几类非线性发展方程的精确解和不变集

陈一虎，贾化冰

(宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013)

1 引言及预备知识

精确解在非线性现象和动力系统研究中扮演着很重要的角色，而围绕求解方法，与对称相关的方法取得了巨大的成功，最著名的方法是经典对称方法，又叫Lie群方法［1-3］，在此基础上又有几种推广方法，包括非经典对称方法［4-8］、Lie-Bäcklund对称方法和广义条件对称方法(有时也称条件Lie-Bäcklund 对称方法)［9-12］、直接方法［13-16］等，非线性发展方程的许多有意义的精确解是由这些方法获得的.

主要讨论如下形式的1+1维k阶非线性发展方程

2 借助于集合1讨论方程

它在几何和非牛顿流体力学方面有广泛的应用.

设方程(10)满足集合1，利用(7)式有

下面对f(x)分几种情况讨论.

(i)f(x)=x.

考虑到(11)式的左端与变量x无关，对(11)式两端关于x求导得到

和T'(t)=c1T(t)，得到方程(10)的精确解由下式给出

3 借助于集合2讨论N维径向对称非线性抛物型方程

研究了拟线性扩散方程和N维径向对称非线性抛物型方程，给出了方程满足的条件，特别是讨论了函数f(x)的几种情况，给出了方程例子和相应的精确解.

致谢宝鸡文理学院科研项目基金(ZK0953和YK1218)陕西省教育厅专项科研计划项目基金(2013JK0572)对本文给予了资助，谨致谢意.

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