插值法计算实际利率

杨丽霞，黄斯婷

摘要：插值法计算实际利率，其原理是根据比例关系建立一个方程，然后解方程，计算得出所要求的数据。插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题。

关键词：插值法；计算实际利率；数值计算

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）13-0105-02

一、插值法

插值法计算实际利率，其原理是根据比例关系建立一个方程，然后解方程，计算得出所要求的数据。插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题。本节讨论具有唯一插值函数的多项式插值和分段多项式插值，对其中的多项式插值主要讨论n次多项式插值的方法，即给定n+1各点处的函数值后，怎样构造一个n次插值多项式的方法。虽然理论上可以用解方程组（2）（那里m=n）得到所求插值多项式，但遗憾的是方程组（2），当n较大时往往是严重病态的，故不能用解方程组的方法获得插值多项式。本节介绍的内容有：lagrange插值、newton插值、hermite插值，分段多项式插值及样条插值。关于内插法求实际利率，做出以下总结。

（1）内插法的原理是根据等比关系建立一个方程，然后解方程，计算得出所要求的数据。例如：假设与A1对应的数据是B1，与A2对应的数据是B2，A介于A1和A2之间，已知与A对应的数据是B，则可以按照（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）计算得出A的数值。

（2）仔细观察一下这个方程会看出一个特点，即相对应的数据在等式两方的位置相同。例如：A1位于等式左方表达式的分子和分母的左侧，与其对应的数字B1位于等式右方的表达式的分子和分母的左侧。

（3）还需要注意的一个问题是：如果对A1和A2的数值进行交换，则必须同时对B1和B2的数值也交换，否则，计算得出的结果一定不正确。

59×（1+r）^-1+59×（1+r）^-2+59×（1+r）^-3+59×（1+r）^-4+（59+1250）×（1+r）^-5=1000（元），这个计算式可以转变为59×（P/A，r，5）+1250×（P/F，r，5）=1000.

该式子采用的是复利现值系数的思路做的，如果改为年金现值系数，每年的利息其实就是年金，要收取5年，所以说是5年期的，59*（P/A，R，5）+1250×（P/F，R，5）=1000.

当r=9%时，59×3.8897+1250×0.6449=229.4923+

806.125=1035.617>1000元；当r=12%时，59×3.6048+1250×0.5674=212.6832+709.25=921.9332<1000元.

因此，9%现值利率，1035.617？摇？摇9%，1000？摇？摇r 921.9332 12%，？摇（1035.617-1000）/（1035.617-921.9332）=（9%-r）/（9%-12%），解之得，r=10%，9%是估计出来的。在计算9%和12%之前，会有很多次预测，最终估算确定出9%和12%来推算r。

例如：假设与A1对应的数据是B1，与A2对应的数据是B2，现在已知与A对应的数据是B，A介于A1和A2之间，即下对应关系：

？摇？摇A1？摇？摇？摇？摇B1

？摇？摇A（？）？摇？摇B

？摇？摇A2？摇？摇？摇？摇B2

则可以按照（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）计算得出A的数值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知数据。根本不必记忆教材中的公式，也没有任何规定必须B1>B2，验证如下：

根据：（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）可知：（A1-A）=（B1-B）/（B1-B2）×（A1-A2），A=A1-（B1-B）/（B1-B2）×（A1-A2）=A1+（B1-B）/（B1-B2）×（A2-A1）.

例如：某人向银行存入5000元，在利率为多少时才能保证在未来10年中每年末收到750元？5000/750=6.667或750*m=5000，查年金现值表，期数为10，利率i=8%时，系数为6.710；利率i=9%，系数为6.418。说明利率在8%～9%之间，设为x%

？摇？摇8%？摇？摇6.710 x%？摇？摇6.667？摇？摇9%？摇？摇6.418

（x%-8%）/（9%-8%）=（6.667-6.71）/（6.418-6.71），计算得出x=8.147。

二、经典例题

2000年1月1日，ABC公司支付价款120000元（含交易费用），从活跃市场上购入某公司5年期债券，面值180000元，票面利率5%，按年支付利息（即每年9000元），本金最后一次支付。合同约定，该债券的发行方在遇到特定情况时可以将债券赎回，且不需要为提前赎回支付额外款项。XYZ公司在购买该债券时，预计发行方不会提前赎回。ABC公司将购入的该公司债券划分为持有至到期投资，且不考虑所得税、减值损失等因素。为此，XYZ公司在初始确认时先计算确定该债券的实际利率：

设该债券的实际利率为r，则可列出如下等式：

9000×（1+r）-1+9000×（1+r）-2+9000×（1+r）-3+9000×（1+r）-4+（9000+180000）×（1+r）-5=120000元

采用插值法，可以计算得出r=14.93%，由此可编制表

年份？摇？摇？摇期初摊余成本（a）？摇？摇？摇实际利率（r）？摇？摇？摇r=14.93% 现金流入？摇（c） 期末摊余成本？摇？摇d=a+r-c

2000？摇？摇？摇120000？摇？摇？摇17916？摇？摇？摇 9000？摇？摇？摇 128916

2001？摇？摇？摇128916？摇？摇？摇19247？摇？摇？摇 9000？摇？摇？摇 139163

2002？摇？摇？摇139163？摇？摇？摇20777？摇？摇？摇 9000？摇？摇？摇 150940

2003？摇？摇？摇150940？摇？摇？摇22535？摇？摇？摇 9000？摇？摇？摇 164475

2004？摇？摇？摇164475？摇？摇？摇24525（倒挤）？摇？摇？摇189000？摇？摇？摇0

但是如果计算利率r先假设两个实际利率a和b，那么这两个利率的对应值为A和B，实际利率是直线a、b上的一个点，这个点的对应值是120000，则有方程：（a-r）/（A-120000）=（b-r）/（B-120000）.

假设实际利率是13%，则有9000×3.5172+180000×0.5428=31654.8+97704=129358.8.

假设实际利率是15%，则有9000×3.3522+180000×0.4972=30169.8+89496=119665.8.

（0.13-r）/9358.8=（0.15-r）/（-334.2），解得：r=14.93%.endprint