CAT(0)空间中全渐近非扩张非自映射的△-收敛定理

李小蓉，刘 敏

(宜宾学院数学学院，四川宜宾644000)

1 预备知识

设X是度量空间，x，y∈X且d(x，y)=l，从x到y的测地路径是满足如下条件的映射:c:［0，l］→X，使得c(0)=x且c(l)=y.一条测地路径的像称为测地线段.称度量空间X是(唯一)测地空间，如果X中任意2点间由唯一一条测地路径连接.测地空间的测地三角形△(x1，x2，x3)由以下2部分组成:X中的3点x1，x2，x3和连接每对边的测地路径.在欧氏空间 R2中，(X，d)中测地三角形△(x1，x2，x3)的比 较 三角形满足:，i，j∈{1，2，3}.

称测地空间X是CAT(0)空间，如果对X中的每个测地三角形△(x1，x2，x3)及其在R2中的比较三角形满足如下条件，对∀x，y∈△，不等式

成立.

在本文，设z=(1-t)x⊕ty为连接x到y的测地路径中的唯一一点，且满足

本文也用［x，y］表示连接x到y的测地路径，即［x，y］ ={(1-t)x⊕ty:t∈［0，1］}.

称子集C是CAT(0)空间X的凸子集，如果对∀x，y∈C，都有［x，y］⊂C.关于CAT(0)空间的一些基础知识，可参考文献［1-2］.

CAT(0)空间中的不动点理论首先由W.Kirk提出［3-4］，他证明了完备的CAT(0)空间的有界闭凸子集中的每个非扩张映射都有不动点.从那以后在CAT(0)空间背景下，各种映射，如非扩张、渐近非扩张、全渐近非扩张的单值、多值映射的不动点理论迅速地被研究，并发表了大批文章［5-17］.在2008 年，W.Kirk 等［18］证明了 T.Lim［19］引入的△-收敛与Bananch空间中弱收敛有相似的性质.

受以上研究工作的启发，本文目的是引入关于全渐近非扩张非自映射的一迭代序列，并证明该迭代序列△-收敛定理，本文结果改进并推广了参考文献的结果.

引理1.1［2］测地空间X是CAT(0)空间当且仅当对 ∀x，y，z∈X，t∈［0，1］以下不等式成立:

特别地，如果X是 CAT(0) 空间，x，y，z∈X，t∈［0，1］，则

称T:C→C为非扩张映射，如果

称T:C→C为一致L-Lipschitzian映射，如果存在常数L＞0，使得

成立.

称T:C→C是({μn}，{νn}，ζ)-全渐近非扩张自映射，如果存在非负序列{μn}，{νn} 且μn→0，νn→ 0，以及严格增的连续函数 ζ:［0，∞) →［0，∞)，且ζ(0)=0使得

成立.

设(X，d)是度量空间，C是X是非空子集，称C是X的收缩核，如果存在连续映射P:X→C，使得对∀x∈C，都有Px=x.称映射P:X→C为保核收缩，如果P2=P.显然对P的值域中任意一点y，都有Py=y.

称T:C→X为渐近非扩张非自映射，如果存在序列{kn}⊂［1，∞)且kn→1，使得以下不等式成立

其中P是X到C的非扩张保核收缩.

称T:C→X是({μn}，{νn}，ζ)-全渐近非扩张非自映射，如果存在非负序列{μn}，{νn}且μn→0，νn→ 0，以及严格增的连续函数 ζ:［0，∞) →［0，∞)，且ζ(0)=0使得以下不等式成立

其中P是X到C的非扩张保核收缩.

定义1.1称T:C→X为一致L-Lipschitzian非自映射，如果存在常数L＞0，使得以下不等式成立

其中P是X到C的非扩张保核收缩.

2 主要结论

引入如下的迭代序列并证明其△-收敛性.

［1］Bridson M，Haefliger A.Metric Spaces of Non-Positive Curvature［M］.Berlin:Springer-Verlag，1999.

［2］Dhompongsa S，Panyanak B.On △ -convergence theorems in CAT(0)spaces［J］.Comput Math Appl，2008，56(10):2572-2579.

［3］Alvarez D G，Acedo G L P，Rafael V C.Seminar of Mathematical Analysis:Proceedings Universities of Malaga and Seville(Spain)，September 2004-June 2005［M］.Sevilla:Universidad de Sevilla，2006.

［4］Kirk W A.Geodesic geometry and fixed point theory II［C］//In International Conference on Fixed Point Theory and Applications，Yokohama:Yokohama Publ，2004:113-114.

［5］Dhompongsa S，Kirk W A，Sims B.Fixed points of uniformly Lipschitzian mappings［J］.Nonlinear Anal:TMA，2006，65(4):762-772.

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［13］Tang J F，Chang S S，Joseph L，et al.Iterative algorithm and△ -convergence theorems for total asymptotically nonexpansive mappings in CAT(0)spaces［J］.Abstr Appl Anal，2012，doi:10.1155/2012/965751.

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［17］李小蓉.Banach空间中可数簇全拟-φ-渐近非扩张非自映射的强收敛定理［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2014，37(1):62-67.

［18］Kirk W A，Panyanak B.A concept of convergence in geodesic spaces［J］.Nonlinear Anal:TMA，2008，68(12):3689-3696.

［19］Lim T C.Remarks on some fixed point theorems［J］.Proc Am Math Soc，1976，60:179-182.