基于Toeplitz算法的谐波和间谐波参数估计

罗日成+卢泽华+张昇+黄彪+李稳

收稿日期：20140317

基金项目：国家自然科学基金资助项目（50977003）

作者简介：罗日成（1969-），男，湖南隆回人，长沙理工大学副教授，博士

通讯联系人，E-mail：luorich@126.com

北京市重点实验室（华北电力大学），北京102206；3.温岭供电公司，浙江 温岭317500）

摘要：为准确地检测电力系统中谐波信号的参数，从被检测信号噪声的基本特性出发，将空间谱估计理论中的Toeplitz算法应用于谐波、间谐波参数检测.首先对采样信号构成的自相关矩阵进行奇异值分解，根据不同时刻白噪声相互独立的原理划分出噪声子空间和信号子空间，再利用最小二乘法和旋转不变参数估计的原理，实现信号的频率和幅值参数的准确估计.根据白噪声均值为0的特性，通过仿真实验和现场数据分析表明：本文提出的方法在提高谐波和间谐波的参数估计精度和抗噪能力等方面具有较好的可行性和有效性，能满足实际应用的需要.

关键词：谐波；间谐波；Toeplitz；最小二乘；旋转不变性；阵列信号处理；共轭矩阵

中图分类号：TM935 文献标识码：A

Parameter Estimation of Harmonics and Inter

Harmonics Based on Toeplitz Algorithm

LUO Richeng1，LU Zehua2，ZHANG Sheng3，HUANG Biao1，LI Wen1

（ 1.College of Electrical and Information Engineering，Changsha Univ of Science and Technology，Changsha，

Hunan410004， China； 2.Beijing Key Laboratory of High Voltage & EMC， North China Electric Power Univ，

Beijing102206，China； 3.Wenling Power Supply Company，Wenling，Zhejiang317500，China）

Abstract： In order to accurately detect the parameters of harmonics in the power system， an algorithm based on a method of spatial spectrum estimation named Toeplitz was proposed on the basis of the essential property of noise information. First， eigenvalue decomposition was used for the autocorrelation of matrix constructed by sampling data to get signal subspace and noise subspace. It adopts the principle of least squares method and rotational invariance techniques to calculate high precision signal parameter flicker .Finally， based on the estimated frequency of every signal component and the characteristic of zero average value of noise signals， the simulation results and the realtime data analysis have verified the effectiveness of the algorithm，which satisfies the needs of practical application.

Key words：harmonic；interharmonic；Toeplitz；leastsquare；rotational invariance techniques；array signal processing；conjugate matrix

近年来，非线性电力电子设备被广泛应用，使电网中出现了日趋严重的电能质量问题[1-2]，尤其以谐波、间谐波污染为主.随着中国加快推进智能电网的建设，对海岛风电、太阳能等新能源、储能设备（如铅酸蓄电池组、锂电池组等）和电动汽车充电设备的并网运行[3]，都给电网带来较大的谐波污染；谐波污染会增加电网损耗，减小电力供应的效率，也会造成供电不稳定、保护装置误动作，给电力系统带来十分严重的后果.

目前谐波和间谐波的检测算法都是建立在能够精确分析信号的频谱特征的前提上，对其频率和幅值进行估计.现有的检测方法主要有快速傅里叶变换（FFT）和小波分析等时域估计方法，多重信号分类（Multiple Signal Classification，MUSIC）、最小二乘子空间旋转不变子空间（TLSESPRIT）等具有代表性的子空间分解类谱估计算法[4]，以及神经网络和遗传算法等智能辨识分析方法.FFT在检测不稳定信号时，易造成频谱泄漏，难实现信号同步采样，容易引起测量结果不准确[5-7].小波变换在电网系统出现频率偏差时，小波变换法的频率分辨率低，会发生频谱泄露问题[8-9].MUSIC可较精确估计出谐波参数，但要进行复杂的峰值搜索，计算量较大，且在峰值搜索的过程中存在栅栏效应，导致频率估计精度不够精确[10-12].TLSESPRIT需要提前估计出子信号的数目，实际信号数目与估计数目有差别时，会导致噪声子空间和信号子空间不正交，造成估计结果不准确[13].神经网络和遗传算法属于人工智能算法，对噪声的敏感程度不高，但是对样本的要求很严格，需要对训练样本进行长久训练，过程复杂[14].

本文提出的Toeplitz算法主要是利用信号子空间的旋转不变性.首先对采样信号构成的协方差矩阵进行奇异值分解，得到大特征值组成的信号子空间，然后利用分解后的奇异矢量来近似代替数据协方差矩阵并构造新的求解矩阵，再用最小二乘法求解，得到相应的频率、幅值信息.

1基于Toeplitz的谐波和间谐波检测原理

Toeplitz法是基于子空间分解的高分辨率的谐波和间谐波检测新方法，能有效地识别电网中衰减和非衰减正弦信号的频率、幅值等信息.该方法被广泛应用于语音信号和阵列信号的处理以及电力系统暂态信号的分解等方面.

假设信号由M个复正弦信号和一个高斯白噪声组成：

x（t）=∑Mi=1aisin （2πfi+φi）+w（t）.（1）

式中：ai为谐波幅值；fi为频率；φi为初始相位；i为谐波次数，当i=0时，x（t）为基波；w（t）为均值等于0，方差σ2=1的白噪声，且与各个频率分量相互独立.

对于N个快拍数，式（1）也可表示为：

X=AS+w（n）=[x（0），…，x（N-1）].（2）

对信号采样，建造U×V的采样数据矩阵：

XU×V=x（0）x（1）…x（V-1）

x（1）x（2）…x（V）

x（U-1）x（U）…x（U+V-2）.（3）

式中：V为时间长度，且V>M；U+V为采样数目.

定义信号矢量：

X（n）=[x（n），x（n+1），…，x（n+V-1）]T，（4）

W（n）=[w（n），w（n+1），…，w（n+V-1）]T，（5）

X（n）=S（n）+W（n）=PΦnA.（6）

式中：A=[A1，A2，…，AM]T；Φ=diag{ejω1，ejω2，…，ejωM}；P=[p（f1），…，p（fM）].其中p（fi）=[1，ejωi，…，ej（V-1）ωi]，1≤i≤M；求得矩阵Φ后，由于Φ中含有信号源的频率信息，即可求出信号的频率，进而得出其余信号频率的相关参数.

Toepliz算法首先求取采样数据矩阵X的协方差矩阵：

R=E[XnXHn]. （7）

对协方差矩阵R进行奇异值分解，可得到：

R=∑Di=1λieieHi+∑Mj=D+1λjejeHj=

UsUnΣ[UsUn]=

UsΣsUHs+UnΣnUHn+Un. （8）

式中：Σs为大特征值组成的对角阵；Σn为小特征值组成的对角阵；λk和ek分别是协方差矩阵R的第i个特征值及其对应的特征矢量（1≤k≤M），由于大小特征值在数值上差别明显，根据特征值的这一特性，可划分信号子空间与噪声子空间，大特征值组成的是信号子空间Us=[e1，e2，…，eD]；小特征值组成的是噪声子空间Un=[eD+1，…，eM]，D为大特征值的个数.

此时，可用奇异值分解后的奇异矢量来近似代替无噪声情况下的数据协方差矩阵：

R0=UsΣsVTseD+2.（9）

通过旋转不变子空间的方法：

B=UsΣ1/2s.（10）

此时，可将矩阵B分为两个M-1维的子空间B1和B2.B1为矩阵B去掉最后一行后的M-1维子空间；B2为矩阵B去掉第一行后的M-1维子空间.可知：

B=B1

最后一行=第一行

B2. （11）

显然易见B1和B2满足如下关系：

B1D=B2. （12）

式中：矩阵D为最小二乘解.从式（11）可知：

Us1Σ1/2s=Us2Σ1/2s.（13）

其中，Us1为Us的前M-1行，Us2为Us的后M-1行.所以式（8）的最小二乘解为：

D=（Us1Σ1/2s）+Us2Σ1/2s. （14）

对矩阵D进行特征分解，由特征值λM即可获得信号源中各个分量的频率fM.

fM=arg （λM）fi/2π. （15）

式中：fi为信号的频率.

在求得信号中各个正弦分量的频率后，可通过最小二乘法求得幅值信息.对于N个采样信号，令

λ=11…1

λ1λ2…λM

λN-11λN-11…λN-1M；

X=x（0）

x（1）

x（N-1）；

A=A1A2…AM.

由最小二乘法可得：

A=λHλ-1λHX.（16）

由式（16）求得各信号分量的幅值为：

ak=2AM.（17）

基于Toeplitz算法，对N点采样数据，先通过式（7），（8），（9），（14）和式（15）估计出信号频率信息，再通过式（16）和式（17）估计出幅值.本文算法流程图如图1所示.

图1算法流程图

Fig.1Flowchart of algorithm

2仿真算例

在电力系统中的谐波和间谐波幅值均不大，故将仿真信号中的谐波幅值比例控制在20%以内，通过式（18）进行仿真实验.

x（t）=0.07cos （2π42t）+0.5cos （2π50t）+

0.15cos （2π150t）+0.6cos （2π276t）+

0.03cos （2π350t）+w.（18）

式中：w为均值是0，方差为0.01的白噪声；信号由频率为50 Hz的基波，频率分别为150 Hz和350 Hz的谐波以及频率分别为42 Hz和276 Hz的间谐波等多个子信号组成.信噪比SNR为25 dB，采样频率为1 kHz，采样个数为512.加入高斯白噪声后的波形如图2所示.

t/s

图2仿真信号波形图

Fig.2Waveforms of the simulation harmonic signal

利用Toeplitz提取的基波和谐波信号如图3所示.表1为Toeplitz算法与经典FFT算法所得频率与幅值的比较.

利用Toeplitz算法精确提取了各次谐波信号的参数，并与用经典FFT算法估计的结果作比较.定义相对误差：

Er=1n∑ni=1X（i）-X（i）′X（i）. （19）

式中：Er为相对误差；X（i）为基波或各次谐波频率、幅值的初值；X（i）′为本文算法多次测量取得的平均值.

由表1可知，Toeplitz 算法频率误差为0.046 7%，幅值误差为 4.367%.FFT 算法频率误差为 0.24%，幅值误差为 14.83%，由于经典FFT 算法对简谐波的检测出现频谱泄露和栅栏效应的问题，造成部分子信号幅频特性严重失真，检测出了一些虚假的间谐波信号（40.65，0.028；276.93，1.164），淹没了原信号中（42 Hz，276 Hz）的2个间谐波信号，因此大大影响FFT对谐波参数检测的准确性.而本文方法基于信号子空间的基础上，结合子空间旋转不变性思想和最小二乘法的特性，降低了噪声空间对参数检测的影响，实现了对信号参数的有效估计.分析表明，本文算法在低性噪比下比经典FFT 算法频率、幅值估计精确度更高.

为进一步验证本文算法的精确性，取与式（18）中相同的 512个样本数据点，分别利用 Toeplitz，PMMUSIC（基于PM算子的MUSIC算法），TLSESPRIT（总体最小二乘空间旋转不变性）和ROOTMUSIC（求根MUSIC算法）提取谐波参数.TLSESPRIT属于信号子空间算法，也是利用子空间信号的旋转不变性来求解；PMMUSIC和ROOTMUSIC，都属于噪声子空间算法，利用导向矢量与噪声子空间的正交性得到信号的参数.实验结果如表2所示.

由表2可知，利用相同的样本数据，在信噪比SNR=25 dB的条件下，Toeplitz算法频率估计误差为 0.046 7%，幅值估计误差为4.367%，均小于其他3种算法的估计结果，因此 Toeplitz算法的频率与幅值估计结果更精确.

在不同信噪比环境下，分别利用以上4种算法对相同的样本数据估计频率幅值，图4为频率误差、幅值误差与信噪比关系，在不同信噪比环境下，TLSESPRIT，PMMUSIC，ROOTMUSIC算法的频率估计值相差不大，当SNR=10 dB时，误差值增大到0.125%.从图4可知，Toeplitz算法估计的频率误差明显小于其他3种算法，因此抗噪能力更强.在SNR为10 dB时，Toeplitz算法估计的幅值误差值为9.24%，比其他3种算法的幅值估计更小，估计性能更优.随着信噪比降低，4种方法的估计精度都出现了一定的衰减，但本文算法的衰减幅度更小.信噪比较高时，PMMUSIC和ROOTMUSIC算法性能比较接近，但仍优于TLSESPRIT算法而差于Toeplitz算法.总的来说，Toeplitz算法较PMMUSIC，TLSESPRIT和ROOTMUSIC算法有更好的抗干扰性，在低信噪比的环境下，依然能够获得较好的参数估计性能.

3用电负荷中的实例分析

造成严重闪变的主要原因是工业负荷，尤其是那些大量使用电弧炉、轧钢机和多组电焊机的钢铁企业.在许多情况下，类似矿井绞车等大型波动性电动机负荷也会引起闪变问题.经常会引起闪变的普通负荷是电弧炉（Electric Arc Furnace）.电弧炉是非线性时变负荷，常常造成很大的电压闪变和谐波畸变，大多数大电流波动在熔化初期产生.在此期间，废钢碎块实际上会在两个电极之间搭桥，在电炉变压器二次侧造成大电抗短路.熔化期一般造成1～10 Hz的电压闪变.一旦熔化期结束，就进入精炼期，通常极间会有稳定的电弧，导致高功率的三相稳定负荷.

在一炼铁厂的电弧炉中取一相电流数据， 利用Toeplitz方法对采样数据进行检测分析.图5为实时信号波形图.采样频率为1 280 Hz，采样时间为0.16 s.图6为利用Toeplitz算法分析得到的实时信号幅频特性图.在内存为2 GB，处理器为core2 extreme qx9770（3.2 GHz），操作系统win7，MATLAB7.0 版本下，该算法的用时为15.2 ms，利用Toeplitz算法可把基波和谐波间谐波信号有效提取出来（幅值在0.01 kA 以下省略）；由图6可知，频率分别为 49.98，10.76，27.31，73.76，90.90，110.01，157.63，244.80，252.26和 350.54，376.34 Hz；幅值分别为 0.368 8，0.101 2，0.201 1，0.072 4，0.082 3，0.036 9，0.024 6，0.014 2，0.026 8，0.010 7和0.020 8 kA.实验结果验证了该算法能较好地处理实时数据，准确检测出谐波和间谐波信号参数，具有较好的可通用性.

4结论

1）本文在对几种常用电力谐波检测方法进行比较的基础上，结合最小二乘理论和旋转不变性思想，提出了基于Toeplitz的谐波和间谐波检测方法.

2）仿真实验结果验证了Toeplitz法好于 FFT法和另外几个常见的空间子分解类谐波检测方法，它具有较好的抗噪能力.

3）从实时数据分析得出，Toeplitz法能够应用于实时信号检测中，是一种谐波间谐波分析的有效方法，可作为谐波间谐波检测的一种新工具.

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