基于奇异值分解和相关峭度的滚动轴承故障诊断方法研究

张永祥，王孝霖，张 帅，朱杰平

(海军工程大学 动力工程学院, 武汉 430033)

滚动轴承在各类旋转机械中应用广泛，是机械设备的关键零部件，也是易损元件。振动监测法适用于各种类型和工况的轴承，且适于早期故障监测和在线监测，是常用的滚动轴承故障监测诊断方法。滚动轴承的工作环境一般包含很多其它机械零部件，检测信号中存在诸如机器不平衡产生的振动、齿轮啮合振动等强背景噪声，滚动轴承轻微故障的特征信息往往淹没在背景噪声中，很难被发现和提取出来。

近年来，众多学者对轴承的故障诊断进行了广泛研究[1]，常用方法的核心集中于消噪和特征提取。小波分析在原信号中故障冲击相对明显时，可以获得更为明显、可以确认的时域冲击特征，但是小波分析的频带特性使其难以对微弱故障特征进行有效提取[2]。奇异值分解(SVD)近年来在信号的处理分析中获得了重要的应用，在特征信息分离和弱信号提取方面取得了良好的效果[2-3]。Hankel矩阵方式下的SVD分量信号具有线性叠加特性，通过选取感兴趣的分量进行叠加，可以实现对信号特征信息的提取[4]。利用SVD分离出的分量信号进行特征提取时，关键在于有用分量的确定，分量的选择影响信号处理的效果。

本文首先分析了Hankel矩阵方式下SVD的信号分解原理，指出其信号分解的实质是一种线性叠加分解[4]。随后，引入了相关峭度的概念，并对相关峭度的定义进行了阐述[5]。对SVD的特征提取方法进行研究，结合轴承振动信号的特点，提出了根据相关峭度进行SVD分量信号选择的轴承故障特征提取方法。对滚动轴承故障冲击振动信号展开研究，通过仿真信号和工程实测的滚动轴承振动信号对该方法的有效性进行验证。

1 SVD的信号分解和特征提取

1.1 SVD的信号分解原理

奇异值分解是指[6]：对于一个实矩阵A∈Rm×n，必定存在正交矩阵U∈Rm×n和正交矩阵V∈Rn×n，使得(1)成立

A=UDVT

(1)

式中，D为对角阵，D∈Rm×n，可表示为D=[diag(σ1,σ2,…,σq)O]或者其转置，这取决于m≤n还是m>n，O表示零矩阵，q=min(m,n)，且有σ1≥σ2≥…≥σq≥0，它们称为矩阵A的奇异值。

对于一个一维信号序列，为了利用SVD对其进行处理，必须先利用信号构造出一个矩阵。设有离散数字信号X=[x(1),x(2),…,x(N)]，利用此信号可以构造Hankel矩阵[7]。

为了利用SVD实现信号的分离，需将式(1)改写成用列向量ui和vi表示的形式

(2)

(3)

从Hankel矩阵的构造过程可知，只要将Ai的第一个行向量Pi,1=[xi(1)xi(2) …xi(n)]和最后一个列向量中第2行至m行元素组成的向量Hi,n=[xi(n+1)xi(n+2) …xi(N)]首尾相接，就可以构成一个分量信号Si，写成向量形式为

Si=[Pi,1Hi,n]Pi,1∈R1×n,Hi,1∈R1×(m-1)

(4)

全部Ai(i=1,2,…,1)按照此方式构成的分量Si就形成了对原始信号的一种分解，分量信号的顺序根据相应奇异值σi的大小从高到底依次排列。这q个分量信号的线性叠加的结果就是原始信号，即

S1+S2+…+Sq=X

(5)

由以上过程可知，SVD可以将原始信号分解为一系列分量信号的简单线性叠加。利用这种线性叠加关系，通过选取合适的分量，可以实现对信号特征信息的提取。

1.2 矩阵结构的确定

Hankel矩阵构造时，m和n的取值不同，SVD的信号分解效果会有很大区别。可以通过对信息量变化趋势进行分析，进而确定合理的矩阵结构。

各分量信号Si包含的信息量是彼此不同的，具体由相应奇异值大小决定，σi越小，则相应Si的信息量越小，Si的信息量可由下式综合衡量[8]：

(6)

实际上，信息量过小的信号分量的意义不大，据此可以合理地确定矩阵行列。方法如下：取一系列不同的行数m构造Hankel矩阵，利用相应矩阵的奇异值计算各分量信号的信息量，并观察它们的变化趋势。若不论m取何值，从某一信息量ηi开始的后续信息量都趋于零，则表明第i个分量之后的其它分量并没有多大意义，此时可以确定矩阵行数m=i，而列数为n=N-m+1。

1.3 相关峭度

峭度指标能有效地反映机械设备中的冲击信号，峭度越大，冲击越强。所以，很多学者利用峭度来提取滚动轴承由故障引起的冲击信号[9]。但机械设备中冲击源较多，如齿轮点蚀、滚动轴承表面损伤、泵中滚体气蚀等。因此，仅用峭度来提取(或衡量)滚动轴承故障信号，有时有效性显得不足。相关峭度(Correlated Kurtosis)CK既保留了峭度的特性，也具有相关函数的特性，它能提取一些特定周期的冲击信号。相关峭度的计算公式为[5]：

(7)

式中，xn为信号序列，N为采样长度，T为感兴趣脉冲信号的周期，M为偏移的周期个数。

相关峭度是反映振动信号中特定周期脉冲信号强度的参数，它与脉冲信号的周期相关。相关峭度能够准确反映出信号中故障冲击信号的强度，因此特别适用于轴承表面损伤类故障。应用于滚动轴承时，给定偏移故障周期T，如果轴承存在故障，则与轴承故障周期相同的冲击信号相关峭度较大，而其它冲击信号的相关峭度很小。并且，相关峭度值越大，说明信号中故障冲击信号所占的比重越多。所以，利用相关峭度能更加有效地提取故障信号。

1.4 基于SVD和相关峭度的特征提取方法

如上所述，当分量信号的相关峭度比较大时，可以判断此分量的冲击成分最为明显，包含的轴承故障信息较多。利用SVD进行滚动轴承故障特征提取时，可以将相关峭度作为SVD分量的选择依据。基于SVD和相关峭度的特征提取方法可以总结为以下几个步骤：

(1)根据信号构造Hankel矩阵，对行数m取不同值时SVD分量信号的信息量变化趋势进行分析，确定合理的矩阵结构。

(2)由确定的行列数构造出矩阵，通过SVD将原始信号分解为一系列分量信号的简单线性叠加。

(3)求出每个SVD分量信号的相关峭度值，选取相关峭度值最大的分量，从而实现对原信号中故障特征的提取。

(4)对提取信号进行平方包络解调分析，从而获得信号的包络谱，根据包络谱中特征频率对滚动轴承故障类型进行判断。

2 仿真研究

为了验证基于SVD和相关峭度的滚动轴承故障诊断方法的正确性和有效性，首先利用滚动轴承内圈故障的仿真信号进行研究分析。

2.1 信号仿真

滚动轴承发生早期故障时，测得的振动信号中既有弱故障信号，还包含齿轮啮合、轴不对中等产生的谐波信号以及其它背景噪声，可得滚动轴承内圈单个损伤点引起的振动模型如下[10]:

(8)

式中，Ai为以1/fr为周期的幅值调制，fr为轴的转频；B(t)为背景谐波分量，fm为齿轮啮合频率；s(t)为指数衰减脉冲，两相邻冲击的间隔为T，τi为滑移引起的第i个脉冲的周期延迟；n(t)为白噪声；A0、B0、CA为常数，CA>A0；R为由系统决定的衰减系数，fn为系统的自然频率。

2.2 验证与分析

设采样频率fs为16 384 Hz，转频fr为52 Hz，故障频率fi为180 Hz，信号时长0.5 s。由(8)式可得仿真信号波形如图1(a)所示，图中显示了局部放大后的一段时域波形，时域波形图中包含明显的谐波分量，故障信号微弱，再加上噪声的干扰，很难看到故障冲击。仿真信号的平方包络谱分析结果如图1(b)所示，可以看出解调诊断的效果欠佳，轴承转频谱线不明显，故障特征频率180 Hz虽能解调出来，但轴承内圈故障信号的调制特征没有解调出来。由仿真信号的波形和平方包络谱不能对故障进行有效诊断。

图1 仿真信号

对长度N=8 192的仿真信号进行处理分析，先通过取一系列不同的行数m构造Hankel矩阵，利用相应矩阵的奇异值计算各分量信号的信息量，对分量信息量变化趋势进行分析，可以确定矩阵行数m=20，列数n=8 173，然后进行SVD分解可得到20个分量信号。由感兴趣分量周期T=1/fi，利用相关峭度公式(7)可得各分量的相关峭度值，峭度值曲线如图2所示。由图2可以看出，第4个分量信号的相关峭度值最大，进而对第4个分量信号进行提取。提取信号波形如图3(a)所示，从其时域波形中能看到比较明显的故障冲击及幅值调制。对提取信号作平方包络分析如图3(b)所示，包络谱图能精确地指示故障特征频率180 Hz及其各阶倍频分量，同时以各阶倍频为中心在其两旁有间隔等于旋转频率的调制谱线。由平方包络谱图和轴承内圈故障信号的特征，能够有效诊断出轴承内圈故障，这验证了本文提出的基于SVD和相关峭度的滚动轴承故障特征提取方法的有效性。

图2 相关峭度值曲线

3 实验研究

3.1 实验装置

滚动轴承的实际振动信号来自实验室的滚动轴承故障模拟平台，实验装置如图4(a)所示，故障轴承安装在左端。实验采用6 010型滚动轴承，滚动轴承的结构参数：轴承节径D=65 mm，滚动体直径d=9 mm，滚动体数目Z=13，接触角为α=0°。该滚动轴承为内圈故障。实验中使用加速度传感器采集振动信号，测量点的布置如图4(b)所示，传感器采用钢制螺栓固定，分别安放在轴承近端(测点1)和远端(测点2)，并同时测量径向和轴向的振动。

本文采用轴承远端测得的轴向振动信号，轴承振动信号用B&K3560C振动噪声分析系统测量获得，采样频率为16 384 Hz。实验转速为2 022 r/min，即转频fr为33.70 Hz，由轴承几何参数及各特征频率与转频的关系[8]，可得内圈特征频率fi=249.38 Hz。

图4 滚动轴承模拟实验台

3.2 实验数据及分析

实测振动信号的波形如图5(a)所示，轴承故障信号从轴承到远端测点，经传递过程产生衰减，加上机体振动、皮带轮不平衡产生的振动等背景噪声，可以看到皮带轮处产生的明显周期冲击，而故障周期冲击脉冲不明显。实测振动信号的平方包络谱如图5(b)所示，可以看到由于背景噪声的干扰，解调诊断的效果欠佳，只有34 Hz处近似转频谱线清晰可见，故障特征频率250 Hz虽能解调出来，但轴承内圈故障信号的调制特征没有解调出来。由实测信号的波形和平方包络谱，无法对轴承故障进行有效判断。

取实测信号的8 192个数据点进行处理分析，通过取一系列不同的行数m构造Hankel矩阵，利用相应矩阵的奇异值计算各分量信号的信息量，对分量信息量变化趋势进行分析，可以确定矩阵行数m=50，列数n=8 143，然后进行SVD分解得到50个分量信号。构造Hankel矩阵，根据经验对信号进行SVD分解得到50个分量。由感兴趣分量周期T=1/fi，利用相关峭度公式(7)可得各分量的相关峭度值，相关峭度值曲线如图6所示。由图6可以看出，第12个分量信号的相关峭度值最大，进而对第12个分量信号进行提取。提取信号的波形如图7(a)所示，图中可以看出明显的故障冲击及转频的幅值调制。对提取信号进行平方包络分析得到的包络谱如图7(b)所示，图中可以看到内圈故障特征频率250 Hz(理论计算值249.38 Hz)及其倍频，且谱线较为明显。包络谱中也可看到转频34 Hz(理论计算值33.70 Hz)，以及围绕内圈通过频率及其谐波、间距为转频的调制边带。根据轴承内圈故障转频调制特点，由平方包络谱结果能够诊断轴承故障为内圈故障。

通过对实测信号运用基于SVD和相关峭度的滚动轴承故障特征提取方法，有效提取了轴承弱故障信号，通过进一步的包络分析，准确地对轴承故障的类型和位置作出了判断，证明了该诊断方法是有其优越性的。

图5 实测信号

图7 提取信号

4 结 论

本文在分析了SVD的信号分解原理和周期脉冲信号相关峭度定义的基础上，提出了结合SVD信号分解和相关峭度的滚动轴承弱故障特征提取方法，即首先通过SVD对信号进行分解，然后通过选择相关峭度最大的分量信号，提取出轴承弱故障信号。利用该方法对轴承内圈故障仿真信号进行处理，验证了该方法的有效性。为了检验它的实际效果，本文将此方法应用到实测信号中进行了检验，结果表明：该方法能够有效提取轴承弱故障信号，对于轴承故障的监测和故障诊断是可行的。

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