有限元方法研究修正偶应力Mindlin层合板的尺寸效应

陈万吉，杨胜奇

(沈阳航空航天大学 辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室，沈阳 110136)

航空宇航工程

有限元方法研究修正偶应力Mindlin层合板的尺寸效应

陈万吉，杨胜奇

(沈阳航空航天大学 辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室，沈阳 110136)

修正偶应力层合板的模型已由作者提出。受边界条件和板形状限制，只能够研究承受双正弦载荷四边简支板的尺寸效应。基于修正偶应力理论，提出了一种新的板单元，用于分析具有复杂边界条件的复合材料Mindlin层合板的尺寸效应。该单元是四边形单元，并能够同时满足C0连续条件和C1弱连续条件。为了验证该单元的性能和精度，给出了具有不同边界条件和载荷的算例。数值结果表明，提出的单元不仅能够捕捉到尺寸效应，而且结果与已发表论文中的解析解吻合，具有较高的精度。

四边形板单元；Mindlin层合板；修正偶应力理论；尺寸效应；材料长度尺寸参数

复合材料层合板由于其优越的力学性能，得到了广泛的应用。当复合材料层合板进入微米量级时，由于层合板纤维和基体中存在杂质，晶格错位和微裂纹，使得层合板的强度和刚度大于经典层合板理论的结果(这种现象被称为尺寸效应)。经典层合板理论不再适用于研究复合材料层合板的微观结构。材料的细观结构理论亟待发展。许多实验[1-3]也证实了材料进入微米量级时，微观结构会产生尺寸效应。为了解决此问题，人们在传统连续体力学基础上，提出了偶应力理论，应变梯度理论等细观理论。

本文应用偶应力理论来计算尺寸效应。偶应力理论可以看成一种特殊的应变梯度理论，两种理论的本构关系可以统一表达为：σij=Cijkl(εkl-12▽2εkl)，其中σij,εij和Cijkl分别是应力张量，应变张量和弹性模量张量。不同在于：偶应力理论用转动来描述曲率(εkl=ωk,l)，而应变梯度理论用应变来描述曲率(εkl=εkl)。

1963年，Mindlin[4]提出了经典的偶应力理论，在该理论中，应变是对称，而曲率不对称。而且该理论中只含有一个细观材料长度参数。1965年，Neuber[5]提出一种偶应力理论，含有四个材料长度尺寸参数。然而，由于上述理论中曲率不对称性，使其不便应用于工程实际中。

2002年，Yang[6]提出一种修正偶应力理论，该理论中应变和曲率都是对称的。2009年，Tsiatas[7]基于修正偶应力理论，建立了Kirchhoff板模型。2011年，Ma等[8]基于修正偶应力理论，建立了Mindlin板模型。2012年，Reddy[9]基于修正偶应力理论，提出了一种高阶理论用于分析功能梯度板。2014年，Jung[10]基于修正偶应力，建立了S形功能梯度材料的弹性介质纳米板。Shaat[11]基于修正偶应力，分析了具有表面效应的Kirchhoff纳米板的弯曲问题。Romanoff[12]用网状芯的夹芯板作为试验材料，验证了修正偶应力Timoshenko梁理论。上述偶应力理论仅适用于各向同性材料。

陈万吉等首次提出适用于各向异性材料的新修正偶应力理论[17]，建立了一系列复合材料层合梁/板模型[13-17]。并基于新修正偶应力，研究了复合材料层合梁/板的振动[18]、稳定[19]和大变形[20]问题。

上述文章都是使用解析法来研究偶应力理论，然而寻找具有复杂边界条件的偶应力的解析解是十分困难的。特别是偶应力层合板，到目前为止，只能够计算承受双正弦载荷的四边简支板。2013年，Roque[21]用无网格，研究了基于修正偶应力的Mindlin板。同年，Zhang[22]基于修正偶应力，提出了一种Mindlin板单元。

本文基于新修正偶应力理论，提出了一种新的板单元，用于分析复合材料Mindlin层合板的尺寸效应。使用有限元方法来分析偶应力层合板的尺寸效应，则不受边界条件，载荷和板形状的限制，而且列式要比解析解简单。

1 偶应力Mindlin层合板理论公式

1.1 修正偶应力Mindlin层合板的位移场

如图1所示，建立直角坐标系，Mindlin板的位移场为：

图1 层合板示意图

(1)

其中θx和θy分别是截面上绕y轴和x轴的转角(如图1所示)。

1.2 修正偶应力Mindlin层合板的应变和曲率

Mindlin板的应变和曲率为：

(2)

(3)

1.3 修正偶应力Mindlin层合板的本构方程

基于整体坐标(x,y,z)，建立第k层的本构方程：

σk=Qkε

(4)

(5)

Qk=TkTCkTk

(6)

其中：

(7)

(8)

(9)

φk是每层的铺设角。

2 有限元分析

本文提出的四边形单元必须同时满足C0连续条件和C1弱连续条件，采用四边形薄板单元REC4[23]构造满足C0连续条件的横向位移函数w0，采用精化不协调元RPQ4[24]构造满足C1连续条件的横向位移函数w*。

2.1 满足C0连续条件的横向位移函数w0

四边形薄板单元REC4可以满足C0连续条件，REC4的横向位移函数w0为：

w0(x,y)=Xβ

(10)

X=[1xyx2xyy2x3x2yxy2y3x3yxy3]

(11)

β={β1β2β3β4β5β6β7β8β9β10β11β12}T

(12)

用12个节点位移参数确定参数β，得：

q=Aβ

(13)

则

β=A-1q

(14)

单元函数w0可以表示为：

w0(x,y)=XA-1q=Fq

(15)

横向位移w0的二阶导可以写为：

其中，B=[B1B2B3B4]

(16)

2.2 满足C′连续条件的横向位移函数w*

四边形精化不协调元RPQ4可以满足C1连续条件，RPQ4的横向位移函数w*为：

w*=w0+p(Bc-B0)q=F*q

(17)

把公式(15)代入公式(17)，得

F*=F+p(Bc-B0)

(18)

矩阵Bc可以表示为:

Bc=Bca+1.9(Bca-Bcb)

(19)

矩阵Bca可以表示为:

Bca=[Bca1Bca2Bca3Bca4]

(20)

同理，矩阵Bcb可以表示为:

Bcb=[Bcb1Bcb2Bcb3Bcb4]

(21)

通过下标轮换可以求得Bcb2，Bcb3和Bcb4。

2.3 四边形单元的位移函数

位移函数可以由节点变量和形函数表示为：

(22)

2.4 四边形单元的应变和刚度矩阵

基于应变-位移关系，应变可写为：

ε=[∂]u*=Bqe

(23)

(24)

单元刚度矩阵Ke可以由下式得到，

(25)

3 数值算例

在本文中，使用提出的四边形单元分析了两种Mindlin层合微板的算例。解析解可以用来检验有限元法的可靠性，目前，偶应力理论的解析解很少。算例1是承受双正弦载荷的四边简支板，我们已求得解析解，通过比较检验了该有限元模型的可靠性和精度，同时用于验证尺寸效应。算例2是承受均布载荷的四边固支板，说明使用该单元计算尺寸效应的优势：能够计算具有不同边界条件和载荷的Mindlin层合板的尺寸效应，而解析解只能够计算承受双正弦载荷的四边简支板。网格划分参见图1。

图2 四分之一板网格图

板的尺寸：板长L=200 μm，厚h=25 μm,q0=1 N/(mm)2，铺设角[0°/90°/0°]。

算例1:验证有限元的可靠性

四边简支板承受双正弦载荷：fw=q0sin(πx/L)sin(πy/L)，边界条件如表1所示，选取16×16的网格。

表2中列出的材料细观长度参数l=h/4时，有限元不同网格的结果和解析解的比较。为了验证单元的准确性，修正偶应力Mindlin复合材料层合板的解析解[15]在表2中给出。数值结果显示，本文的有限元法与解析解吻合。

表3列出在16×16网格下，不同材料细观长度参数(1=0～1=h)的Mindlin层合板的位移、转角和应力的最大值，用来验证尺寸效应。结果表明：随着材料常数的增大，偶应力层合板的位移，转角和应力变小。

表1 算例1的边界条件

表2 位移，转角和应力的最大值(l=h/4)

表3 位移，转角和应力的最大值(网格:16×16)

算例2:有限元法计算偶应力层合板

四边固支板承受均布载荷：fw=q0，边界条件如表4所示，选取16×16的网格。

在图3，4和5，中分别列出了板的位移，转角和应力曲线。数值结果显示，随着材料常数的增大，偶应力层合板的位移，转角和应力要比经典弹性理论的小(尺寸效应)。说明该单元能够计算不同边界条件，不同载荷的偶应力层合板问题。

表4 算例2的边界条件

图3 板的位移(y=0.5L)

3 结论

本文提出了一种新的四边形板单元，用于分析修正偶应力复合材料Mindlin层合板的尺寸效应。该单元能同时满足C0连续条件和C1弱连续条件。为了验证该单元的性能和精度，本文给出了具有不同边界条件和载荷的算例。数值结果表明提出的单元不仅能够捕捉到尺寸效应，而且结果与已发表论文中的解析解[10]吻合，具有较高的精度。该单元的提出，拓展了偶应力层合板的研究范围，能够研究具有复杂边界条件的复合材料层合板的尺寸效应，而不仅仅局限于研究承受双正弦载荷的四边简支板。

图4 板的转角

图5 板的应力σx和σy(x=L/2,y=L/2)

[1]Fleck NA,Muller GM,Ashby MF,et al.Strain gradient plasticity:theory and experiment[J].Acta Metall Mater,1994,42(2):475-487.

[2]Stolken JS,Evans AG.A microbend test method for measuring the plasticity length-scale[J].Acta Mater,1998,46(14):5109-5115.

[3]Sun ZH,Wang XX,Soh A,et al.Bending of nanoscale structures:inconsistency between atomistic simulation and strain-gradient elasticity solution[J].Computational Materials Science,2007,40:108-113.

[4]Mindlin RD.Influence of couple-stresses on stress concentrations[J].Experimental Mechanics,1963,3:1-7.

[5]Neuber H.On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic cosserat continua[C].In:Proceedings of the 11th International Congress on Applied Mechanics,Springer,1965,153-158.

[6]Yang F,Chong AM,Lam DCC,et al.Couple stress based strain gradient theory for elasticity[J].International Journal of Solids and Structures,2002(39):2731-2743.

[7]Tsiatas GC.A new Kirchhoff plate model based on a modified couple stress theory[J].International Journal of Solids and Structures,2009(46):2757-2764.

[8]Ma HM,Gao XL,Reddy JN.A non-classical Mindlin plate model based on a modified couple stress theory[J].Acta Mech,2011(220):217-235.

[9]Reddy JN,Kim J.A nonlinear modified couple stress-based third-order theory of functionally graded plates[J].Compos Struct,2012(94):1128-43.

[10]Jung WY,Han SC,Park WT.A nonlinear modified couple stress theory for buckling analysis of S-FGM nanoplates embedded in Pasternak elastic medium[J].Composites:Part B,2014(60):746-756.

[11]Shaat M,Mahmoud FF,Gao XL,Faheem AF.Size-dependent bending analysis of Kirchhoff nano-plates based on a modified couple-stress theory including surface effects[J].International Journal of Machanical Sciences,2014(79):31-37.

[12]Romanoff J,Reddy JN.Experimental validation of the modified couple stress Timoshenko beam theory for web-core sandwich panels[J].Compos Struct,2014(111):130-137.

[13]Chen WJ,Li L,Ma X.A modified couple stress model for bending analysis of composite laminated beams with first order shear deformation[J].Compos Struct,2011(93):2723-2732.

[14]Chen WJ,Chen WW,Sze KY.A model of composite laminated Reddy beam based on a modified couple-stress theory[J].Compos Struct,2012(94):2599-2609.

[15]Chen WJ,Ma X,Li L.A model of composite laminated Reddy plate based on a new modified couple stress theory[J].Compos Struct,2012(94):2143-2156.

[16]Chen WJ,Si JL.A model of composite laminated beam based on the global-local theory and new modified couple-stress theory[J].Compos Struct,2013(103):99-107.

[17]Chen WJ,Li XP.A new modified couple stress theory for anisotropic elasticity and microscale laminated Kirchhoff plate model[J].Acta Mech,2014(84):323-341.

[18]Chen WJ,Li XP.Size-dependent free vibration analysis of composite laminated Timoshenko beam based on new modified couple stress theory[J].Acta Mech,2012(83):431-444.

[19]陈万吉，郑楠.偶应力理论层合梁的稳定性及尺度效应[J].沈阳航空航天大学学报，2012,29(4):29-34.

[20]陈万吉,赵国水.偶应力理论层合梁大变形非线性分析[J].沈阳航空航天大学学报，2013,30(4):30-35.

[21]Roque CMC,Ferreira AJM,Reddy JN.Analysis of Mindlin micro plates with a modified couple stress theory and a meshless method[J].Applied Mathematical Modelling,2013(37):4626-4633.

[22]Zhang B,He YM,Liu DB,Gan ZP,Shen L.A non-classical Mindlin plate finite element based on a modified couple stress theory[J].European Journal of Mechanics-A/Solids,2013(42):63-80.

[23]Zienkiewicz OC,Cheung YK.The finite element method for analysis of elastic isotropic and orthotropic slabs[J].Proc Inst Civ Eng,1964(28):471.

[24]Chen WJ,Cheung YK.Refined nonconforming quadrilateral thin plate bending element[J].Int J Numer Meth Eng,1997(41):3915-35.

[25]Pagano N J.Exact solutions for rectangular bi-directional composites[J].Journal of Composite Materials,1970(4):20-34.

(责任编辑：刘划 英文审校：刘敬钰)

StudyonthescaleeffectofMindlinlaminatedplatebasedonmodifiedcouplestresstheorybyfiniteelementmethod

CHEN Wan-ji，YANG Sheng-qi

(Key Laboratory of Liaoning Province for Composite Structural Analysis of Aerocraft and Simulation,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

Models of composite laminated plates based on modified couple stress theory have been proposed by authors,but the investigation of the scale effect is limited to a simply supported rectangular plate subject to bending loads offw=q0sin(πx/a)sin(πy/a).In this paper,a novel plate element based on modified couple stress theory is presented to further the study of the scale effects for more complex boundary conditions and load cases on composite Mindlin laminated plate.The present element is a refined quadrilateral one in which theC1weak-continuity condition andC0continuity condition can be satisfied simultaneously.To verify the applicability and accuracy of the present element,examples with various boundary conditions and loads are examined.The numerical results based on the current element can not only capture the scale effects of microstructure,but also coincide with analytical results in the pre-existing literatures with high calculating precision.

rectangular plate element;eddy laminated plate;modified couple stress theory;scale effect;material length scale parameter

2014-04-21

国家自然科学基金(项目编号：11072156)

陈万吉(1941-)，男，辽宁鞍山人，教授，博士生导师，主要研究方向：多尺度层合板理论，复合材料结构高阶理论及工程应用，E-mail:chenwj@dlut.edu.cn。

2095-1248(2014)03-0001-08

TB12

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2014.03.001