分数Vasicek利率模型下几种新型期权定价

王媛媛，薛 红

(西安工程大学 理学院，西安 710048)

期权定价问题是数理金融学中的核心问题之一. 1973年，Black和Scholes发表了关于期权定价的开创性论文，得出了著名的Black-Scholes模型. 在Black-Scholes模型中，假设股票价格服从几何布朗运动，且利率为常数. 但在实际中，即使是短期利率也是不断变化的，文献[1-3]研究了Vasicek随机利率模型下欧式期权定价问题. 由于股票价格对过去价格具有依赖性，许多文献考虑用分数布朗运动驱动的随机微分方程来刻画股票价格变化[4-7]，同时，因突发事件的影响，股票价格可能会出现“跳跃”，许多学者考虑用Poisson过程和分数布朗运动驱动的随机微分方程来描述股票价格变化，并讨论期权定价问题[8-10].

1998年Bladt和Rydberg首次提出期权定价的保险精算方法[11]，该方法将期权定价的问题转化为公平保费的确定问题. 它不仅对于无套利、均衡、完备的市场有效，且对于有套利、非均衡、不完备的市场也有效. 近年来许多文献应用保险精算的方法讨论期权定价问题[8-13].

本文假定股票价格过程服从分数跳-扩散过程，利率满足Vasicek模型，利用保险精算方法给出了几种新型期权-欧式看涨幂期权、欧式上封顶及下保底看涨幂期权定价公式.

1 具有随机利率的金融市场数学模型

考虑如下模型(A)：股票价格和利率rt满足随机微分方程

(1)

(2)

(3)

(4)

引理1[14]随机微分方程(3)的解为

(5)

引理2[8]随机微分方程(4)的解为

(6)

定义2[8]价格过程{St,t≥0}在[t,T]时间段内期望收益率βu满足

(7)

引理3[8,121{St,t>0}在[t,T]上的期望收益率βu满足βu=μu，u∈[t,T].

2 欧式看涨a次幂期权定价

定义3[8]欧式幂期权在t时刻的价值定义为：股票到期日价格按期望收益率折现值的幂与执行价(看作是无风险资产债券)按无风险利率折现值的差在股票实际分布概率测度下的数学期望，这一定价称为期权的保险精算定价. 用C(t,St)表示以股票价格St为标的资产、执行价为K、到期日为T的欧式看涨a次幂期权在t时刻价格，则欧式看涨α次幂期权的保险精算价格

引理4[15]设a，b，c，d，k是实数，并且假设ξ1，ξ2是标准正态随机变量，且有cov{ξ1,ξ2}=ρ，则

其中Φ(·)是标准正态分布函数.

引理5[15]设a，b，c，d,k是实数，并且假设ξ1，ξ2，ξ3是标准正态随机变量，且有

cov(ξ1，ξ3)=ρ,cov(ξ1，ξ2)=0，cov(ξ2，ξ3)=0，

则有

E[exp{aξ1+bξ2}Iaξ1+bξ2+cξ3≥k}]=

定理1 假设股票价格满足随机微分方程(4)，利率满足随机微分方程(3)，则执行价为K、到期日为T的欧式看涨α次幂期权在t时刻保险精算价格

(8)

其中：Φ(·)是标准正态分布函数，且

D1=α2(1-δ2)σ2(T2H-t2H)，

D2=a2δ2σ2(T2H-t2H) ,

证明令

由引理1、引理2、引理3，有

由Ito积分可得

令

所以

从而

注1 当b=0,c=0,a→0时，可得利率为常数且股票价格服从分数跳-扩散过程情形下欧式看涨α次幂期权定价公式

其中Φ(·)是标准正态分布函数，且

特别地，当λ=0，Ui=0，(i=1,2,…)时，可得分数布朗运动下欧式看涨α次幂期权定价公式(见文献[7]).

注2 当α=1时，可得利率服从Vasicek模型且股票价格服从分数跳-扩散过程情形下欧式看涨期权定价公式(见文献[16-17]).

3 欧式上封顶与下保底次幂期权定价

定理2 假设股票价格满足随机微分方程(4)，利率满足随机微分方程(3)，则执行价为K、到期日为T、上封顶价格为L1的欧式看涨上封顶α次幂期权在t时刻保险精算价格

证明欧式看涨上封顶次幂期权的保险精算价格

类似定理1证明可得结果.

定理3 假设股票价格满足随机微分方程(4)，利率满足随机微分方程(3)，则执行价为K、到期日为T、下保底价格为L2的欧式看涨下保底α次幂期权在t时刻保险精算价格

证明欧式看涨下保底次幂期权的保险精算价格

类似定理1证明可得结果.

注3 令定理2中的L2=+∞，或定理3中的L2=0，可得定理1的结果.

注4 当b=0，c=0,a→0时，可得利率为常数且股票价格服从分数跳-扩散过程的欧式看涨上封顶次幂期权和欧式看涨下保底α次幂期权的定价公式(见文献[8]).

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