Richardson－ Lucy与调制核相结合的图像复原方法

王 巧，乔 双

（东北师范大学物理学院，吉林 长春 130024）

Richardson－Lucy（RL）算法是目前最为广泛使用的图像复原方法之一，是一种基于贝叶斯分析的迭代算法.RL算法假设图像服从Poission分布，采用最大似然法进行估计［1］.该算法在噪声影响可忽略或较小的情况下具有唯一解.对于实际应用中常见的低信噪比图像，RL算法存在放大噪声的缺陷，难以获得较好的复原效果［2］.调制核算法是通过分析，估计梯度稳定获取图像的局部结构，并根据这个结构信息去决定一个准确的调制核的形状和尺寸［3］.在平坦的区域，调制核的尺度是宽的，而且基本上是各向同性的，表明在这个区域内部没有强的方向性结构.在边缘区域，调制核的形状描述边缘轮廓，并且核的值基本上表明像素的强度与感兴趣的像素的相似性.在包含小规模图像细节的区域，相应的调制核也缩小到一个小区域［4］.得到了确定的调制核后，对退化图像进行处理，可以得到去噪图像.由于Richardson－Lucy存在放大噪音的缺点，而调制核算法能够对噪音进行有效控制，因而本文提出将2种算法相结合，图像复原的效果得到了明显改善.

1 RL算法

RL算法是一种基于贝叶斯迭代运算的图像复原技术，迭代中加入了一些图像的先验知识作为约束条件，这种算法和以往的基于傅里叶变换的图像复原算法不同，它假定观察图像，点扩散函数和原始图像服从泊松概率统计模型，并最终收敛于泊松统计的最大似然解［5］.

1.1 RL算法的基本原理

RL算法是从最大似然中引出来的，它不是简单地对退化图像作求逆运算，而是通过对复原图像的逐步迭代来逼近真实图像［6］.

设真实图像信号f及其观测成像结果g为N×M 的实值矩阵，令H∶＝［hi，j］是r×s的模糊核，其中

通常人们认定模糊算子是线性的，同时满足平移不变性，即在观测得到的降质图像中，其像素值都是由同一个模糊核产生的.于是图像降质过程可以解释为

这里P表示针对H＊f的Poisson噪音污染， 表示卷积运算.

在实际成像过程中，我们只能获得降质图像g，于是我们将g看成是一个服从Poisson分布的随机变量，因此有

将所有的像素视为彼此独立分布的，并代入（3）式，从而得到似然函数

对（4）式两端取对数得

于是我们可以定义E（f）＝－logP（g｜f），f的最大似然估计fML则成为下列极值问题的求解

这里

其中l表示为N×M的矩阵，〈〉表示RN×M的内积计算.

对E（f）中的f求导，并令其导数等于零，于是可推得

这里HT表示为矩阵H的共轭转置，而上式中的表示A和B矩阵中对应分量的逐点除法.由（1）式中

所以显然可有HT＊l＝1.于是将f视为不动点，可以给出如下RL算法

这里A·b表示A和B矩阵中对应分量的逐点乘法.当k→∞时，fk→f.

1.2 RL算法迭代次数的影响

用Matlab进行仿真实验，所用图像采用长度为6，方向为9°的运动模糊，噪声均值为0，方差为0.0001的高斯白噪声的lena图像，如图1所示.

图1 高斯白噪声的lena图像

使用RL方法在不同迭代次数下复原图1（b）的结果见图2.其中k为迭代次数，SNR为信噪比.

1.3 RL算法对不同模糊程度图像的复原效果

图3所示是不同模糊程度的图像.使用RL算法对于不同模糊程度图像迭代20次的结果见图4.

从实验结果来看，RL算法能够很好地为图像去模糊、去噪，理论上迭代算法的迭代次数越多，图像就会越精确，但由于实际的退化图像中存在噪声，迭代的次数过多会放大噪声，使复原图像的信噪比降低［7］.这个问题若得不到解决，对于实际应用中常见的低信噪图像，RL算法难以获得较好的复原效果.

图2 不同迭代次数复原图1（b）的图像

图3 不同模糊程度的含噪图像

图4 对不同模糊程度的含噪图像的复原

2 调制核算法

调制核算法能够从模糊含噪图像中获得图像的结构，该算法的核心是根据图像的某个像素的局部结构确定该像素处的调制核的尺寸和大小，当获得确定的调制核后与含噪图像卷积处理，从而能够有效地抑制噪声.

2.1 调制核算法的基本原理

假设一个像素位于位置xi＝［xi，yi］，它的Steering－Kernel（简记为SK）的数学表示为

其中：xi代表一个已经给定的位置在以xi为中心的SK的窗口内；Cl是从在围绕xl的分析窗口内的灰度的集合估计出的协方差矩阵.从定义上看，SK就像一个简单的高斯函数，但是最终的SK结果不只是简单的椭圆外形，这主要是因为单独的协方差矩阵Cl是在每一个像素位置处被估计后使用的.

对于以xi为中心的窗口wl的局部灰度矩阵被定义为

Gx（xm）和Gy（xm）表示在［xm，ym］的灰度.在wl区域内其主导方向V1和其垂直方向V2能够通过计算D的奇异值分解被估计为

这里的奇异值V1≥s2≥0代表V1和V2各自方向上的能量.矩阵Cl可以通过（11）式估计出来.

当调制核获得后，该算法可表示为

2.2 用Matlab编程检验调制核去噪效果

图5（a）为原始的lena图像，图5（b）为模糊加噪后的图像，图5（c）为使用SK算法去噪后的图像.从实验结果可以看出，调制核算法能够有效地抑制图像中的强噪音.

图5 原始lena、模糊加噪和SK去噪效果对比

3 调制核算法与RL算法结合

RL算法在迭代次数比较低的情况下，随着迭代次数的增加，提高图像的信噪比逐渐提高，但当迭代次数增加到一定程度时，迭代次数的增加会放大噪音，信噪比反而下降.调制核算法能够根据图像的局部结构很好地抑制了噪声，能够提高图像的信噪比.因此，先对模糊含噪图像运用调制核算法去噪，提高图像的信噪比，然后运用Richardson－Lucy迭代算法复原图像.图6是几种方法用于中子图像去模糊、去噪的结果.

从实验结果可以看出，RL算法由于存在噪声放大的缺陷，视觉效果不理想.将调制核与Richardson－Lucy算法相结合后，图像复原的效果得到显著改善.

图6 几种方法应用于中子图像的结果

4 结论

Richardson－Lucy算法通过反复迭代能够很好地复原信噪比高的模糊图像.调制核算法能根据图像的局部结构抑制图像中存在的强噪声，将调制核算法与图像复原算法相结合，即先对模糊含噪图像运用调制核算法去噪，提高图像的信噪比，再运用Richardson－Lucy算法复原图像能够获得很好的复原视觉效果.与单纯使用某种复原算法相比较，图像的信噪比明显增强，视觉质量明显提高.

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