-266.

［2］Hamza A M.Akinetic derivation of a generlized ZK equation for inacoustic turbulence in magnetized plasma［J］.Phys Lett，1994，A190:309-316.

［3］Fan E G，Jian Z.Application of the jacobi elliptic function method to special-type nonliear equations［J］.Phys Lett，2002，A305:383-392.

［4］杨红娟，吕克璞，段文山，等.变系数(3+1)维ZK方程的变速孤立波解［J］.西北师范大学学报:自然科学版，2007，43(2):38-40.

［5］Yan Z Y.Periopdic，solitary and rational wave solutions of the 3D extended quantum ZK equation in dense quantum plasmas［J］.Phys Lett，2009，A373:2432-2437.

［6］Dong Z Z，Chen Y，Lang Y H.Symmetry reduction and exact solutions of the(3+1)D Zakharov-Kuznetsov equation［J］.Chinese Physics，2010，B19:9.

［7］蒋毅，陈渝芝，蒲志林.1+1维空间中变系数KdV方程组的精确解［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2007，30(6):670-673.

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［9］帅鲲，蒲志林.三维空间中Zakharov方程的精确解［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2010，33(4):433-436.

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［12］李灵晓，张金良.扩展的G'/G展开法和ZK方程的精确解［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2010，33(5):626-629.

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