论数与数轴上点的对应关系

冉邦恒

摘要：数，表示事物的量的基本数学概念，是数学讨论的基本元素。而轴（形数）是规定了原点、方向、长度单位的直线（点的集合）。两者有机结合，形成一种数学思想——数形结合思想。化数为形，化形为数，给抽象的概念予以直观的表述，可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。

关键词：数；数轴；对应关系

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0231-02

现实的中等职业学校，学生一般基础较差。本人通过多年的中职数学教学，深知学生在数学课程中经常用到的“实数与数轴上的点一一对应”这一普遍而常用的结论，在不等式解集的表示，集合的有关运算中时常出现错误。下面谈一谈“实数与数轴”的内在联系。

一、自然数

1.（基数理论）两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数。这样，所有单元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基数，记作1。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，如｛x.Y｝，｛a，b｝它们的基数相同，记作2，等等，即基数是指集合中元素的“个数”。

2.（序数理论）在自然数集N中有：（1）N中存在元素“1”，它不是N中任何一个元素的后继数.（2）N中每一个元素有且只有一个后继数。由此可知N中的元素可按1，2，3，4…这样的顺序排列。

在集合中，空集不含任何元素，只能用“0”来描述空集中所含元素的多少。因此，无论从自然数的序数功能方面把0作为自然数，还是在自然数的运算功能（见后自然数性质3）中把0作为自然数，都有理由说得过去，正因为如此，我国中小学教材将0化归为自然数系列。自然数的基本性质有：（1）有最小元素0，没有最大元素但是有顺序。（2）无限集。（3）具有离散性（对任意两个相连自然数之间不存在第三个自然数。（4）对加法，乘法运算都是封闭的，即集合｛0，1，2，3，4，5，…，n，…｝中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。数轴是人为规定的，满足有：（1）原点。（2）长度单位。（3）正方向的几何图形（点的集合）。从原点（记为0）出发朝正方向（右）的直线上取适当的长度作为单位长度，比如可以取1cm作为单位长度，这样距起点零一个长度单位的点就对应数1，距零两个长度单位的点就对应数2，依次类推。这样每个自然数（又称正整数）就在数轴上与相应的点形成数对点的一一对应，这些点称为自然数点，基于自然数的离散性，使得点与点之间没有相连，是孤立的，自然数与轴上点就结合在一起。

二、整数

生活中有很多具有相反意义的现象，比如增加和减少、前进和后退等。既然有相反意义的现象，那么记录这两者的数字符号也应有区别。于是引入了负数概念，负数是人们记录具有相反意义现象的不同数字符号，由于每一个正数（自然数）都有它相对的一个负数，它们对称的分布在轴原点的两边，这样的一对数互称为相反数（若a=-b则a是b的相反数）。我们把与自然数相对的原点左边的这类数称为负整数。正整数、零与负整数构成了整数系（Z）。整数系是自然数系的扩展，自然数的一切性质整数都具有，但同时也有自然数不具备的性质（后有说明）。整数系虽是无限集合，但它并不是密密麻麻地分布在整个图上，而是间隔分布。

事情并没有结束，上述的整数点与整数点之间仍有间隙，那么这之间的点又如何解读呢？这就使人们又联想到在整数点与点之间一定还有另外的（点）数存在。我们知道，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。因此把自然数系扩大到整数系后，加法，减法，乘法总可以施行。但除法又不能自由施行，即两个数的商不一定是整数。如求解方程mx=n（m≠0），如果m，n是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，解决这一问题的有效方法就是把整数系再扩大。事实上人类可知的量，除了能表示个体的量（整数）之外。另一类是可无限细分的量（如长度，面积）。对于能无限细分的量，用一个可相比的数来表示。

三、有理数

有理数就是可以用比来表示的数，常用（m∈Z。n∈N*）形式表示，故又称作分数。这类数有如下性质：（1）加法，减法，乘法，除法（除数不为零）运算总可实施，即运算的结果总是有理数（有理数的封闭性）。（2）任意两个有理数都可以比较大小（顺序性）。（3）有理数集具有稠密性。即对任意两个有理数a 和b，总有一个有理数c满足a

四、无理数

远在两千多年前的古希腊，有一个专门研究数学的团体。他们画了一个边长为1的正方形，根据勾股定理来求其对角线长度，但这对角线的长度不知道用一个怎样的数来表示，但这个数又肯定是存在的，最后认定这是一个从未见过的新数。受这个数的启示，后来又陆续发现了很多都与上述对角线长度数具有一样共性的数，人们把这些数取名为无理数。诸如开方开不尽的数，，等。大多数三角函数值（如sin50°），对数函数值，计算中产生的数（ π，e）以及构造出来的无理数（0.1010010001…）等。因此，无理数集也是无限集，既没有最大的元素，也没有最小的元素。这样的一些数，在数轴上同样能够找到这样的点与之对应。

有理数和无理数统称为实数。实数具有下列性质：（1）在实数集中，加法，减法。乘法。除法（除数不为零）运算总可以实施。（2）任意两个实数都可以比较大小。（3）实数集具有稠密性，对任意两个实数α<β存在一个实数γ，使得α<γ<β。（4）实数集具有连续性。

综上所述，数轴上的点除了有理点之外，都是无理点，且每个有理数和无理数在数轴上都能找到对应的点。所有的实数布满了整个数轴。正是实数集具有连续的特性，使得实数点布满了整个数轴。实数与数轴上的点一一对应，直线可以看作是实数的几何表示。讨论实数的性质就可在直线上进行，这就为后来的实数理论的应用提供了理论基础。试想，如学生掌握了这些知识，势必对数轴的应用能得心应手，起到事半功倍的作用。