夏—王定理在考研题中的应用

2014-10-21 14:56夏天
科技视界 2014年36期
关键词:法求连续型概率密度函数

【摘 要】设X是一个连续型随机变量,其密度函数为pX(x),g(x)是一个连续函数, 文献[1]给出了用积分变换法求连续型随机变量X的函数g(X)的密度函数的一个定理,文献中称为夏-王定理(见文献[2]), 本文用考研题说明了夏-王定理的应用.

【关键词】夏-王定理;连续型随机变量;密度函数;用积分变换法求连续型随机变量函数的密度函数;硕士研究生考试

0 引言

设X是一个连续型随机变量,其密度函数为pX(x),g(x)是一个连续函数. 如何求X的函数g(X)的密度函数是一个常见的问题. 经典的方法有两种, 即 “分布函数法”和公式法,具体的细节见文献[1-3].

2013年,夏天和王学仁(见文献[4])给出了一个定理,文献中称为夏-王定理(见文献[5]),根据此定理,可以用积分变换法来求g(X)的概率密度函数.该方法比经典的两种方法更简捷.本文将用夏-王定理对考研数学中的试题来进行分析求解.

为了后面叙述的方便, 我们作一些规定:用〈α,β〉表示区间(可以是开区间,可以是闭区间,也可以是半开半闭区间);由于定积分的值与被积函数在个别点上的值无关,故Y=g(X)的概率密度的表达式在某些点处的值可以不唯一.下面陈述夏-王定理[文献4].

夏-王定理:设X是连续型随机变量,其概率密度函数pX(x)仅在 (a,b)上有非零值(这里a可以取-∞,b可以取+∞.如果可将(ii)由(1)式, 可令

方法被称为为“积分变换法”.

1 用夏-王定理来求解考研试题

下面,举例来说明用夏-王定理在考研试题中的应用.所有的试题见文献[6].

例2 (1988年数学一试题)假设随机变量X的概率密度函数

【參考文献】

[1]夏乐天.应用概率统计[M].北京:机械工业出版社,2008:95.

[2]苏淳.概率论[M].2版.北京:科学出版社,2010.

[3]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计[M].4版.北京:高等教育出版社,2008.

[4]夏天,王学仁.用积分变换法求连续型随机变量函数的密度函数[M].数学的的实践与认识,2013,43(16):262-270.

[5]夏天.关于用积分变换法求连续性随机变量函数的密度函数的注记[J].科教文汇,2013,11(下旬): 2013-11-30:51-52.

[6]全国硕士研究生入学统一考试数学试题[OL].中国教育在线www.edu.cn.

[责任编辑:杨玉洁]

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