新课程标准下开展数学“反思学习法”的探究

何玉兰

（新疆温宿县第二中学，新疆 温宿 843100）

新课程标准下开展数学“反思学习法”的探究

何玉兰

（新疆温宿县第二中学，新疆 温宿 843100）

《普通高中数学课程标准》（实验）指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一”。为了帮助学生形成良好的数学思维习惯，在高一学生中尝试开展“反思学习法”，通过实验，实施在例题的方法规律处反思，在易错处反思，解题后反思的策略，促进学生形成反思习惯，达到培养其数学思维的目的。

新课程标准；数学思维；数学反思

一、问题的提出

高中阶段的教学中，我们经常会遇到这样的现象，学生普遍认为，数学难学，尽管他们学习数学很努力，但很难有成功的喜悦，一些在初中数学成绩较好的学生，甚至在中考中数学取得优秀成绩的学生，经过高中一段时间的学习后，数学成绩却呈下降趋势。造成这种现象的原因是多方面的，根据皮亚杰的“发生认知理论”，我们可以看到一个非常重要的原因，就是从初中到高中的过渡时期正是人的思维由具体运演阶段过渡到形式运演阶段的时期。在这一时期思维要逐渐由接受具体事物向接受抽象理论过渡，而大部分学生进入高一以后不能很好地转换思维模式，不能适应高中具有高度理性思维的数学学习，他们对老师的例题一听就懂，可自己解题时，一做就错或无从下手，他们最爱问的问题是：“老师，你是怎样想出来的？”这表明学生思维水平相对还比较薄弱，成为制约学生高中数学学习的瓶颈。《普通高中数学课程标准》（实验）指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。在数学教育教学实践中，我们发现存在这样的普遍规律：数学学困生和数学优秀生在数学成绩上产生差异的主要原因是对于数学学习活动缺乏自我意识，对于解决数学问题的过程缺少自我检验、自我反思，即主要体现在数学思维水平的差异。我们知道，数学教学的一个很重要的任务，就是教会学生如何解数学题，教会学生“数学的思维”。数学学习的过程，给我们印象最深刻的是不断地提出问题、研究问题、求解问题。衡量我们学习数学的成效也主要通过解决数学问题的水平来评价。数学解题活动本质上是一种思维活动，它不仅是一个对目标、材料信息的认定、操作过程，而且也是一个积极、自觉地定向、控制、检查、调节的认知过程，这里的检查和调节的过程即对解题过程进行反思的过程。从目前的研究来看，关于各类型问题的积累、解题的具体过程、技巧的偏多，而对于学生究竟怎样思考，他们所遇到的主要困难，学生解题的思维过程和思维模式的分析相对较少。为了能够让学生尽快完成思维的过渡，帮助学生形成良好的数学思维习惯，笔者在高一学生中尝试开展“反思学习

指导法”，旨在着重训练学生的数学思维，提高解决数学问题的能力。

二、概念界定与理论综述

“反思学习法”即某节内容学习后，教师及时引导学生回忆和反思教和学的过程，讲清教师设计的每一个例题的用意，指出教师设计每个（组）练习题的目的，提出对学生的要求：每次解题之后都要尝试“解题回顾”，即对自己的解题过程进行自我检验；同时纠正不认真反思、不积极思考而等待老师讲的坏习惯，培养学生对自己的解题过程进行反思、做出评价的习惯。通过培养反思习惯，使学生有意识地对自己的学习过程进行回顾和检验，并逐步形成反思意识，培养学生的理性精神。为什么反思可以优化解题策略，调控解题过程呢？常识告诉我们，数学书不能像小说那样“看”，而是要边读、边想、边做，“不拿笔，不读（数学）书”已成为学数学的常识，为什么？原因很简单：数学思维不能总是顺畅地进行，而是走走停停，曲折前行。在数学解题中，数学教育家波利亚在他的“解题表”中把解题分为四步（如图）

数学问题的复杂性使解题的每一步都可能“做不下去”，因而形成对前一步的超短反馈回路，而该步“做不下去”，也可能是此前的步骤造成的，因而形成对此前的每一步都可能出现反馈回路，从而形成思维的反复。由于“检验回顾”步骤（即反思）担负着监理整个解题过程（思维过程）的任务，因而形成最多和最好的回路。那么怎样进行反思呢？对于检验回顾步骤，可以就如下一些问题进行反思。这个求解过程是否有问题？有其他解法吗？有无更好的解法？这种方法或结果能用在别的题目上吗？这道题为何总解不出，它的反面如何？什么是好的解法？对解的评价问题，可以用如下的标准：第一，严格的并且是简单的；第二，初等的并且是富有新意的（即通过求解或证明，对题目有新的认识）；第三，尽可能是构造性的；第四、自然的，容易想到的；第五，便于推广使用的（甚至于能概括出新的原则和方法）。

三、培养学生反思意识的具体实施策略

1.在例题的方法规律处反思。“例题千万道，解后抛九霄”是学生中普遍存在的现象，难以达到提高解题能力、发展思维的目的。因此要培养学生善于在老师的例题解决过程中反思解题的基本方法并予以归类，总结规律，揣摩技巧，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面。例如：这道必修1《函数》一章的例题。已知二次函数图像的对称轴是x=1，图像经过点（-2，-5），且在x轴上所截取的线段长为4，求这个二次函数的解析式。可以引导学生作如下思考：读完题目后，马上想到的解决本题的基本方法有哪些；解题过程中，你的头脑里是否有一个函数图像的草图，你觉得函数图像草图在解题过程中的作用是什么；解答本题最好应该用哪种方法；请你检查解题过程，并把检查过程写下来。通过对例题的层层分析，让学生明白，问题与问题之间不是孤立的，许多表面上看似无关的问题却有內在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间本质的联系，要质疑为什么有这样的问题，它和哪些问题有联系。能否受这个问题的启发，让学生在不断的知识联系和知识整合中，丰富认知结构中的内容，体验“反思”带来的乐趣，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题。

2.在易错处反思。学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同，而其表达方式可能又不准确，这就难免有“错”。教学若能从此切入，进行反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果！比如：必修1《函数的奇偶性》的教学中判断的奇偶性。学生很容易把函数化简为f（x）=x从而判断函数为奇函数。当学生犯了这个错误时，请他们反思：这个化简的思路有什么问题，是等价变形吗？从而引导学生挖掘判断函数的奇偶性要先从判断定义域是否关于原点对称入手，这正是学生容易忽略掉的。引导学生对解错的问题进行反思，比如：（1）常出现哪些方面的错误；（2）出现这些错误的原因有哪些；（3）怎样克服这些错误，等等。同学们各抒己见，针对各种“病因”开出了有效的“方子”。实践证明，这样的例题教学是成功的，学生在准确率、速度等个方面都有极大的提高。关键是通过对错题的反思，培养学生严谨求实的作风和缜密的理性思维。

3.解题后反思。解数学题，有时由于审题不确，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，即学生解数学题，不能保证一次性正确和完善。所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成是赶任务，解完题目万事大吉，头也不回，扬长而去。由此产生大量谬误。因此要培养学生积极反思、系统小结，使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化，在解题中应用自如、改进过程，寻找解题方法上的创新。在问题解决之后，要不断地反思：解题过程是否浪费了重要的信息，能否开辟新的解题通道；解题过程多走了哪些思维回路，思维、运算能否变得简捷；是否拘泥于思维定式，照搬了熟悉的解法等。通过不断地质疑，不断改进，让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性。解题之后，要不断地探究问题的知识结构和系统性。能否对问题蕴含的知识进行纵向深入的探究？能否加强知识的横向联系？把问题所蕴含孤立的知识“点”，扩展到系统的知识“面”。通过不断地拓展、联系，加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性。这样的反思可以使学生的思维更加系统和深化，对学生的形式运演阶段的思维成熟是大有裨益的。

数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是数学活动的核心和动力。反思过程是主体自觉地对自身认知活动进行回顾、思考、总结、评价、调节的过程。所以反思是认知活动中强化自我意识、进行自我检验和自我调节的重要形式。在教学中要培养学生及时检查自己的学习过程，增强对学习过程和结果进行反思的意识，提高学生检查和反思的技能，使其养成反思的习惯，能够自觉地在解题以后总结解题的关键和成败得失，将问题进行推广和引申，培养对题目蕴含的数学思想方法进行抽象和概括的能力。在不断的反思中学会独立思考，学会用数学的思维认识和解决问题，正如为数学思维插上了一双灵动的翅膀，引领学生在数学的领域里振翅飞翔！

[1][美]G.波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982.

[2]章建跃.中学生数学学科自我监控能力[M].上海：华东师范大学出版社，2003.

[3]董奇，周勇.关于学生学习自我监控的实验研究[J].北京师范大学学报（社会科学版），1995，（1）.

[4]潘振嵘.在数学教学中如何培养学生的自我监控能力[J].数学教学研究，2002，（11）.

G632.0

A

1674-9324（2014）13-0232-03

何玉兰，新疆阿克苏地区温宿县第二中学，中学高级教师。